Как вычислить смешанное произведение трех векторов

Свойства смешанного произведения векторов

На уроках в школе при решении физических, геометрических и математических задач часто приходится иметь дело с векторными величинами. Их отличие от обычных чисел заключается в наличии указания на некоторое направление. К примеру, таким образом, указывают, как направлена сила, приложенная к телу, каким способом ориентирован тот или иной луч, расположен объект по отношению к заданной точке.

В процессе работы с векторными величинами можно использовать ряд правил и закономерностей. Например, с их помощью значительно упрощаются действия сложения, вычитания, умножения величин. Нередко школьникам и студентам встречаются такие примеры, где требуется вычислить смешанное произведение векторов. Запишем свойства, которые характеризуют это действие:

1. Три вектора являются компланарными тогда, когда каждый из них обладает значением, не равным нулю, а смешанное произведение данных векторов имеет нулевое значение, то есть: \(\left(\bar{a},\; \bar{b},\; c\right)=\left(\bar{b},\; \bar{a},\; \bar{c}\right)-\left(\bar{c},\; \bar{a},\; \bar{b}\right)\)
2. Для смешанного произведения векторов справедливо следующее равенство: \(\left(\bar{a},\; \left[\bar{b},\; \bar{c}\right]\, \right)=\left(\bar{c},\; \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]\, \right)=-\left(\bar{a},\; \left[\bar{c},\; \bar{b}\right]\, \right)=-\left(\bar{b},\; \left[\bar{a},\; \bar{c}\right]\, \right)=-\left(\bar{c},\; \left[\bar{b},\; \bar{a}\right]\, \right)\)
3. Тождественное соотношение Якоби: \( \left(\bar{a},\; \left[\bar{b},\; \bar{c}\right]\, \right)+\left(\bar{b},\; \left[\bar{c},\; \bar{a}\right]\, \right)+\left(\bar{c},\; \left[\bar{a},\; \bar{b}\right]\, \right)=0\)

Как найти смешанное произведение векторов: формулы

Прежде чем приступить к записи уравнения для расчета искомого значения при действиях с векторами, следует ввести понятие смешанного произведения. С обозначением данного термина необходимо ознакомиться для понимания принципа математических действий, что поможет корректно выполнять расчеты к задачам различной степени сложности.

Как правило, в условиях задач по рассматриваемой теме указаны некоторые обозначения векторов, позволяющих идентифицировать их в трехмерном пространстве. Эта информация записана в координатной форме, то есть соответствует некоторым точкам на числовых осях, ориентированных в разных направлениях. Запишем еще одно выражение, исходя из полученных данных.

Будем считать, что для векторов \(\bar{a},\; \bar{b} и \bar{c}\) предусмотрены следующие координаты в пространстве:

\(\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)\)

\(\bar{b}=\left(b_{1} ;\; b_{2} ;\; b_{3} \right)\)

\(\bar{c}=\left(c_{1} ;\; c_{2} ;\; c_{3} \right)\)

В результате можно записать соответствующую матрицу. При этом смешанное произведение рассматриваемых векторных величин будет вычисляться как матричный определитель. Сформулируем справедливое соотношение на основании логических заключений и доказательств:

\(\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|\)

Геометрический смысл смешанного произведения векторов

Существуют математические понятия и категории, которые целесообразно рассмотреть также с точки зрения геометрии. В этом случае принято переводить числовые величины в значения некоторых элементом геометрических фигур. Далее, руководствуясь соответствующими закономерностями, теориями, правилами, свойствами, признаками таких фигур из геометрии, можно доказать справедливость математических соотношений, а также представить их логическое обоснование, сформулированное на основе наглядных примеров.

