Выборочная дисперсия: формула, как найти

Что такое выборочная дисперсия

Обобщенный вид рассматриваемого ряда можно представить, как интервалы \(\left.\left[a_{i-1},a_i\right.\right)\):

\(\left.\left[a_{0},a_1\right.\right), \left.\left[a_{1},a_2\right.\right), ... , \left.\left[a_{k-1},a_k\right.\right)\)

с частотами \((f_i)\):

\((f_1\), \(f_2\), ..., \(f_k)\).

В данном случае k обозначает количество интервалов, с помощью которых осуществляется разбивка ряда.

При решении задач на интервальные ряды с вариациями будет полезно применять правило Стерджеса. С его помощью определяют подходящее количество интервалов k, используя которые целесообразно поделить ряд, собранный из N чисел:

\(k=1+\lfloor \log _{2}N\rfloor \),

\(k=1+\lfloor 3.322\lg N\rfloor\)

Сформировать интервальную последовательность можно путем пошагового выполнения следующих действий:

1. Входящие данные служат величинами характеристик, то есть \( \left\{x_j\right\},\ j=\overline{1,N}\). В первую очередь следует выяснить, чему равна размерность вариации: \(R=x_{max}-x_{min}.\)
2. На втором шаге алгоритма необходимо вычислить оптимальное число интервалов:\( k=1+\lfloor\log_2 N\rfloor\).
3. Затем можно определить шаг последовательности, то есть \( h=\left\lceil\frac{R}{k}\right\rceil\).
4. Вычислить узлы последовательности: \(a_0=x_{min},\ \ a_i=1_0+ih,\ \ i=\overline{1,k}\).
5. Рассчитать, чему равны частоты \(м\) по формуле \(\left.\left[a_{i-1},a_i\right.\right)\).

Таким образом, получается интервальная последовательность с определенными периодами:

\(\left.\left[a_{i-1},a_i\right.\right)\)

Частоты в нем соответствуют:

\(f_i,\ i=\overline{1,k}\)

Важно обратить внимание на наличие округления вверх у шага h. По этой причине крайний узел составляет:

\(a_k\geq x_{max}\)

.Заметим, что величина площади гистограммы соответствует единице, учитывая точность до округлений. Таким образом, сформулирована эмпирическая закономерность распределения изучаемого признака.

Если продолжать рассматривать первый пример, в котором производился замер роста учеников, то можно составить эмпирическую функцию распределения по отношению к серединам интервалов:

\(F(x)= \begin{cases} 0,\ x\leq 146\\ 0,04,\ 146\lt x\leq 154\\ 0,11,\ 154\lt x\leq 162\\ 0,22,\ 162\lt x\leq 170\\ 0,56,\ 170\lt x\leq 178\\ 0,89,\ 178\lt x\leq 186\\ 0,97,\ 186\lt x\leq 194\\ 1,\ x\gt 194 \end{cases}\).

Вычислить медиану представляется возможным с использованием следующего справедливого равенства:

\(M_e=x_o+\frac{0,5-S_{me-1}}{w_{me}}h\)

Здесь \(h\) обозначает шаг, \(x_o\) определяет границу снизу, \(S_{me-1}\) является накопленной относительной частотой для интервала, который расположен в левой стороне по отношению к медианному, \(w_{me}\) представляет собой относительную частоту медианного интервала.

В данном случае \(x_i \) определяет середины интервалов:

\(x_i=\frac{a_{i-1}+a_i}{2},\ i=\overline{1,k}\)

Другой вариант записи формулы:

\(D=\sum_{i=1}^k(x_i-X_{cp})^2 w_i=\sum_{i=1}^k x_i^2 w_i-X_{cp}^2\)

Исправленная выборочная дисперсия

Вычислить исправленную выборочную дисперсию можно с помощью следующего соотношения:

\(S^2=\frac{N}{N-1}D\)

Генеральная дисперсия

Допустим, что Х обозначает какую-то произвольную величину. Представим, что имеется некоторая генеральная совокупность с учетом данной величины Х. Сформулируем на основании этих данных определения.

Предположим, что варианты обладают следующими значениями:

\(x_1,\ x_2,\dots ,x_k\)

Частоты при этом составляют:

\(n_1,\ n_2,\dots ,n_k\)

В таком случае можно вычислить, чему равна генеральная дисперсия с помощью справедливого равенства:

\(D г = (\sum_i^ N (Xi-\overline{Xг})^{2}/N\)

При разнообразных вариантах Х формула примет следующий вид:

\(D г = (\sum_i^n (Ni (Xi-\overline{Xг})) ^{2}/N\)

Заметим, что в данном случае генеральное среднее квадратическое изменение можно определить в виде корня второй степени, извлеченного из генеральной дисперсии:

\({\sigma }_г=\sqrt{D_г}\)

Свойства выборочной дисперсии

Рассмотрим ключевые свойства, которые характерны для выборочной дисперсии:

1. Данная дисперсия представляет собой дисперсию выборочного распределения в теории. К примеру, представим \({\hat {F}}(x)\) в виде выборочной функции распределения рассматриваемой выборки. В таком случае при каком-либо неизменном \omega \in \Omega  функция \({\hat {F}}(\omega ,x)\) представляет собой функцию, не являющуюся случайной,  дискретного распределения. Дисперсия для такого распределения вычисляется следующим образом: \(S_{n}^{2}(\omega )\).
2. Пара выборочных дисперсий представляет собой объективные оценки дисперсии с точки зрения теории. В том случае, когда \({\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty\), имеем, что \(S_{n}^{2}\to ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}\;\sigma ^{2}\), а также \(S^{2}\to ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}\;\sigma ^{2}\). Заметим, что знак \(«\to ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}»\) показывает, что относительно вероятности присутствует сходимость.
3. Выборочная дисперсия представляет собой оценку со смещением относительно дисперсии в теории. Наряду с этим фактом, заметим, что исправленная выборочная дисперсия подразумевает не смещенную оценку, то есть: \({\mathbb {E}}\left[S_{n}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}\), а также \({\mathbb {E}}\left[S^{2}\right]=\sigma ^{2}\).
4. Выборочная дисперсия классического распределения обладает распределением хи-квадрат. Представим, что соблюдено следующее условие \(X_{i}\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,2,\ldots\) . В таком случае справедливым является такое соотношение: \((n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\equiv n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}(n-1).\)

Для чего применяется

Применение выборочной дисперсии оправдано с точки зрения удобства и эффективности  проведения наблюдений. К примеру, когда необходимо рассмотреть количественную характеристику генеральной совокупности, используют этот метод. Предположим, что по результатам анализа теоретических данных было определено конкретное распределение для признака. Формируется необходимость оценить параметры, характерные для рассматриваемого распределения.

В распространенных случаях специалист, осуществляющий исследования, может получить информацию по выборкам, сформированным по итогам какого-то количества наблюдений. С помощью этих данных представляется возможным определить признак для оценки. При изучении количественной величины с учетом ее независимости предполагается оценка неизвестного параметра с точки зрения статистики по распределению в теории. Таким образом, требуется определить функцию от изучаемых произвольных параметров, демонстрирующую примерное значение характеристики. Рассмотрим несколько примеров