Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Уравнение прямой через 2 точки — это

Точка представляет собой начальное понятие из области евклидовой геометрической науки. Этот объект обладает абстрактными свойствами, не имеет габаритных размеров и прочих параметров, которые возможно измерить. Прямая, в свою очередь, образована бесконечным числом таких точек, равноудаленных друг от друга. Если на плоскости имеется пара точек, не совпадающих между собой, то через них допустимо провести прямую линию. Рассмотрим описанную ситуацию на вещественной плоскости.

Предусмотрен альтернативный вариант записи уравнения рассматриваемой прямой:

\({\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\)

Озвученное соотношение допустимо представить в обобщенном формате:

\(\displaystyle \left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0\)

Следующий случай расположения прямой предполагает исследование объектов на комплексной плоскости. Представим, что в таком двухмерном пространстве отмечены две несовпадающие точки. С помощью пары отметок допустимо построить прямую линию. Сформулируем соответствующее уравнение.

Последнюю запись можно упростить путем математических преобразований. Выполним соответствующие действия и запишем результат:

\({\bar {p}}z+p{\bar {z}}-2=0\)

\(p=2{\frac {z_{2}-z_{1}}{{\bar {z}}_{1}z_{2}-z_{1}{\bar {z}}_{2}}}\)

\({\bar {p}}=2{\frac {{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}}{z_{1}{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}z_{2}}}\)

По итогам проделанной работы с вычислениями следует сделать вывод о том, что определение прямой линии зависит от заданного комплексного числа р. Точка, отмеченная на некоторой плоскости, и прямая целиком сформированы одним вектором, либо парой координат. При этом число р из множества комплексных значений является вектором рассматриваемой прямой, а компоненты такого числа представляют собой координаты прямой.

Формулы

При формулировке векторного параметрического уравнения, описывающего прямую, используют вектор \({\vec {r}}_{0}\). Конечная точка данного направленного отрезка находится на заданной прямой. В выражение включают направляющий вектор прямой \({\vec {u}}\). В этом случае для параметра t характерен перебор каждого числа из множества действительных значений. Запишем окончательный вариант рассматриваемого уравнения:

\({\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}\)

Следующий формат записи уравнения прямой является параметрическим:

\({\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases}}\)

Здесь t обозначает какой-либо параметр, \( (a_{x};a_{y})\) представляют собой координаты точек х и у, принадлежащих направляющему вектору заданной прямой линии. При этом справедливыми являются следующие соотношения:

\(k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}}\)

\(p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}\)

Заметим, что смысл параметра t, обозначенного в выражениях, записанных выше, не отличается от аналогичной характеристики, представленной в векторно-параметрическом равенстве.

Рассмотрим канонический тип уравнения прямой. С целью его получения необходимо найти частное от деления параметрических выражений. В результате получим справедливое равенство, которое допустимо использовать на практике при решении задач:

\({\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}}{a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}\)

В сформулированном соотношении \((a_{x},a_{y})\) представляют собой координаты, соответствующие точкам х и у, которые расположены на направляющем векторе, за \(x_{0} и y_{0}\)обозначены координаты точек, отмеченных на исследуемой прямой.

Представленное соотношение несложно получить путем алгебраических преобразований:

\({\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t\\y=y_{0}+a_{y}t\end{cases}}\)

\({\begin{cases}x-x_{0}=a_{x}t\\y-y_{0}=a_{y}t\end{cases}}\)

\({\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\)

Как составить

Навыки определения уравнения для прямой при наличии пары известных точек полезны при решении задач по геометрии, физике, алгебре и другим дисциплинам. В соответствии с изученным ранее теоретическим материалом сделаем вывод о возможности формулировки такой записи путем подстановки координат, в которых расположены рассматриваемые точки. Представим, что исследуемая прямая проведена на плоскости с двумя осями ОХ и ОY. Тогда уравнение примет следующий вид:

\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}= \frac{y-y_1}{y_2-y_1}\)

Здесь \((x_1; y_1) и (x_2; y_2)\) представляют собой координаты точек. Сформулированное соотношение несложно получить с помощью преобразований. Запишем уравнение прямой, пересекающей одну точку в определенном направлении:

\(y-y_1=k \cdot (x-x_1)\)

Примем за k угловой коэффициент, значение которого не определено:

\(y_2-y_1=k \cdot (x_2-x_1)\)

\(k=\frac{y_2-y_1}{ x_2-x_1}\)

Подставим этот компонент в  исходное соотношение и запишем равенство, которое выражает связь прямой с координатами точек:

\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}= \frac{y-y_1}{y_2-y_1}\)

В некоторых случаях подобные ситуации рассматривают с точки зрения трехмерного пространства. Тогда целесообразно использовать следующее уравнение прямой для определения искомых величин:

\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}= \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\)

Примеры

Решение

Воспользуемся стандартным форматом записи выражения для прямой при известных значениях координат точек, которые рассматриваемая линия пересекает. Выполним подстановку соответствующих параметров и представим искомое уравнение:

\(\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-2}{4-2}\)

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}\)

Ответ: \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}\)

Решение

Из курса теории известно, что каноническое соотношение для прямой линии, проходящей через пару точек с известными координатами, имеет следующий вид:

\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}= \frac{y-y_1}{y_2-y_1}\)

Проанализируем сформулированную запись. Заметим, что по условию задания даны значения для компонентов выражения. Путем подстановки величин запишем уравнение для рассматриваемой прямой и упростим его посредством несложных алгебраических преобразований:

\(\frac{x-(-5)}{1-(-5)}= \frac{y-\frac{2}{3}}{-\frac{1}{6}-\frac{2}{3}}\)

\(\frac{x+5}{6}= \frac{y-\frac{2}{3}}{-\frac{5}{6}}\)

Ответ: \(\frac{x+5}{6}= \frac{y-\frac{2}{3}}{-\frac{5}{6}}.\)

Решение

Проанализируем условия задания. В случае исследования прямой линии в рамках двухмерного пространства целесообразно воспользоваться общим видом канонического уравнения, с помощью которого описывают зависимости прямой от координат принадлежащих ей точек. Представим данной выражение:

\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}= \frac{y-y_1}{y_2-y_1}\)

Заметим, что в примере заданы необходимые величины. Путем подстановки известных значений сформулируем искомое уравнение. С помощью некоторых алгебраических преобразований запишем равенство в наиболее оптимальном формате.

\(\frac{x- 1}{4-1}= \frac{y- 1}{2-1}\)

\(\frac{x- 1}{3}= \frac{y- 1}{1}\)

\(1\cdot (х-1) = 3\cdot (у-1)\)

х-3у+2 = 0

Ответ: х-3у+2 = 0.