Решение уравнений высших степеней

Что такое уравнения высших степеней

В процессе решения задач по алгебре встречаются разнообразные уравнения и неравенства. Простые математические соотношения или те, что можно представить в упрощенном виде, предполагают несложную процедуру вычисления ответа. Однако существуют выражения с неизвестными повышенного уровня сложности. В их расчетах необходимо применять многоэтапные алгоритмы, свойства составных компонентов, специальные алгебраические приемы. Рассмотрим одним из подобных типов записей.

Перед тем, как приступать к решению рассматриваемых задач, необходимо проанализировать исходное уравнение. Важно корректно определить максимальную степень аргумента, то есть высшую степень. В зависимости от формата записи относят соотношение к определенной категории. На основании полученных данных составляют схему вычисления ответа, ориентируясь на наиболее подходящие для каждого конкретного случая инструкции и теоремы.

На стадии выполнения алгебраических преобразований целесообразно применить к решению заданного по условиям задачи уравнения метод приведения подобных слагаемых. Универсальный прием позволяет с минимальными рисками допущения ошибок упростить дальнейшие действия по расчету неизвестных. Подобные манипуляции демонстрируют высокую эффективность на практике. К примеру, когда сложное математическое соотношение в несколько операций приобретает вид обычного квадратного или линейного равенства.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся разновидности уравнений высших степеней. Начнем с алгебраических соотношений, содержащих неизвестные, возведенные в третью степень. Кубические выражения записывают в общем виде:

\(ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\)

где a, b, c, d представляют собой какие-либо числовые значения, а также выполняется условие: \(а\neq 0\).

Принято использовать пару стандартных методик при решении кубических уравнений, а именно:

• метод группировки;
• способ извлечение корня соответствующей степени, если алгебраическое соотношение с переменной в третьей степени отлично от стандартной записи кубического уравнения.

По аналогии вычисляют значения корней для прочих подобных равенств высших степеней нечетной кратности, а именно, 3, 5, 7 и других. Уравнения с четной степенью рассчитывают практически по такому же принципу с помощью извлечения корня соответствующей степени. В процессе вычислений важно предусмотреть появление модуля, что формирует дополнительные требования к решению задачи, то есть необходимость в рассмотрении пары уравнений в комплексе.

Уравнения четвертой степени допустимо представить в общем формате записи:

\(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dх + е=0\),

где a, b, c, d, е обозначают некоторые числа, и \(а\neq 0\).

В том случае, когда выражение четвертой степени обладает коэффициентами при третьей и первой степени, имеющими нулевое значение, подобные равенства считают биквадратными. При решении таких примеров целесообразно использовать метод замены. Кроме того, для поиска корней выражений четвертой степени нередко обращаются к способу деления многочлена на выражение нацело, либо с остатком.

Методы решения

Исходя из определения, сформулированного ранее, в уравнениях высших степеней обязательно присутствует переменная, возведенная в высшую степень, которая больше или равна трем. Несмотря на достаточно лаконичную расшифровку термина, отсутствует стандартный алгоритм действий при решении задач на подобные алгебраические соотношения. Взамен привычной единой схемы поиска ответа предлагается несколько действенных методик, а именно:

• Формула Кардано для вычисления равенств третьей степени;
• Методика Феррари на случай, если задача содержит уравнения четвертой степени;
• Теорема Виета для степени более двух;
• Теорема Безу;
• Схема Горнера.

Разберем подробнее более универсальные способы решений из представленного списка. Подобные подходы актуальны для расчета значений неизвестных, включенных в состав уравнений высших степеней с целыми и рациональными коэффициентами. При этом степень при переменной может иметь любое значение.

Теорема Виета подходит для решения алгебраических соотношений, записанных в следующем формате:

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)

Заметим, что представленное равенство имеет тройку корней. Этот нюанс определяет принцип последующих вычислений, смысл которого состоит в решении заранее составленной системы:

\(\begin{cases} x_1 + x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} \\ \end{cases}\)

Во многих научных источниках можно встретить маркировку перечисленных уравнений из системы, как формул Виета.

Следующий способ вычисления неизвестных при работе с равенствами высших степеней заключается в применении Теоремы Безу. При изучении подобной методики целесообразно рассматривать уравнения, записанные в следующем формате:

\(a_0x^n + a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2]}+...+a_{n-1}x+a_n=0\)

Заметим, что сформулированное соотношение обладает свободным членом, значение которого отлично от нулевого значения, а также некоторым корнем а из множества целых чисел. Такой корень играет роль делителя для свободного члена в процессе вычислений. Решая задания данного формата, стоит руководствоваться следующей инструкцией с четким алгоритмом действий:

• поиск и фиксация всех делителей свободного члена;
• проверка полученных делителей с целью выявления корня уравнения;
• деление каждого из уравнения на (x-α);
• запись непосредственно рассматриваемого уравнения в виде умножения (x-α) и итога произведенного ранее деления;
• вычисление корней соотношения, полученного в результате предыдущих манипуляций.

Суть решения уравнения высшей степени по схеме Горнера заключается в последовательном преобразовании соотношения, которое допустимо представить в общем виде:

\(a_0x^n + a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2]}+...+a_{n-1}x+a_n=0\)

Поиск корней в данном случае осуществляют посредством использования делителей свободного члена. По результатам алгебраических операций составляют табличную форму, ячейки которой заполняют итогами деления на (x-α). Таблица подразумевает соблюдение условия зависимости каждого члена от предшествующего. Коэффициенты из нее применяют в качестве коэффициентов в полученном от деления частного многочлене. С целью определения данных значений целесообразно воспользоваться следующими формулами:

\(b_0=a_0;\)

\(b_1=αb_0+a_1;\)

\(b_2=αb_1+a_2...b_{n-1}= αb_{n-2}+a_{n-1};\)

\(b_n=αb_{n-1}+a_n\).

