Теорема синусов и косинусов для треугольника

Формулировка теоремы косинусов

Данная теорема связывает длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов. Используя тригонометрию, получаем значения расстояний и углов, которые невозможно измерить другим способом. Теорема применяется, чтобы вычислить третью сторону фигуры по двум сторонам и вписанному в них углу, а также для вычисления углов, если известны все три стороны.

c — длина стороны, противоположной углу C, а a и b — другие стороны. Угол C — это угол между a и b.

Источник: webmath.ru

Считается, что самое раннее известное изложение закона косинусов было сделано греческим математиком Евклидом в его книге «Элементы», написанной примерно в 300 году до нашей эры. Он был развит другими греческими математиками, в том числе Птолемеем, который широко использовал его в своих работах по астрономии и географии.

Формулы

Если вам известна длина всех трех сторон треугольника, вы можете использовать следующую формулу для нахождения косинуса одного из углов:

Если вам известна длина двух сторон и мера включенного угла треугольника, вы можете использовать следующую формулу для нахождения длины третьей стороны:

Если известны длина двух сторон и длина угла, противолежащего неизвестной стороне, то для нахождения длины третьей стороны можно применить формулы:

Во всех случаях a, b и c представляют собой длины, а A, B и C — меры углов, противоположных этим сторонам, соответственно.

Доказательство теоремы косинусов

Теорему можно доказать с помощью теоремы Пифагора и некоторых тождеств из тригонометрии.

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами длиной a, b и c, и углами напротив этих сторон с мерами A, B и C соответственно. Мы можем провести высоту из вершины B к противоположной стороне, разделив треугольник на два правильных треугольника. Пусть длина высоты равна h, а длина отрезка AM равна r.

В ΔABM мы имеем,

sin A = BM/AB = h/c

и, cos A = AM/AB = r/c

Из уравнений (1) и (2) получаем h = c(sin A) и r = c(cos A).

По теореме Пифагора в ΔBMC,

a2 = h2 + (b - r)2

Подставьте h = c(sin A) и r = c(cos A) в уравнение (3).

a2 = (c(sinA))2 + (b - c(cosA))2

= c2sin2A + b2 + c2cos2A - 2bc-cosA

= c2(sin2A + cos2A) + b2 - 2bc-cosA

= c2 + b2 - 2bc-cosA

Следовательно, доказано.

Задачи

Решение: Теорема косинуса выражается тремя различными способами. Мы будем использовать формулу a2 = b2 + c2 - 2bc-cos A, так как искомая сторона противоположна ∠A.

Подставьте 55 см для b, 70 см для c и 36º для угла A.

a2 = b2 + c2 - 2bc-cosA

a2 = (55)2 + (70)2 - 2(55)(70)cos 36º

a2 = 3025 + 4900 - (7700)(0.8)

a2 = 3025 + 4900 - 6160

a2 = 1765

a ≈ 42

Ответ: Длина поперек лодок равна 42 см.

Решение: Воспользуемся определением закона косинуса: a2 = b2 + c2 - 2bc-cosA.

Подставьте 624 вместо b, 327 вместо c и 93º вместо A.

a2 = b2 + c2 - 2bc-cosA

a2 = (624)2 + (327)2 - 2(624)(327)cos 93º

a2 = 389376 + 106929 - (408096)(-0.05)

a2 = 389376 + 106929 + 20404.8

a2 = 516709.8

a ≈ 719

Таким образом, периметр треугольного поля составляет 624 + 327 + 719 = 1670 метров.

Ответ: Фермеру потребуется 1670 метров изгороди.

Решение:

Дано: Пусть ABCD — параллелограмм, такой, что CD = 6 см, BC = 10 см.

Мы знаем, что смежные углы параллелограмма являются дополнительными.

Значит, ∠B = 180º - ∠C = 180º - 79º = 101º.

Также противоположные стороны параллелограмма равны.

Значит, AB = CD = 6 см.

Применим правило косинуса в ΔABC.

Подставьте 10 вместо a, 6 вместо c и 101º вместо B.

b2 = a2 + c2 - 2ac-cosB

b2 = (10)2 + (6)2 - 2(10)(6)cos101º

b2 = 100 + 36 - (120)(-0.19)

b2 = 100 + 36 + 22.8

b2 = 158.8

b ≈ 12.6

Ответ: Длина диагонали равна примерно 12,6 см.

