Какие углы называются вертикальными

Вертикальные углы — это

В науке геометрии предусмотрено множество понятий для решения различных прикладных задач. Одной из таких категорий являются вертикальные углы. В отличие от смежных аналогов, образованных из единой стороны и вершины, рассматриваемые объекты получают путем пересечения пары прямых линий. Вертикальные углы характеризуются специфическими признаками и свойствами, полезными в решении геометрических задач на треугольники и многоугольники. Начать изучение данной темы целесообразно с формулировки ключевого понятия.

 

Источник: dzen.ru

Свойства и признаки

При анализе примера изображения вертикальных углов хорошо заметно, что данный геометрический объект сформирован посредством пересечения прямых линий. Полученные углы обладают рядом характерных признаков и особенностей:

• наличие общей вершины;
• стороны представляют собой взаимное продолжение;
• углы расположены напротив друг друга;
• находятся по разные стороны относительно пересекающихся прямых линий.

Исследовать вертикальные углы и рассчитывать значения их параметров удобно с применением следующих свойств:

1. Взаимное равенство вертикальных углов, то есть при соответствии одного из вертикальных углов определенной величине, второй угол из пары таких фигур обладает идентичной градусной мерой. Например, если один вертикальный угол равен 60°, то второй вертикальный угол аналогично составит 60°.
2. При суммировании величин вертикальных углов получается градусная мера развернутого угла. Таким образом, если сложить два вертикальных угла, результат будет соответствовать 180°.
3. Допустимо построить вертикальные углы с помощью любых прямых линий. Используемые при начертании данных геометрических фигур линии могут быть не только строго вертикальными.

Теорема о вертикальных углах

С целью доказательства теоремы о равенстве вертикальных углов выполним построение этих геометрических объектов на плоскости.

 

Источник: dzen.ru

Проанализируем полученное изображение. Заметим, что \( \angle АОВ и \angle АОD\) обладают признаками смежных углов. Аналогичным образом допустимо идентифицировать углы \(\angle АОВ и \angle СОВ\). Исходя из сделанных выводов, можно заключить, что угол \(\angle АОD\) дополняет угол \( \angle АОВ\) до величины 180°. Подобным способом реализовано дополнение угла \(\angle АОВ\) с помощью угла \(\angle СОВ\) до градусной меры в 180°. Путем логических рассуждений удалось установить справедливость следующего равенства:

\(\angle СОВ = \angle АОD\)

По такому алгоритму действий несложно доказать соответствие величин второй пары вертикальных углов:

\(\angle СОD = \angle АОB.\)

Задачи

Решение

По условиям построения \(\angle 1 и \angle 2\) являются вертикальными, так как обладают соответствующими признаками. Исходя из свойств данных геометрических объектов, можно сделать вывод о равенстве углов и записать соотношение:

\(\angle 1 = \angle 2 = {{54}^{\circ}}\)

На следующем шаге целесообразно рассмотреть смежные углы. Таковыми являются \(\angle 3 и \angle 1\). Известно, что вертикальный угол дополняет смежный угол до величины в \({180}^{\circ}\). Составим соответствующее выражение:

\(\angle 1+\angle 3 = {{180}^{\circ}}\)

Из полученного уравнения несложно выразить \(\angle 3\) и путем несложных математических расчетов вычислить градусную меру этого угла:

\(\angle 3 = {{180}^{\circ}}-{{54}^{\circ}} = {{126}^{\circ}}\)

С другой стороны \(\angle 3 и \angle 4\) также являются вертикальными углами. По характерному свойству можно составить справедливое равенство данных углов:

\(\angle 4=\angle 3={{126}^{\circ}}\)

Ответ: \( \angle 2={{54}^{\circ}}\), \(\quad \angle 4=\angle 3={{126}^{\circ}}\).

Решение

На первом шаге следует проанализировать условия задания. В результате суммирования пары углов получается величина в \({{80}^{\circ}}\). Из теоретического курса геометрии известно, что смежные углы при сложении дают \({{180}^{\circ}}\). Так как рассматриваемые углы не являются смежными, допустимо идентифицировать их как вертикальные. Таким образом, получим следующее соотношение построенных углов:

\(\angle 1+\angle 2={{80}^{\circ}}\Rightarrow \angle 1=\angle 2={{40}^{\circ}}\)

Следующая пара оставшихся углов также подходит под определение вертикальных. Составим выражение для определения результата сложения величин рассматриваемых углов и определим, сколько градусов составляет каждый из этих геометрических объектов:

\(\angle 3+\angle 4={{360}^{\circ}}-{{80}^{\circ}}={{280}^{\circ}}\Rightarrow \angle 3=\angle 4=\frac{{{280}^{\circ}}}{2}={{140}^{\circ}}\)

Ответ:\( \angle 1=\angle 2={{40}^{\circ}}, \angle 3=\angle 4={{140}^{\circ}}.\)