В случае смешанного произведения векторов разумно обратиться к геометрической фигуре в виде параллелепипеда. Представим, что такая фигура имеется. Изобразим ее в пространстве, начиная построения с некой точки, совпадающей с началом координат.  При этом предположим, что имеет место равенство трех сторон этой фигуры некоторым вектором, которые обладают направлением и числовыми значениями, определяющими их протяженность. Перенесем исходные данные на рисунок:

 

Источник: ru.wikipedia.org

В результате, абсолютная величина смешанного произведения рассматриваемых векторов \(\mathbf {a}, \mathbf {b}, \mathbf {c}\) вычисляется как объему, который имеет изображенный на рисунке параллелепипед. Напомним, что данная геометрическая фигура составлена с помощью векторов \(\mathbf {a}, \mathbf {b} и \mathbf {c}\). Заметим, что расположение рассматриваемых векторов определяет тот факт, является ли окончательный результат положительным или отрицательным. Таким образом, в процессе расчетов требуется учитывать с правой или левой стороны отмечены данные по условию задания вектора.

Примеры решения задач

Решение

Вспомним определение рассматриваемого в задаче понятия. Для того чтобы выполнить соответствующие действия с векторами, необходимо составить матрицу. В результате по значению определителя получится вычислить смешанное произведение. Определив порядок действий, выполним вычисления:

\(\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 1\cdot 1-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-1\cdot 2\cdot 1=2\)

Ответ:  \(\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=2\)

 

Решение

В данном случае целесообразно воспользоваться геометрической интерпретацией понятия смешанного произведения векторов. Заметим, что объем геометрической фигуры, которая образована рассматриваемыми векторами, составляет 1/6 от смешанного произведения этих векторов, взятого по модулю. Запишем соответствующее соотношение для проведения расчетов:

\(V_{pyr} =\frac{1}{6} \left|\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)\right|\)

Заметим, что в условии задания указаны координаты для обозначенных векторов. Тогда для вычисления искомого произведения потребуется составить соответствующую матрицу и выявить ее определитель. Сформулируем определенные действия:

\(\left(\bar{a},\; \bar{b},\; \bar{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{array}\right|=1\cdot 2\cdot \left(-2\right)+\left(-1\right)\cdot 1\cdot 1+0\cdot 3\cdot 0-0\cdot 2\cdot 1-1\cdot 3\cdot 1-\left(-1\right)\cdot 0\cdot \left(-2\right)=-8\)

В результате, объем геометрической фигуры, который требуется найти по условию задачи, равен:

\(V_{pyr} =\frac{1}{6} \cdot \left|-8\right|=\frac{8}{6} =\frac{4}{3}\)

Ответ: \(\frac{4}{3}\)

 

Решение

В данном случае полезно вспомнить свойства для смешанного произведения векторов, а также смысл этого понятия, сформулированный с точки зрения геометрии. В первую очередь рассчитаем, чему равно смешанное произведение:

\(\begin{aligned} (\vec{p},\vec{q},\vec{r})=\,&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})=\\[3pt] =\,&(\vec{a},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+(\vec{b},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+(\vec{c},\vec{a}+\vec{b}-\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})=\\[3pt] =\,&\underbrace{(\vec{a},\vec{a},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})}_0+(\vec{a},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})-(\vec{a},\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+\\[3pt] \phantom{=\,}&+(\vec{b},\vec{a},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+\underbrace{(\vec{b},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})}_0-(\vec{b},\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+\\[3pt] \phantom{=\,}&+(\vec{c},\vec{a},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})+(\vec{c},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})-\underbrace{(\vec{c},\vec{c},\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})}_0=\\[3pt] =\,&\underbrace{(\vec{a},\vec{b},\vec{a})}_0-\underbrace{(\vec{a},\vec{b},\vec{b})}_0+(\vec{a},\vec{b},\vec{c})-\underbrace{(\vec{a},\vec{b},\vec{a})}_0+(\vec{a},\vec{c},\vec{b})-\underbrace{(\vec{a},\vec{c},\vec{c})}_0+\\[3pt] \phantom{=<br />,}&+\underbrace{(\vec{b},\vec{a},\vec{a})}_0-\underbrace{(\vec{b},\vec{a},b)}_0+(\vec{b},\vec{a},\vec{c})-(\vec{b},\vec{c},\vec{a})+\underbrace{(\vec{b},\vec{c},\vec{b})}_0-\underbrace{(\vec{b},\vec{c},\vec{c})}_0+\\[3pt] \phantom{=\,}&+\underbrace{(\vec{c},\vec{a},\vec{a})}_0-(\vec{c},\vec{a},\vec{b})+\underbrace{(\vec{c},\vec{a},\vec{c})}_0-(\vec{c},\vec{b},\vec{a})+\underbrace{(\vec{c},\vec{b},\vec{b})}_0-\underbrace{(\vec{c},\vec{b},\vec{c})}_0=\\[3pt] =\,&(\vec{a},\vec{b},\vec{c})+\underbrace{(\vec{a},\vec{c},\vec{b})}_{-(\vec{a},\vec{b},c)}+\underbrace{(\vec{b},\vec{a},\vec{c})}_{-(\vec{a},\vec{b},c)}-\underbrace{(\vec{b},\vec{c},a)}_{(\vec{a},\vec{b},c)}-\underbrace{(\vec{c},\vec{a},\vec{b})}_{(\vec{a},\vec{b},c)}+\underbrace{(\vec{c},\vec{b},\vec{a})}_{-(\vec{a},\vec{b},c)}=-4\cdot(\vec{a},\vec{b},\vec{c}), \end{aligned}\)

