Какими свойствами обладает равнобедренный треугольник — основные сведения

Равнобедренный треугольник — это… Что такое Равнобедренный треугольник?

Стороны, которые равны, являются боковыми сторонами в равнобедренном треугольнике. Третья сторона играет роль его основания. Согласно доказательству по определению, любой правильный треугольник можно назвать равнобедренным. Обратное утверждение не является верным. Угол, расположенный между боковыми сторонами считают вершинным углом. Остальные углы являются углами при основании равнобедренного треугольника.

Признаки, составляющие элементы и свойства равнобедренного треугольника

Перечислим основные свойства, которые допустимо сформулировать для равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике можно провести одну ось симметрии, проходящую через вершинный угол и середину основания. Данный отрезок аналогичен биссектрисе вершинного угла, медиане, которая проведена к основанию, высоте, построенной из вершинного угла, серединному перпендикуляру.
2. Углы, расположенные напротив равных сторон, обладают одинаковой градусной мерой в равнобедренном треугольнике. Кроме того, для такой фигуры характерно равенство биссектрис, медиан и высот, которые построены из равных углов.
3. В равнобедренном треугольнике совпадают биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр. На этих отрезках расположены центры окружностей, описанных и вписанных в равнобедренный треугольник.

Рассмотрим соотношения составляющих элементов в равнобедренном треугольнике. Обозначим а за длину двух соответствующих друг другу сторон, b является длиной основания, h обозначает высоту.

Из теоремы косинусов вытекает такое соотношение:

\(a={\frac b{2\cos \alpha }}\)

С помощью теоремы синусов можно записать следующее равенство:

\(b=a{\sqrt {2(1-\cos \beta )}}\)

\(b=2a\sin {\frac \beta 2}\)

Согласно теореме о проекциях:

\(b=2a\cos \alpha\)

При известных двух параметрах равнобедренного треугольника радиус окружности, которая в него вписана, можно рассчитать одним из предложенных вариантов:

\(r={\frac b2}{\sqrt {{\frac {2a-b}{2a+b}}}}\)

\(r={\frac {bh}{b+{\sqrt {4h^{2}+b^{2}}}}}\)

\(r={\frac {h}{1+{\frac {a}{{\sqrt {a^{2}-h^{2}}}}}}}\)

\(r={\frac b2}\operatorname {tg}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\)

\(r=a\cdot \cos(\alpha )\cdot \operatorname {tg}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\)

Углы в равнобедренном треугольнике находят таким образом:

\(\alpha ={\frac {\pi -\beta }2}\)

\(\beta =\pi -2\alpha\)

\(\alpha =\arcsin {\frac a{2R}},\beta =\arcsin {\frac b{2R}}\)

При расчете углов допустимо исключить \({\pi }\) и \(R\). Тогда следует поделить треугольник с помощью медианы на две части и вычислить углы по формуле:

\(y=\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\arccos y=x\)

Соотношения, выражающие периметр равнобедренного треугольника:

\(P=2a+b\)

\(P=2R(2\sin \alpha +\sin \beta )\)

Определить, чему равна площадь равнобедренного треугольника можно разными способами, к примеру:

\(S={\frac {1}{2}}bh\)

\(S={\frac 12}a^{2}\sin \beta ={\frac 12}ab\sin \alpha ={\frac {b^{2}}{4\tan {\frac \beta 2}}}\)

\(S={\frac {1}{2}}b{\sqrt {\left(a+{\frac {1}{2}}b\right)\left(a-{\frac {1}{2}}b\right)}}\)

Перечислим характерные признаки равнобедренного треугольника:

1. При наличии в произвольном треугольнике пары равных друг другу углов, справедливо заметить, что такой треугольник является равнобедренным, а равные углы расположены при его основании.
2. В случае совпадения высоты и медианы, либо высоты и биссектрисы, либо биссектрисы и медианы в каком-то треугольнике можно считать такой треугольник равнобедренным. При этом сторона, к которой построены перечисленные элементы фигуры, играет роль основания.

Как пользоваться свойствами и признаками равнобедренного треугольника при решении задач

Задачи для самостоятельного решения