Что нужно знать о сложении корней — основные сведения

Что такое арифметический квадратный корень

Согласно определению, выполняются следующие условия:

• \(a\geqslant 0;\)
• \(b\geqslant 0.\)

Перечисленные условия определяют смысл квадратного корня в алгебре.

Известно, что при возведении какого-либо числа во вторую степень получается неотрицательный результат. Запишем примеры:

\(100^2=10000\geqslant 0\)

\((-100)^2=10000\geqslant 0.\)

Попробуем вычислить \(\sqrt{25}\). Известно, что:

\(5^2=25\)

\((-5)^2=25.\)

Исходя из определения квадратного корня, искомое число должно быть неотрицательным. Таким образом, -5 в данном случае не является ответом к примеру. В результате остается одно верное решение, то есть:

\(\sqrt{25}=5\), так как \(25=5^2.\)

Свойства арифметического квадратного корня:

1. Корень произведения вычисляется, как произведение корней: \(\sqrt[{}]{ab}=\sqrt[{}]{a}\cdot \sqrt[{}]{b}\), например, \(\sqrt[{}]{64\cdot 9}=\sqrt[{}]{64}\cdot \sqrt[{}]{9}=8\cdot 3=24\).
2. Корень из дроби определяется, как корень из числителя и корень из знаменателя: \(\sqrt[{}]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[{}]{a}}{\sqrt[{}]{b}}\), когда \(a\ge 0\ ,\ b > 0,\) к примеру, \(\sqrt[{}]{\frac{64}{9}}=\frac{\sqrt[{}]{64}}{\sqrt[{}]{9}}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\).
3. Возведение корня в степень заключается в возведении в эту степень подкоренного выражения: \({{\left( \sqrt{a} \right)}^{n}}={{\left( \sqrt{{{a}^{n}}} \right)}^{{}}}\), когда \(a\ge 0\), например, \({{\left( \sqrt{2} \right)}^{4}}=\sqrt{{{2}^{4}}}=\sqrt{16}=4\).

Действия с корнями: основы

При решении задач на квадратные корни следует понимать, что результат сложения или вычитания арифметических корней не равен квадратному корню из суммы или разности, то есть:

\(\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\)

Рассмотрим пример, когда нужно сложить два корня квадратных:

\(\sqrt{25}+\sqrt{49}\)

В этом случае следует вычислить значения этих корней, а далее их суммировать:

\(\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\)

Нередко бывают ситуации, когда значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) для определения суммы \(\sqrt a+\sqrt b\) не представляется возможным вычислить. Тогда выражение оставляют в том виде, в котором оно записано.

К примеру, попробуем найти значение следующего выражения:

\(\sqrt 2+ \sqrt {49} \)

Известно, что:

\(\sqrt{49} = 7\)

При этом \(\sqrt 2\) вычислить не получается. В связи с этим, запишем ответ:

\(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7.\)

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Сложение и вычитание квадратных корней возможно в том случае, когда эти корни обладают идентичным подкоренным выражением. Таким образом, допустимо найти суммы следующих корней:

\(2\sqrt 3\) и \(4\sqrt 3\)

С другой стороны, сложить или вычесть корни с разными подкоренными выражениями не представляется возможным, к примеру:

\(2\sqrt 3\) и \(2\sqrt 5\)

Согласно изложенному правилу, перед тем, как складывать или вычитать выражения с квадратными корнями, необходимо привести их к одинаковому подкоренному выражению. После этого можно найти сумму или разность корней.

Когда под знак корня заключен полный квадрат, в первую очередь следует выполнить извлечение корня. К примеру:

\(\sqrt 4 + \sqrt 9 = 2 + 3 = 5\)

Следующий способ складывания и вычитания арифметических квадратных корней состоит в вынесении множителя числа из-под знака корня. Этот метод целесообразно использовать в том случае, когда отсутствуют полные квадраты под знаком корня. К примеру, попробуем вычислить значение следующего простого выражения с двумя слагаемыми:

\(\sqrt 24 + \sqrt 54\)

Выполним разложение на множители:

\(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\)

\(54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\)

Вынесем множители за знак корня, чтобы получить выражения с одинаковым основанием и показателем:

\(\sqrt 24 + \sqrt 54 = \sqrt {4 \cdot 6} + \sqrt{9 \cdot 6} = 2 \cdot \sqrt 6 + 3 \cdot \sqrt 6 =5 \cdot \sqrt 6\)

Сложение и вычитание квадратных корней выполняют с помощью формул сокращенного умножения:

• \((\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;\)
• \((\sqrt[3]a-\sqrt[3]b)(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a-b;\)
• \((\sqrt[3]a+\sqrt[3]b)(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=a+b;\)
• \(a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt{ab}+b);\)
• \(a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b).\)

Примеры решения задач со сложением и вычитанием корней