Правила сложения и вычитания отрицательных и положительных чисел

Положительное число — это

Числа составляют фундамент математической науки и используются в разных сферах деятельности. Различают числовые значения со знаками плюса и минуса, которые обладают рядом характерных свойств. Такие закономерности удобно применять при решении задач на сложение, вычитание и прочие алгебраические операции.

Среди множества числовых значений выделяют:

• положительные;
• отрицательные;
• ноль.

С помощью чисел решают прикладные задачи в области науки, технологий, инженерии, экономики. С применением числовых выражений выполняют сравнение величин, ведут подсчеты каких-либо показателей, измеряют характеристики предметов и явлений. Существуют определенные форматы представления таких записей, к примеру:

• целые;
• десятичные;
• рациональные;
• иррациональные.

Перечисленные формы обладают набором свойств и специфическими особенностями. Путем перевода одной записи в другую допустимо упростить решение громоздких примеров, определять численные значения переменных, находить ответы к разнообразным задачам в математике, геометрии, физике и других областях научных знаний.

Используя положительные числовые выражения, измеряют количество или величину определенного объекта исследования. С целью обозначения таких чисел не применяют знак плюса, но подразумевают его наличие. Например, 3, 7, 85, 263 — числовые значения из множества положительных чисел.

С положительными числами допустимо осуществлять различные алгебраические действия, в том числе, сложение, умножение, вычитание, деление. Выполнение подобных операций сопровождается сохранением знака плюса в результате. Если суммировать пару положительных числовых значений 5 и 3, то по итогам вычислений получается 8, что также относится к множеству положительных чисел.

К рассматриваемой числовой категории причисляют десятичные и обыкновенные дроби. К примеру, 0,75 и \(\frac{3}{5}\) включены во множество положительных чисел. Подобные значения используют с целью определения количества чего-либо, выполнения вычислений, построения моделей объектов и процессов. При реализации подобных заданий удобно оперировать основными свойствами положительных чисел:

• коммутативность сложения и умножения;
• ассоциативность суммирования и умножения;
• наличие нейтрального компонента для суммы и произведения.

Отрицательное число — это

При записи отрицательного числа перед ним ставят знак минуса. К примеру, выражения -7, -89, \(-\frac{4}{7}\) относят к множеству отрицательных чисел. Как и в случае положительных, числовые значения со знаком минуса характеризуются некоторыми свойствами, знание которых упрощает решение многих математических заданий и выполнение расчетов. Перечислим закономерности:

• суммирование пары чисел с разными знаками сопровождается результатом, значение которого меньше по сравнению с нулем;
• произведение пары отрицательных числовых записей дает итог в виде числа из множества положительных значений.

Отрицательные числа обладают большим значением для области математических знаний и их использования в практических условиях. С помощью числовых записей со знаком минус фиксируют результаты убыточной деятельности, температурный режим, динамику показаний и изменение величин.

Сложение положительных чисел

Результат суммирования положительных чисел в любых обстоятельствах является числовым значением со знаком плюса. Существует общее правило, согласно которому в процессе операций с числами больше нуля необходимо выполнить сложение абсолютных значений рассматриваемых чисел и оставить знак без изменений. Например, если прибавить 2 к 3, то получится 5, то есть число со знаком плюса, аналогично знакам, записанным перед слагаемыми.

Сложение отрицательных чисел

Сумма пары отрицательных чисел представляет собой числовое значение со знаком минуса. К примеру, если к -3 прибавить -5, то получится -8, то есть число, которое меньше нуля. В данном случае применимо правило, озвученное в предыдущей ситуации, когда при суммировании чисел с одинаковым знаком следует выполнить сложение их абсолютных значений и записать знак, сохранив его без изменений. Например, -7 + (-9) = -16.

Сформулируем закономерность, с помощью которой удобно определять сумму отрицательных числовых значений. При сложении пары чисел со знаком минуса необходимо следовать алгоритму:

• сложить модули заданных слагаемых;
• поставить знак минуса перед полученным результатом.

Таким образом, справедливо следующее выражение:

(-а) + (-b) = - (а + b)

Вычитание положительных чисел

Вычитание числовых значений со знаком плюса реализовано по такой же схеме, как и сложение. В случае определения разности пары положительных чисел результатом является число больше нуля. Например, если из 7 вычесть 6, то по итогу вычислений получится 1.

Вычитание отрицательных чисел

Перед вычитанием отрицательных чисел следует обратить внимание на корректность записи знака перед скобками. Если установлен минус, то при раскрытии скобок знак численного значения будет заменен противоположным. Это утверждение допустимо сформулировать как «минус на минус дает плюс». Таким образом, разность -9 и -5 вычисляется следующим образом:

-9-(-5) = -9+5 = -4

Примеры решения задач

Решение

На первом этапе целесообразно проанализировать числовые значения, записанные в условии задания. Заметим, что одно из слагаемых имеет знак минуса. В таком случае следует воспользоваться уже знакомым из теоретического материала правилом сложения отрицательных и положительных чисел. Определим модули рассматриваемых чисел. Получим 8 и 1. Знак минуса необходимо запомнить. Далее из большего значения вычтем меньшее, то есть:

8 - 1 = 7

Выполним подстановку отрицательного знака перед полученным ответом. В результате общий вид вычислений допустимо сформулировать таким образом:

 (-8) + 1 = -7

Ответ: -7.

