Определение бесконечно малой функции

Бесконечно малые функции — это

Функция в математике представляет собой специальное правило, которое связывает каждый элемент из одного множества, то есть область определения, ровно один элемент из другого множества в виде области значений. Таким образом, функция принимает на вход какие-то значения и преобразует их в соответствующие выходные значения. Важно, что для каждого входного значения функция дает только один определенный результат. Функции в математике широко используются для описания зависимостей между различными величинами и являются основным инструментом при решении уравнений, моделировании процессов и анализе данных.

Понятие бесконечно малой применительно к функции с числовым значением или последовательности с нулевым значением предела. В процессе исчисления подобных величин проводят расчеты с параметрами, которые являются бесконечно малыми. В результате действий получают производный итог в виде бесконечной суммы бесконечно малых. Озвученное понятие применимо к действиям с дифференциалами и интегралами. Перечисленные определения составляют базис современной математической науки. При формулировке термина бесконечно малой величины прослеживается прямая связь с расшифровкой понятия предела.

В качестве наглядного примера такой последовательности допустимо представить выражение:

\(a_{n}={\dfrac {1}{n}}\)

При решении практических задач важно учитывать одно определяющее условие. За бесконечно малую допустимо принимать такую функцию, которая вычисляется в виде результата вычитания функции и ее предела. Представим озвученное утверждение в форме алгебраической записи:

\(если \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=a, тогда\)

\(f(x)-a=\alpha (x)\)

\(\lim \limits _{x\to +\infty }(f(x)-a)=0\)

Эквивалентность

Эквивалентность в математике означает, что два математических объекта или выражения равны по смыслу, хотя могут выглядеть по-разному. Понятие воспринимают, как два отличных способа описания одной и той же величины или концепции. Когда объекты эквивалентны, значит их можно рассматривать в виде одинаковых в контексте конкретной задачи или уравнения. Например, 1 + 2 и 3 являются парой разных выражений, но они эквивалентны, потому что оба равны 3. В математике понятие эквивалентности помогает упрощать вычисления и анализировать сложные структуры, сокращая множество возможных вариантов до более простых и понятных форм.

Из сформулированного понятия несложно сделать вывод о том, что эквивалентные значения представляют собой частный случай бесконечно малых (бесконечно больших) величин одного порядка малости. Основываясь на представленных ранее определениях и записанном принципе, допустимо перечислить соотношения эквивалентности. Если \(\alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}0\), то справедливы следующие выражения:

\(\sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x)\)

\(\mathrm {tg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x)\)

\(\arcsin {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)\)

\({\frac {\pi }{2}}-\arccos {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)\)

\(\mathrm {arctg} \,\alpha (x)\thicksim \alpha (x)\)

\(\log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a}}}, где a>0, a\neq 1\)

\(\ln(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\)

\(a^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}, где a>0\)

\(e^{\alpha (x)}-1\thicksim \alpha (x)\)

\(1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2}}\)

\((1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb {R}, {\sqrt[{n}]{1+\alpha (x)}}\approx {\frac {\alpha (x)}{n}}+1, где \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}\)

С использованием изученного теоретического материала следует сформулировать теорему, обладающую прикладным назначением. Подобное утверждение полезно при решении задач на вычисление пределов.

Свойства

Специфические особенности бесконечно малых функций значительно упрощают решение заданий по алгебре. Подобные закономерности позволяют сократить объем расчетов, наиболее коротким путем находить доказательства или опровержения заданных утверждений, исключать ошибки и проверять ответы. Перечислим основные свойства рассматриваемого типа функций:

• алгебраическая сумма окончательного количества бесконечно малых функций вычисляется в формате бесконечно малой функции;
• результатом умножения бесконечно малых функций является бесконечно малая;
• если умножить бесконечно малую последовательность на ограниченную, то в итоге вычислений получается бесконечно малая;
• произведение бесконечно малой и константы дает в результате бесконечно малую;
• при условии, что \(a_{n}\) является бесконечно малой последовательностью и не меняет знак на противоположный, \(\alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}\) представляет собой бесконечно большую последовательность.

Порядок

Предположим, что имеются бесконечно малые при одинаковом \(x\to\) a величины \(\alpha (x) и \beta (x)\). При условии, что \(\lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0, \beta\)  определяется, как бесконечно малая высшего порядка малости, чем \( \alpha\). Озвученное утверждение записывают в двух вариантах:

\(\beta =o(\alpha)\)

\(\beta \prec \alpha\)

Рассмотрим следующую ситуацию, при которой \(\lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty\). В этом случае \(\beta\) представляет собой бесконечно малую низшего порядка малости по сравнению с \(\alpha.\) Сформулируем данное положение в следующем виде:

\(\alpha =o(\beta)\)

\(\alpha \prec \beta\)

При условии конечности предела и его значения, отличного от нуля, то есть \(\lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c\), за бесконечно малые допустимо принять величины \(\alpha и \beta\)  с одинаковым порядком малости. Подобное утверждение формулируют в следующем виде:

\(\alpha \asymp \beta\)

В качестве альтернативного варианта предусмотрено соблюдение нескольких соотношений в таком формате записи:

\(\beta =O(\alpha )\)

\(\alpha =O(\beta )\)

При соблюдении условия \( \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c\) , то есть конечности предела и отличия его значения от нуля, для бесконечно малой величины \(\beta \) характерен m порядок малости по отношению к относительно бесконечно малой \(\alpha\). С целью решения заданий на расчет озвученных ранее пределов целесообразно воспользоваться правилом Лопиталя. Приведем несколько наглядных примеров работы с процедурами сравнения.

