Таблица по алгебре квадратных и кубических корней

Что такое корень в математике

Такой вариант написания часто используется в алгебре: \(y=\sqrt[n]{x}\). Обозначение в виде корневого знака \(\sqrt{}\) носит название радикала. Величина x является подкоренной величиной. Обычно данное число является либо комплексным, либо вещественным. Также возможно внесение под корень более сложных алгебраических явлений, например матриц, вычетов, операторов и других.

Вот такие математические действия можно совершать с величинами, которые являются корнями:

• умножение;
• деление;
• возведение в степень.

Основные особенности корней:

1. Только положительная величина, которая точно определена, способна быть корнем нечетной степени, рассчитанным из положительного значения: \(\sqrt[n]{x}=y\), где \(x,y>0\), показатель n является нечетным значением. Приведем пример: \(\sqrt[3]{125}=5, \sqrt[5]{32}=2, \sqrt[15]{1}=1\).
2. Только отрицательная величина, которая точно определена, способна стать корнем нечетной степени, рассчитанным из отрицательного значения: \(\sqrt[n]{x}=y\), где x,y<0, показатель n является нечетным значением. Приведем пример: \(\sqrt[3]{-8}=-2\), \(\sqrt[5]{-243}=-3\), \(\sqrt[7]{-1}=-1\).
3. Две величины с двумя разными знаками получится, если рассчитывать корень четной степени из величины без отрицательного знака. Оба полученных значения несмотря на то, что будут разные по своему знаку, но будут эквиваленты по собственному модулю. \(\pm{\sqrt[n]{x}}=\pm{y},\) где \(x,y>0\), показатель n является четным значением. Приведем пример: \(\pm{\sqrt{4}}=\pm{2}\).
4. Невозможно извлечь корень из числа со знаком «минус» четной степени — такой величины просто нет в сфере вещественных величин, потому что в процессе возведения каждого вещественного значения в степень четной величины итогом можно считать только число без знака «минус». Но корни подобного типа возможно вычленять, но в системе, которая намного шире обычный корневой — множестве комплексных чисел. В таком случае величины корня будут являться комплексными значениями. \(\sqrt[n]{x}\) нельзя найти в сфере вещественных значений при условии x<0, показатель n является четным.
5. Стоит запомнить, что при вычислении корня всех натуральных степеней из нуля будет все равно ноль. \(\sqrt[0]{0}\).

Таблица корней

Так выглядит калькулятор:

При помощи таблицы корней возможно рассчитать корень каждого значения, которое попадает в промежуток от 0 до 99. Заметьте, что в строчках у таблицы прописываются десятки, тогда как в столбиках таблицы прописывают единицы. Ячейка в таблице, в которой соприкасаются необходимые величины, будет считаться числом, которое требовалось найти по задаче.

Так выглядит таблица квадратных корней:

Кубические корни

Главная особенность корня в кубе (то есть в третьей степени) заключается в том, что в процессе вычленения значения из него получится только один вариант ответа. При условии положительности изначального значения корень также будет неотрицательным. При условии отрицательности изначального значения корень также будет отрицательным.

Для расчета корней в кубе существуют такие же таблицы, как и для квадратных корней. Вариантов очень много, но больше всего используют таблицы для чисел в промежутке от 0 до 99. В таблице кубических корней также в строчках находятся десятки, а в столбиках находятся единицы.

Так выглядит таблица кубических корней:

Кроме таблиц, в которых представлена только вторая и третья варианты степеней, есть таблицы, в которых представлены нестандартные значения — выше 2 и 3. Но часто математики не используют подобные таблицы.

Специфические характеристики применения таблицы квадратных и кубических корней

Таблицы корней в кубе и в квадрате применяются совершенно одинаково. Но из-за того, что степени могут быть как четные, так и нечетные, появляются определенные отличия в расчете значений подобных корней.

