Как выполняется деление комплексных чисел

Что такое комплексное число

Открытие комплексных чисел стало мощным триггером развития математической науки. С давних времен и до сегодняшнего дня это понятие используют в разных научных отраслях, в том числе, при разработке разнообразных моделей математических явлений и процессов, решении сложных инженерных задач в области техники и прочих направлениях.

Известно, что минус перед значением дискриминанта означает отсутствие решений для квадратного уравнения. Однако это условие выполнимо в случае произведения расчетов с числами из множества действительных. С другой стороны, знания и умение применять закономерности, характерные для комплексных чисел, на практике позволяют справиться и с такими сложностями.

Здесь х и у играют роль действительных чисел, а i обозначает мнимую единицу, которую можно вычислить с помощью следующего выражения:

\(i^{2}=-1\)

В этом случае целесообразно ознакомиться с компонентами представленной выше записи. Число х является действительной частью для некоторого комплексного числа z с учетом, что:

\(x = \text{Re } z.\)

Число у также играет важную роль в записи комплексного числа. Оно является мнимой его частью:

\(y = \text{Im } z.\)

Далее при рассмотрении темы необходимо изучить разные формы записи комплексных чисел. Перечислим их и запишем соответствующие обозначения:

• алгебраическая запись \(z_1 = a + bi, z_2 = c + di\);
• тригонометрический формат \(z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1), z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)\);
• показательная форма \(z_1 = r_1 e^{\varphi_1 i} , z_2 = r_2 e^{\varphi_2 i}\).

Как делить комплексные числа: формулы

Стоит отметить, что с помощью комплексных чисел ученым удается изобретать инновационные способы проведения научных изысканий, детализируя картину мира. Это понятие плотно вошло в научную сферу на всех ее уровнях, в том числе, исследования простейших частиц и космического пространства. Однако в распространенных случаях в процессе использования комплексных чисел принято принимать во внимание только вещественную часть, входящую в состав записи.

Если предстоит решение задачи на деление с комплексными числами, необходимо учитывать форму записи. Перечислим формулы, которые пригодятся для выполнения подобных действий.

Примеры решения задач

Решение

В первую очередь попробуем суммировать представленные числа. В процессе целесообразно избавиться от скобок, воспользоваться известными математическими закономерностями и определить, чему равна сумма. Получим следующий расчет:

\(z_1 + z_2 = (1+2i) + (-2+i) = 1+2i - 2 + i = (1-2) + (2i+i) = -1 + 3i\)

Далее можно приступить к вычислению разности представленных чисел. При этом лучше упростить вычисления путем исключения скобок. Затем по аналогии с предыдущим расчетом нужно определить значение полученного выражения:

\(z_1 - z_2 = (1+2i) - (-2+i) = 1+2i + 2 - i = 3 + i\)

Затем следует рассмотреть действие умножения комплексных чисел. Здесь также нужно убрать скобки и умножить слагаемые с учетом, что \(i = \sqrt{-1}\). Тогда получим:

\(z_1 \cdot z_2 = (1+2i)\cdot (-2+i) = -2 + i - 4i + 2i^2 = =(1+2i)⋅(−2+i)=−2+i−4i+2i =−2−3i−2=−4−3i.\)

Последним действием требуется найти частное от деления указанных в условии задачи чисел. В процессе потребуется дополнительно умножить числитель и знаменатель на сопряженный множитель для преобразования дробного числа:

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+2i}{-2+i} = \frac{(1+2i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}\)

На следующем этапе целесообразно избавиться от скобок, используя изученные в курсе теории формулы. При этом важно учитывать, что \(i^2 = -1i\). В результате:

\(\frac{-2-i-4i-2i^2}{4+2i-2i-i^2} = \frac{-2-5i+2}{4+1} = \frac{-5i}{5} = -i\)

Ответ: \(z_1 + z_2 = -1+3i, z_1 - z_2 = 3+i, z_1 \cdot z_2 = -4-3i, \frac{z_1}{z_2} = -i\)

Решение

\(z_1 \cdot z_2 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) \cdot 4(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}) = = 8 (\cos (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) + i\sin (\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})) = 8(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})\)

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{4} (\cos (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) +i\sin (\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}).\)

Ответ: \(z_1 \cdot z_2 = 8(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}), \frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{2} (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}).\)

Задача 3

Решение

\(z_1 \cdot z_2 = 6e^{\frac{\pi}{2}i} \cdot 2e^{\frac{\pi}{4}i} = 12e^{(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})i} = 12e^{\frac{3\pi}{4}i}\)

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{6e^{\frac{\pi}{2}i}} {2e^{\frac{\pi}{4}i}} = \frac{6}{2} e^{(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})i} = 3e^{\frac{\pi}{4}i}\)

Ответ: \(z_1 \cdot z_2 = 12e^{\frac{3\pi}{4}i}, \frac{z_1}{z_2} = 3e^{\frac{\pi}{4}i}\)