Дано: a = 8, b = 10, C = 45°

Решение: Используя вторую формулировку теоремы косинусов:

\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)\)

\(c^2 = 8^2 + 10^2 - 2(8)(10) cos(45°)\)
\(c^2 = 64 + 100 - 160(0.7071)\)
\(c^2 = 164 - 113.14\)
\(c^2 = 50.86\)c
c ≈ 7.13

Следовательно, длина третьей стороны равна примерно 7,13 единиц.

Теорема синусов для треугольника

Источник: itest.kz

Теорема синусов связывает стороны и углы треугольника. Она гласит, что для любого треугольника отношение длины стороны к синусу угла, противолежащего этой стороне, одинаково для всех трех сторон. Эта теорема может быть записана несколькими способами, но одна из наиболее распространенных формулировок такова:

где a, b и c — длины сторон треугольника, а A, B и C — меры углов, противолежащих этим сторонам, соответственно. Эта формула может быть использована для решения любой из сторон или углов треугольника, если достаточно информации о других сторонах и углах.

Точное происхождение теоремы неизвестно. В Древней Индии тригонометрические функции широко использовались в астрономии и астрологии. Индийский астроном Арьябхата, живший в V веке нашей эры, использовал таблицы синусов для вычисления положения небесных тел.

Формулы

Она может быть сформулирована несколькими способами в зависимости от того, что известно о треугольнике.

Вот три возможных формулировки теоремы синусов:

Если известны длины двух сторон и мера угла, противолежащего одной из этих сторон, вы можете использовать следующую формулу для нахождения длины третьей стороны:

Если известны длины всех трех сторон треугольника, вы можете воспользоваться следующей формулой для нахождения меры одного из углов:

Если известна длина одной стороны и меры углов, противолежащих этой стороне и другому углу, то для нахождения длины другой стороны применяется формула:

где R — радиус окружности треугольника.

В каждой из этих формул a, b и c представляют собой длины сторон треугольника, а A, B и C — меры углов, противоположных этим сторонам, соответственно.

Задачи

Решение: Мы можем использовать первую формулировку теоремы синусов:

sin(C) = (c / a) sin(A) = (c / b) sin(B)

Найдем sin(C):

sin(C) = (c / a) sin(A)
sin(C) = (c / 8) sin(60°)
sin(C) = (c / 8) (sqrt(3) / 2)
sin(C) = (c sqrt(3)) / 16

Теперь мы можем использовать тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, чтобы найти меру угла C:

C = 180° - A - B
C = 180° - 60° - sin-¹(sin(C) / sin(A))
C ≈ 53.13°

Наконец, мы можем использовать вторую формулировку теоремы синусов, чтобы найти длину стороны c:

sin(C) / c = sin(A) / a
c = sin(C) / sin(A) * a
c = (c sqrt(3)) / (16 sin(60°)) * 8
c ≈ 7.32

Следовательно, длина стороны c равна примерно 7,32 единицы.

Решение:

Обратите внимание, что высота показана зеленой линией.

Источник: basic-mathematics.com

Найдем угол y и угол z. Угол y + 5,5 = 90, поэтому угол y = 84,5

Для нахождения неизвестной высоты Пизанской башни недостаточно знать значение угла y. Вы должны знать значение угла z.

84,5 + 30,5 + угол z =180

115 + угол z = 180

угол z = 65

Теперь мы можем использовать закон синусов.

sin(65°) / 100 = 0.00906

sin(30.5°) / высота башни
= 0.00906

Высота башни = sin(30.5°) / 0.00906

Высота башни = 56 метров.

В действительности высота Пизанской башни составляет 55,86 метров.

Источник: basic-mathematics.com

Если домовладелец сможет построить такой сад, то он будет выглядеть так. Между третьим куском пиломатериала и куском длиной 8 футов будет образован угол A.

Воспользуемся законом синусов, чтобы проверить, возможно ли это.

sin (40 градусов) / 8 = sin (A) / 20

0,642 / 8 = sin (A) / 20

0,08025 = sin (A) / 20

Умножьте обе стороны уравнения на 20

0,08025(20) = [sin (A) / 20](20)

0.08025(20) = sin (A)

0.08025(20) = sin (A)

1.605 = sin (A)

Синус угла должен быть меньше 1. Поскольку угол A не может быть образован, сделать такой сад не получится. Поскольку угол не может быть образован, отрезок длиной 8 футов никогда не встретится с третьим отрезком. В результате он никогда не узнает длину третьего отрезка.