Решение

Заметим, что по условию задания одно из слагаемых относится к множеству рациональных чисел меньше нуля, а второе — аналогичного формата записи, но со знаком плюса. В связи с тем, что рассматриваемые числа не являются целыми, в первую очередь переведем их в обыкновенные или десятичные дроби:

\(2\frac{1}{8} = \frac{17}{8}\)

\(-1,25 = -\frac{125}{100} = -\frac{5}{4}\)

По аналогии с предыдущим примером выполним сложение числовых выражений, обладающих разными знаками. Сначала найдем сумму модулей. В процессе этой операции целесообразно записать дробные числа с общим знаменателем:

\(\frac{17}{8}\)

\(-\frac{5}{4} = -\frac{10}{8}\)

Приступим к сравнению полученных значений. Так как 17 больше, чем 10, положительное слагаемое имеет больший модуль. Такой вывод позволяет сохранить знак плюса перед записью окончательного ответа:

\(\frac{17}{8} - \frac{10}{8} = \frac{7}{8}\)

В результате, решение можно представить в виде формулы:

\(2\frac{1}{8} + (-1,25) = \frac{7}{8}\)

Ответ: \(\frac{7}{8}\).

Решение

В условии задачи роль слагаемых играют два отрицательных числа. Применим соответствующее правило. Начнем вычисления с определения модулей представленных числовых значений:

\(\mid -185 \mid = 185\)

\(\mid -23789 \mid = 23789\)

Приступим к сложению результатов преобразования:

185 + 23789 = 23974

Важно не упустить шаг записи знака минуса перед итоговым числом. Тогда общая форма вычислений примет следующий вид:

(-185) + (-23789) = -(185+23789) = -23974

Ответ: -23974.

Решение

Заметим, что оба слагаемых имеют знак минуса. Тогда целесообразно воспользоваться правилом сложения отрицательных чисел и начать выполнение расчетов с процедуры определения их модулей:

\(\mid -\frac{1}{4} \mid = \frac{1}{4}\)

\(\mid -7,15 \mid = 7,15\)

Упростить работу по суммированию представленных чисел можно путем перевода обыкновенной дроби в десятичный формат записи. Таким образом:

\(\frac{1}{4} = 0,25\)

Когда предварительные шаги выполнены, допустимо приступить к сложению:

0,25 + 7,15 = 7,4

Поставим знак минуса перед ответом, как указано в стандартном алгоритме сложения пары отрицательных чисел. В результате вычисления можно сформулировать в одну строку:

\((-\frac{1}{4}) + (-7,15) = -(\frac{1}{4} + 7,15) = -(0,25+7,15) = -7,4\)

Ответ: -7,4.

Решение

По условиям задания дана пара числовых значений с разными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения положительных и отрицательных чисел. На первом этапе запишем, чему равны модули рассматриваемых слагаемых:

\(\mid 4 \mid = 4\)

\(\mid -8 \mid = 8\)

Модуль второго числа превышает модуль первого слагаемого. Из этого утверждения следует необходимость в записи знака минуса перед итоговым ответом вычислений. В процессе расчета из большего модуля отнимем меньший, то есть:

8 – 4 = 4

Подставим отрицательный знак перед полученным результатом. Последовательные вычисления выглядят следующим образом:

4 + (-8) = -(8 - 4) = -4

Ответ: -4.

Решение

Воспользуемся принципом вычитания пары отрицательных чисел. В первую очередь определим значение противоположного числа для -5. Таковым является 5. Далее сформулируем справедливое равенство для разности двух чисел со знаком минуса:

(-28) – (-5) = (-28) + 5

Затем приступим к расчету суммы двух числовых значений с противоположными знаками. Получим следующее выражение:

(-28) + 5 = -(28-5) = -23

Составим последовательность вычислений в одну строку:

(-28) – (-5) = (-28) + 5 = -(28-5) = -23

Ответ: -23.

Решение

На первом этапе решения целесообразно определить значение, которое является противоположным для -7. Таковым служит число 7. Применим правило разности числовых выражений, обладающих разными знаками. В результате получим следующее соотношение:

(-11) – 7 = (-11) + (-7)

По аналогии с предыдущими заданиями рассчитаем результат вычитания:

(-11) + (-7) = -(11 + 7) = -18

В краткой форме озвученное решение примера можно составить таким методом:

(-11) – 7 = -(11 + 7) = -18

Ответ: -18.