Правила умножения векторов

Произведение векторов — это

Озвученную расшифровку термина удобно представить в виде математической записи, которую допустимо применять в процессе решения задач:

\({\bar {c}}=[{\bar {a}}{\bar {b}}]=[{\bar {a}},\;{\bar {b}}]={\bar {a}}\times {\bar {b}}={\bar {a}}\wedge {\bar {b}}\)

Векторное умножение

В формуле, записанной выше, \(\varphi\) обозначает угол, соответствующий требованиям:

\(\angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)\)

На практике, применяя озвученное утверждение, следует учитывать несколько важных условий. В первую очередь, необходимо обратить внимание на направление вектора \(\bar{c}\). Данный направленный отрезок ориентирован таким образом, что тройка \(\left\{\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right\}\) является правой. Следующая закономерность, справедливая для рассматриваемой ситуации, заключается в определении площади треугольной фигуры, полученной посредством векторов \(\bar{a} и \bar{b}\), по математическому соотношению с подстановкой чисел:

\(S_{\Delta } =\frac{\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|}{2} =\frac{1}{2} \cdot \left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \sin \varphi\)

Работа с примерами на произведение векторных отрезков предполагает последовательные вычисления. Процедуру расчетов можно упростить, если использовать характерные для таких действий свойства. Перечислим основные особенности векторного умножения:

• \(\bar{a}\times \bar{a}=\left[\bar{a},\; \bar{a}\right]=\bar{0}\);
• \(\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=-\left[\bar{b},\; \bar{a}\right]\);
• \(\left[\lambda \, \bar{a},\; \bar{b}\right]=\lambda \left[\bar{a},\; \bar{b}\right];\ \left[\bar{a},\; \lambda \, \bar{b}\right]=\lambda \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]\);
• \(\left[\bar{a}+\bar{b},\; \bar{c}\right]=\left[\bar{a},\; \bar{c}\right]+\left[\bar{b},\; \bar{c}\right];\ \left[\bar{a},\; \bar{b}+\bar{c}\right]=\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]+\left[\bar{a},\; \bar{c}\right]\).

Представим, что имеются направленные отрезки, координаты которых известны. Обозначим их таким образом:

\(\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)\)

\(\bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right)\)

Предположим, что перечисленные векторы находятся в определенном ортонормированном базисе. Тогда при вычислении их произведения допустимо использовать следующее уравнение, имеющее логические доказательства в виде последовательных расчетов:

\(\left[\bar{a},\; \bar{b}\right]=\left|\begin{array}{ccc} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|=\bar{i}\cdot \left|\begin{array}{cc} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right|-\bar{j}\cdot \left|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right|+\bar{k}\cdot \left|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right|= \bar{i}\cdot \left(a_{2} \cdot b_{3} -b_{2} \cdot a_{3} \right)-\bar{j}\cdot \left(a_{1} \cdot b_{3} -b_{1} \cdot a_{3} \right)+\bar{k}\cdot \left(a_{1} \cdot b_{2} -b_{1} \cdot a_{2} \right)= \left(a_{2} \cdot b_{3} -b_{2} \cdot a_{3} ;\; a_{1} \cdot b_{3} -b_{1} \cdot a_{3} ;\; a_{1} \cdot b_{2} -b_{1} \cdot a_{2} \right)\)

Скалярное умножение

Итог скалярного умножения может быть положительным, либо отрицательным. Вариант постановки знака перед результатом зависит от некоторых условий, а именно, значения косинуса \(\varphi =\angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)\). Перечислим особенности записи итогового ответа с плюсом или минусом:

• рассматриваемый угол меньше 90°, то есть \(\left(0<\varphi <\frac{\pi}{2} \right)\), либо имеет нулевую градусную меру, то есть \(\varphi =0^{\circ}\), тогда скалярное умножение сопровождается неотрицательным результатом вычислений;
• угол между умножаемыми векторами превышает 90°, то есть \(\left(\frac{\pi}{2} <\varphi <\pi \right)\), что объясняет наличие знака минуса в произведении, как и в случае умножения векторов, направленных в разные стороны, когда они составляют угол, равный \(\pi\).