Одновременно с представленными сведениями заметим, что \(x^{3} \) характеризуется низшим порядком малости по отношению к \(x^{5}\). Последнее заключение сделано на основе равенства:

\(\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty\)

Если обратиться к О-символике, как в теоретическом курсе, то рассчитанные итоги вычислений допустимо представить в таком формате:

\(x^{5}=o(x^{3})\)

Проанализируем представленное условие. Получим, что при выполнении условия \(x\to 0 функции f(x)=2x^{2}+6x и g(x)=x\) определены, как бесконечно малые величины с одинаковым порядком. Тогда допустимо сделать вывод о справедливости следующих равенств:

\(2x^{2}+6x=O(x)\)

\(x=O(2x^{2}+6x)\)

Бесконечно малая величина \(0{,}7x^{2}\) характеризуется вторым порядком. При прочих равных бесконечно малая величина \({\sqrt {x}}\) соответствует порядку 0,5.

Примеры решения задач

Решение

Проанализируем условия задания. С учетом рассмотренного теоретического материала выполним замену \(\sin 2x\) на эквивалентную ей величину 2x. По итогам подстановки получим следующее выражение:

\(\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x}{x}}=2\)

Ответ: 2

Решение

Рассмотрим заданное соотношение. Применим алгоритм действий к работе с бесконечно малыми функциями. В первую очередь зафиксируем условие:

\(\sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x}\)

Данное выражение справедливо в случае, когда:

\(x\to {\dfrac {\pi }{2}}\)

В результате получим следующее равенство, которое несложно преобразовать путем алгебраических вычислений и сформулировать окончательный ответ:

\(\lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x}}=\lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4\)

Ответ: 4

Решение

Ознакомимся с представленным выше примером. При решении данной задачи допустимо использовать несколько методов. Первый вариант вычислений предполагает использование формулы по аналогии с предыдущими заданиями. Запишем последовательность действия:

\({\sqrt {1{,}2}}\approx 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1\)

Второй метод предусматривает применение калькулятора:

\({\sqrt {1{,}2}}\approx 1{,}095\)

В результате с помощью последнего способа расчетов получен ответ с погрешностью, равной 0,005, то есть меньше, чем 1 %. Минимальное отличие позволяет использовать озвученный метод, если решение задачи допускает грубую оценку арифметических корней.

Ответ: 1,1

Решение

Из курса теории известно, что для определения функции в качестве бесконечно малой при условии \(x\to +\infty\), требуется представить доказательства справедливости следующего равенства:

\(\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{{{x}^{3}}}=0\)

Исходя из вышесказанного, можно записать условие \( \varepsilon \gt 0\) и определить такое \(M=M\left( \varepsilon \right) \gt 0\), что для любых \(x \gt M\) соответствует действительности выражение:

\(\left| 0-{1}/{{{x}^{3}}}\; \right| \lt \varepsilon\)

Сформулированное неравенство удобно вычислить, так как при \(x\to +\infty\)  допустимо принять за истину \(x \gt 0\):

\(\left| \frac{1}{{{x}^{3}}} \right| \lt \varepsilon \Rightarrow {{x}^{3}} \gt \frac{1}{\varepsilon }\Rightarrow x \gt \frac{1}{\sqrt[3]{\varepsilon }}\)

На следующем шаге расчетов введем такое обозначение:

\(M={1}/{\sqrt[3]{\varepsilon }}\)

В результате получен искомый ответ.

Ответ: функция бесконечно малая.

Решение

Рассмотрим представленную в условии задачи функциональную зависимость. Решением примера служит подтверждение справедливости следующего равенства:

\(\lim\limits_{x\to 1} {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\)

Запишем такое утверждение:

\(\varepsilon \gt 0\)

Составим еще одно соотношение:

\(\delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0\)

Таким образом, при любых значениях \(x\in {{\overset{\circ }{\mathop{U}}\,}_{\delta }}\left( 1 \right)\) соответствует действительности условие:

\(\left| 0-{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right| \lt \varepsilon\)

Представленное неравенство несложно решить путем алгебраических преобразований:

\({{\left( x-1 \right)}^{2}} \lt \varepsilon \Rightarrow \left| x-1 \right| \lt \sqrt{\varepsilon }\)

Данное сравнение обладает смыслом. Логично сделать вывод о расположении х относительно единицы на меньшем расстоянии по сравнению с \(\sqrt{\varepsilon }\). Таким образом, введем обозначение для \( \delta \gt 0:\) 

\(\delta =\sqrt{\varepsilon }\)

Ответ: функция бесконечно малая.

Решение

На первом этапе вычислений целесообразно определить, чему равен предел отношения величин, а именно:

\(\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x}\)

Выполним озвученное действие посредством применения логарифмического свойства:

\(\frac{\ln (1+x)}{x} =\frac{1}{x} \ln (1+x)=\ln (1+x)^{\frac{1}{x} }\)

\(\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \ln (1+x)^{\frac{1}{x} }\)

Из теоретического курса известно о непрерывности функции логарифма в рамках области определения. Исходя из озвученных сведений, выполним взаимную перестановку знаков предела и логарифмической функции:

\(\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \ln (1+x)^{\frac{1}{x} } =\ln \left(\mathop{\lim }\limits_{x\to a} (1+x)^{\frac{1}{x} } \right)\)

Так как х является бесконечно малой величиной, то предел стремится к нулевому значению. Используем сделанный вывод в дальнейших вычислениях:

\(\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{\ln (1+x)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \ln (1+x)^{\frac{1}{x} } =\ln \left(\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x} } \right)=\ln e=1\)

Ответ: по причине соответствия частного единице рассматриваемые величины эквивалентны.