Какие углы называются смежными

Смежные углы — это

 

Источник: ru.wikipedia.org

Проанализируем изображение смежных углов. Заметим, что данные объекты обладают единой стороной в виде прямой линии. В результате сопоставления рассматриваемых углов получается развернутый угол. Из курса геометрии известно, что градусная мера развернутого угла составляет \(180^{\circ}\). Исходя из озвученного утверждения, можно заключить, что суммирование смежных углов дает величину в 180 градусов.

 

Источник: ru.wikipedia.org

На следующем рисунке наглядно продемонстрирована сумма смежных углов, равная \(45^{\circ} + 135^{\circ} = 180^{\circ}\).

Признаки и свойства

Решая примеры по геометрии, важно правильно идентифицировать фигуру, чтобы применять в дальнейшем подходящие формулы и закономерности для проведения расчетов тех или иных величин углов, треугольников, многоугольников. Смежные углы обладают рядом характерных признаков, по которым их легко распознать:

• наличие единой вершины;
• присутствие общей стороны, находящейся между углами.

На следующем шаге поиска ответа к задачам на вычисление параметров смежных углов полезно использовать свойства, которыми обладают данные виды геометрических объектов. Перечислим основные правила и положения:

1. В сумме смежные углы составляют \(180^{\circ}\). При необходимости в определении градусной меры одного из смежных углов нужно вычесть из \(180^{\circ}\) величину известного угла.
2. Смежные углы являются дополнением друг друга. Когда имеется произвольная пара смежных углов, в сумме составляющих \(180^{\circ}\), такие объекты называют дополняющими углами. С помощью определения величины одного из них несложно в дальнейшем рассчитать градусную меру второго.
3. Допустима ситуация, при которой углы являются смежными и вертикальными. Подобный случай возможен при образовании сторонами рассматриваемых углов прямой линии, перпендикулярной к общей стороне. Тогда градусные меры геометрических объектов равны и составляют \(90^{\circ}\) для каждого угла.

Какова сумма смежных углов

В доказательство сформулированной теоремы изобразим пару смежных углов. Обозначим их за \(\angle АОВ и \angle ВОС\).

 

Исследуем изображение выше. Заметим, что луч ОВ расположен в пространстве на плоскости, разделяющем стороны углов ОА и ОС, которые являются элементами развернутого угла. Из теоретического материала известно, что развернутый угол составляет \(180^{\circ}\). Исходя из озвученного утверждения, допустимо прийти к выводу о соответственном равенстве суммы углов \(\angle АОВ и \angle ВОС\) величине \(180^{\circ}\). Таким образом, смежные углы в сумме равны \(180^{\circ}\).

Задачи

Решение

Проанализируем условия задания. Исходя из озвученного соотношения градусных мер смежных углов, составим следующее равенство:

\(\angle АВD = \angle DВС + 40^{\circ}\)

По ранее изученной теории о смежных углах известно, что в сумме такие геометрические фигуры составляют \(180^{\circ}\). Запишем это утверждение в математическом виде, применительно к условиям задачи:

\(\angle АВD + \angle DВС = 180^{\circ}\)

Объединим два уравнения в одно справедливое равенство, выразив один смежный угол через величину второго угла:

\(\angle DВС + \angle DВС + 40^{\circ} = 180^{\circ}\)

Выполним некоторые преобразования в уравнении и рассчитаем градусную меру одного из смежных углов:

\(2\angle DВС + 40^{\circ} = 180^{\circ}\)

\(2\angle DВС = 140^{\circ}\)

\(\angle DВС = 70^{\circ}\)

В таком случае второй смежный угол несложно посчитать по стандартной формуле:

\(\angle АВD = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}\)

Ответ: \( \angle АВD = 110^{\circ}, \angle DВС = 70^{\circ}.\)

Решение

Если внимательно проанализировать условия задания, то можно заметить признаки смежных углов, которые в сумме составляют развернутый угол. Таким образом:

\(\angle DСО + \angle АСО = 180^{\circ}\)

Подставим известную величину в уравнение и запишем следующее соотношение:

\(\angle DСО + 25^{\circ} = 180^{\circ}\)

Вычислим один из смежных углов \(\angle DСО\):

\(\angle DСО = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ}\)

Ответ: \(\angle DСО = 155^{\circ}.\)