На основании вышеизложенной информации относительно расстановки знаков при формулировке результата скалярного произведения направленных отрезков допустимо считать верными обратные утверждения. Перечислим вытекающие положения:

• при условии положительного итога умножения \(\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)>0\) угол, разделяющий векторы \(\bar{a} и \bar{b}\), является острым;
• когда произведение \( \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)<0\), то есть имеет знак минуса, угол между направленными отрезками превышает 90°;
• нулевое значение произведения векторов свидетельствует о том, что рассматриваемые отрезки с направлениями составляют прямой угол, то есть \( \left(\varphi =\frac{\pi}{2} \right).\) 

Предусмотрен ряд закономерностей, применимых в процессе решения заданий на поиск скалярного произведения направленных отрезков. Перечислим ключевые свойства, которые помогут упростить расчеты  исключить ошибки при вычислениях искомых величин:

• скалярный квадрат \(\bar{a}\cdot \bar{a}=\left(\bar{a},\; \bar{a}\right)=\bar{a}^{2}\) вектора \(\bar{a}\) соответствует протяженности, возведенной во вторую степень, для данного вектора: \(\bar{a}^{2} =\left|\bar{a}\right|^{2}\);
• первое сформулированное свойство служит доказательством для следующей характеристики векторного модуля: \(\left|\bar{a}\right|=\sqrt{\bar{a}^{2} } =\sqrt{\left(\bar{a},\; \bar{a}\right)};\)
• \(\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left(\bar{b},\; \bar{a}\right);\)
• \(\left(\bar{a}+\bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{a},\; \bar{c}\right)+\left(\bar{b},\; \bar{c}\right);\)
• \(\left(\lambda \bar{a},\; \bar{b}\right)=\lambda \left(\bar{a},\; \bar{b}\right).\)

Если векторные отрезки находятся в определенном ортонормированном базисе с известными координатами \(\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} \right) и \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} \right)\), то для получения результата скалярного умножения таких векторов используют формулу суммирования произведений координат, которые им соответствуют. Озвученное математическое соотношение представлено в следующем виде:

\(\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=a_{1} \cdot b_{1} +a_{2} \cdot b_{2}\)

Смешанное

С геометрической точки зрения смешанное умножение \(\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\) направленных отрезков \(\bar{a},\ \bar{b} и \bar{c}\) соответствует модулю объема геометрической фигуры в форме параллелепипеда, который сформирован с использованием рассматриваемых векторов. В таком случае формула для расчета произведения примет следующий вид:

\(V_{parall} =\left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|\)

Представим, что векторные отрезки \(\bar{a},\ \bar{b} и \bar{c}\) изображены по известным координатам в определенном ортонормированном базисе, то есть:

\(\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right),\; \bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right),\; \bar{c}=\left(c_{1} ;\; c_{2} ;\; c_{3} \right)\)

При озвученном условии допустимо применять специальное уравнение для вычисления результата смешанного умножения таких векторов:

\(\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\)

По аналогии  с предыдущими форматами определения произведения рассматриваемых направленных отрезков смешанный тип умножения обладает некоторыми свойствами, которые полезно изучить с целью последующего применения в процессе решения задач:

• изменение мест расположения пары векторов сопровождается заменой знака перед результатом вычисления смешанного векторного умножения, то есть:\(\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=-\left(\bar{b},\; \bar{a},\; \bar{c}\right); \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=-\left(\bar{c},\; \bar{b},\; \bar{a}\right); \left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=-\left(\bar{a},\; \bar{c},\; \bar{b}\right);\) 
• при циклическом способе перестановки умножаемых компонентов смешанного произведения оно остается без изменений, то есть: \(\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left(\bar{b},\; \bar{c},\; \bar{a}\right)=\left(\bar{c},\; \bar{a},\; \bar{b}\right);\)
• в случае принадлежности направленных отрезков \(\bar{a},\ \bar{b} и \bar{c}\) к правой тройке смешанное умножение \(\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\) имеет знак плюса, а в обратной ситуации — минуса.