Исходя из дефиниции термина «квадратный корень» получается, что число, которое находится под корнем, никогда не является неположительным числом. Данную особенность стали использовать потому, что требовалось привести к однозначности термин «корень в квадрате». Но существует расширенная дефиниция корня в квадрате в математике.

Согласно ей корень в квадрате является корнем, возведенным во вторую степень. Для подобного вида корня не нужно вычленять неотрицательное выражение, а также положительную величину непосредственно корня.

В случаях, когда совершаются операции с алгебраическим вариантом корня, итог будет основываться на величине, величине, которая находится под корнем. В случае, когда величина под корнем является величиной более нуля, тогда корней в результате получится два корня — один неотрицательный, а другой отрицательный. В случае, когда величина, которую возвели в степень, является неположительной, тогда у уравнения не будет никаких вариантов решения. Четной будет вторая степень, потому что не существует подобной величины, что при возведении в квадрат привело бы к неположительному значению.

Величина 47 является величиной, которая не равняется нулю, из-за этого корня будет два: 6.85565 и -6.85565. \(\sqrt{-35}\neq5.91608\), \(\sqrt{-35}\neq-5.91608\). -35 является величиной неположительной, из-за этого решения не будет.

Корень в третьей степени является нечетной степенью, из-за этого величина под корнем способна быть как неотрицательной, так и отрицательной. У подобного выражения будет решение. Таким образом, к итогу, взятому из таблицы корней, необходимо прибавить знак «минус», при условии, что корень, который нужно найти, возводится в величину менее нуля.

Как пользоваться таблицей

Если все упростить, что в итоге является квадратным корнем? Для четкого понимания этого термина стоит привести пример, который используется в рамках школьной программе по алгебре. Возьмем обычное школьное выражение: \(x^{2}=4\). Для решения необходимо осознать, что за величину необходимо возвести в квадрат, чтобы получить в итоге — 4. Согласно классической таблице умножения получается, что итог может быть в двух вариантах — 2 или -2. Для того, чтобы сделать проще решение задачи, вводят термин «корень в квадрате», а также используются специализированный значок: \(\sqrt{}\).

Из-за чего возможно сказать, что x способно быть исключительно неотрицательной величиной? Следует снова вернуться к образцу выше, рассчитать корневую величину для -9. Таким образом, получится, что 32=-9. Однако это неверный вариант, потому что не получится -9. Если рассматривать величину -3, тогда получится просто 9. Величина без знака «минус» не подходит для решения задачи. Таким образом, не бывает величин, что в процессе возведения во вторую степень, производили величину со знаком «минус».

Возможно увидеть, что корень в квадрате в ответе способен быть исключительно неотрицательной величиной, однако вспоминаем, что в первом выражении говорилось об ответе 2 и -2. Все дело в том, что типы корней различные — одни являются квадратными, а другие — арифметическими квадратными корнями. К примеру, \(a^{2}=4\) не является эквивалентом a=?4.

Для того чтобы быстрее, точнее рассчитывать величины-ответы на задачи, изобрели корневую таблицу, в которой возможно найти рассчитанные ранее корни. В корневой таблице в строчке находятся единицы, в столбиках находятся десятки. Приведем пример использования таблицы: нужно рассчитать корень в квадрате величины 54. Для начала нужно взглянуть на столбики, ищем нужное нам число, то есть 5, потом необходимо взглянуть на строчку, найти там нужное число, то есть 4. После необходимо рассмотреть место, в котором эти цифры пересекаются. В этой ячейке располагается необходимый для задачи результат, то есть 6,7082.

Таблицей квадратов уместно пользоваться в тех случаях, когда необходимо рассчитать величину двухзначной величины, возведенной в квадрат. Приведем пример: необходимо возвести в двойную степень число 89. Нужно найти в данной таблице 8 в столбике, а 9 в строчке, находим ячейку, на которой они соприкасаются. Ответ будет 7921.  

Примеры

Приведем немного примеров расчета корней при помощи таблицы кубических и квадратных корней.