 

Далее целесообразно выразить модуль полученного значения:

\(|(\vec{p},\vec{q},\vec{r})|=|-4|{\cdot}|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|=4V\)

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения векторов, получим, что объем геометрической фигуры, параметры которой приведены в условии задания, составляет 4V.

Ответ: 4V

 

Источник: mathhelpplanet.com

Нужно выполнить соответствующие вычисления и представить ответы на несколько вопросов:

• смешанное произведение \(\bigl(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}\bigr)\) и расположение \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\) ;
• объем, который имеет треугольная пирамида \(ABDA_1\);
• высоту h параллелепипеда, то есть удаленность плоскостей, в которых расположены основания \(ABCD и A_1B_1C_1D_1\).

Решение

Найдем ответ на первый вопрос, то есть вычислим, чему равно смешанное произведение векторов, ориентируясь на геометрический смысл данного понятия. Запишем подходящую формулу и подставим численные значения из условия задачи:

\(\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\bigr)=\begin{vmatrix}1&2&2\\3&-2&1\\2&-1&3\end{vmatrix}=-17\)

Заметим, что в результате имеется знак минуса. Исходя из этого, целесообразно сделать вывод о том, что рассматриваемые вектора расположены слева.

Так как даны координаты для векторов, можно вычислить с помощью определителя матрицы значение смешанного произведения этих векторов:

\(\vec{a}=\overrightarrow{AB}, \vec{c}=\overrightarrow{AA_1}, \vec{a}=\overrightarrow{AB}\)

\(a=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\!,\qquad b=\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\!,\qquad c=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\)

\(\bigl(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\bigr)=\begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}0&-1&-2\\1&0&-3\\2&3&0\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&2\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}-5\\-7\\1\end{pmatrix}\)

Далее приступим к поиску объема пирамиды, вписанной в параллелограмм. Заметим, что эти геометрические фигуры имеют равные высоты. Кроме того, площадь основания пирамиды \(ABDA_1\) определяется как ½ площади основания параллелограмма ABCD. В таком случае, объем рассматриваемой треугольной пирамиды в 6 раз меньше объема данного по условию задания параллелепипеда.

\(V=\frac{h}{3}\cdot S_{\text{osn}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot S_{*}\cdot h=\frac{1}{6}\cdot V_{*}.\)

\(V_{*}=\Bigl|\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\bigr)\Bigl|\,=17\)

\(V=\frac{1}{6}\cdot V_{*}=\frac{17}{6}\)

На последнем шаге можно вычислить, чему равна высота параллелепипеда:

\(h=\frac{V_{*}}{S_{*}}\)

\(V_{*}=17\)

\(S_{*}=5\sqrt{5}\)

\(h=\frac{17}{5\sqrt{5}}\)

Ответ: -17, \(\frac{17}{6}, \frac{17}{5\sqrt{5}}\).