Таблица для расчета значений коэффициентов согласно схеме Горнера:

 

Источник: дмш-самрина.рф

Следующий способ решения уравнений высших степеней состоит в одновременном подборе по коэффициенту при старшей степени и при свободном члене. Применение рассматриваемой методики допустимо лишь в случае выполнения специального требования. Условие заключается в том, что несократимое дробное число \frac{p}{q} будет решением алгебраического соотношения, когда числитель этой дроби играет роль делителя свободного члена, а знаменатель представляет собой делитель коэффициента, расположенного при члене со  старшей степенью. В процессе целесообразно воспользоваться следующим алгоритмом пошаговых операций:

• определить делители свободного члена;
• найти делители коэффициента, записанного при члене со старшей степенью;
• составить дробь и подобрать оптимальное решение.

Примеры решения задач

Решение

Заметим, что по условию задания записано уравнение высшей, то есть третьей степени. Это понятно по первому слагаемому. Воспользуемся методикой составления системы алгебраических соотношений:

\(\begin{cases} x_1+ x_2+x_3=-\frac{1}{1} \\ x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_3=-\frac{4}{1}=-4 \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3= -\frac{4}{1}\\ \end{cases}\)

Путем несложных вычислений можно записать следующие подходящие корни:

\(\begin{cases} x_1=-2 \\ x_2=2 \\ x_3=-1 \\ \end{cases}\)

Ответ: \(x_1=-2, x_2=2, x_3=-1.\)

Решение

Начать решение следует с анализа предложенного примера. Заметим, что высшая степень в данном случае равна трем. Согласно стандартному алгоритму действий перепишем делители члена, не принадлежащие неизвестной. Применительно к этой задаче получим следующую последовательность числовых значений:

\(±1;±2;±3;±6\)

Воспользуемся методом подстановки. Попробуем вместо корня математического соотношения использовать единицу. После соответствующей замены выражение принимает вид справедливого равенства, то есть:

\(1^3+4 \cdot 1^2+1-6=0\)

Таким образом, в несколько простых действий удалось вычислить, чему равна переменная:

\(x_1=1\)

На следующем этапе целесообразно поделить многочлен способом в столбик. В результате допустимо преобразовать начальную запись равенства с неизвестным с помощью разложения на отдельные множители. В итоге получим следующее алгебраическое соотношение:

\((x-1)(x^2+5x+6)=0\)

Заметим, что сформулированное выражение по определению представляет собой квадратное уравнение. Подобные равенства уже доводилось решать в курсе алгебры. Запишем соответствующие ответы:

\(x_{2,3}=-3;-2.\)

Ответ: \(x_1=1, x_{2,3}=-3;-2.\)

Решение

Начать решение этой задачи целесообразно с простого анализа условий. При ознакомлении с форматом записи алгебраического соотношения заметим, что высшая степень в данном случае соответствует трем. Определим, чему равны делители свободного члена. Получим следующую последовательность числовых значений:

±1;±2;±3;±6

На следующем этапе можно обратиться к табличной форме, в которой наглядно представлены вычисленные коэффициенты. После соотнесения численных значений получим многочлен по результатам нахождения результата от деления на (x-α) при  α=1. Сформулируем данное выражение таким образом:

\(x^2+5x+6\)

После необходимых преобразований начальное алгебраическое соотношение примет вид следующего справедливого равенства:

\((x-1) \cdot ( x^2+5x+6)=0\)

После несложных манипуляций с математическими операциями и записанным выражением получим ответы в виде еще пары корней данного уравнения:

\(x_{2,3}=-2;-3.\)

Ответ: \(x_1=1, x_{2,3}=-2;-3.\)

Решение

В связи с тем, что по условию задания требуется решить уравнение высшей степени, равной четырем, воспользуемся соответствующим алгоритмом и выполним математические преобразования последовательно. Начать следует с определения делителей свободного члена. Запишем следующую последовательность числовых значений:

±1; ±2; ±3; ±6

Выделим пару делителей коэффициента при старшем члене. Данные значения соответствуют следующим числам:

1; 2

Таким образом, допустимо составить целый ряд из корней для исходного алгебраического соотношения. Рассматриваемые решения нуждаются в дальнейшей проверке:

\(1;-1;2;-2;3;-3;6;-6;\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; -\frac{3}{2}.\)

Воспользуемся способом подстановки рассмотренных ранее значений в равенство. По результатам анализа полученных итогов вычислений целесообразно оставить следующие значения корней:

\(x_1=1;x_2= \frac{1}{2}.\)

Подобный вывод позволяет выполнить деления многочлена на данное выражение:

\(2(x-1)(x-\frac{1}{2})=2x^2-3x+1\)

В результате несложных алгебраических расчетов получим, что:

\(x^2+10x+6\)

При подстановке знака равенства между записанным выше многочленом и нулевым значением допустимо вычислить искомые значения переменной с помощью расчета дискриминанта. В результате получим:

\(x_{3,4}=-5±\sqrt{19}.\)

Ответ: \(x_1=1;x_2= \frac{1}{2}, x_{3,4}=-5±\sqrt{19}.\)