Примеры решения задач

Решение

Заметим, что задача заключается в расчете скалярного умножения векторных величин. Обратимся к расшифровке термина произведения данного типа. Исходя из определения, потребуется перемножить модули направленных отрезков и косинус угла, который расположен посередине. Запишем соответствующие вычисления в последовательном порядке и сформулируем окончательный ответ:

\(\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \cos \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=1\cdot 3\cdot \cos \frac{\pi }{3} =3\cdot \frac{1}{2} =\frac{3}{2}\)

Ответ: \(\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\frac{3}{2}.\)

Решение

Заметим, что в примере речь идет о скалярном произведении направленных отрезков. Проанализируем имеющуюся информацию о рассматриваемых векторах, которые необходимо перемножить. Воспользуемся свойствами произведения подобного типа, известными из теоретического материала. Запишем соответствующее соотношение:

\(\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=\left(-2\bar{p}+\bar{q},\; \bar{p}-\bar{q}\right)=\left(-2\bar{p},\; \bar{p}-\bar{q}\right)+\left(\bar{q},\; \bar{p}-\bar{q}\right)=-2\cdot \left(\bar{p},\; \bar{p}-\bar{q}\right)+\left(\bar{p}-\bar{q},\; \bar{q}\right)\)

Продолжим математические преобразования, чтобы упростить процесс определения искомой величины:

\(-2\cdot \left(\bar{p}-\bar{q},\; \bar{p}\right)+\left(\bar{p},\; \bar{q}\right)-\left(\bar{q},\; \bar{q}\right)=-2\cdot \left[\left(\bar{p},\; \bar{p}\right)-\left(\bar{q},\; \bar{p}\right)\right]+\left(\bar{p},\; \bar{q}\right)-\bar{q}^{2} = -2\bar{p}^{2} +2\cdot \left(\bar{q},\; \bar{p}\right)+\left(\bar{p},\; \bar{q}\right)-\left|\bar{q}\right|^{2} =-2\left|\bar{p}\right|^{2} +2\cdot \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)+\left(\bar{p},\; \bar{q}\right)-2^{2}\)

Проведем заключительные расчеты и сформулируем результирующий ответ:

\(-2\cdot \sqrt{2} ^{2} +3\cdot \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)-4=-2\cdot 2+3\cdot \left|\bar{p}\right|\cdot \left|\bar{q}\right|\cdot \cos \angle \left(\bar{p},\; \bar{q}\right)=-4+3\cdot \sqrt{2} \cdot 2\cdot \cos \frac{\pi }{4} -4 =-8+6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} =-8+6=-2\)

Ответ: \( \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=-2.\)

Решение

В процессе расчета скалярного умножения пары векторных отрезков вычисляют числовое значение, полученное путем произведения координат точек начала и конца, которые соответствуют рассматриваемым векторам. Исходя из озвученного утверждения, сформулируем математическое соотношение для получения искомого результата:

\(\bar{a}\cdot \bar{b}=-1\cdot 3+2\cdot 1=-3+2=-1\)

Ответ: \(\bar{a}\cdot \bar{b}=-1.\)

Решение

По аналогии с предыдущим примером воспроизведем основные положения из определения векторного умножения направленных отрезков. Составим соответствующее выражение для поиска искомой величины и выполним необходимые вычисления:

\(\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|=\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|\cdot \sin \angle \left(\bar{a},\; \bar{b}\right)=2\cdot 1\cdot \sin \frac{\pi }{3} =2\cdot \frac{\sqrt{3} }{2} =\sqrt{3}\)

Ответ: \(\left|\bar{a}\times \bar{b}\right|=\sqrt{3}.\)