Сумма кубов: формула, примеры
Формула суммы кубов
В алгебре существуют специальные формулы, с помощью которых удается значительно сократить последовательные расчеты при перемножении одночленов и многочленов с цифрами или буквами. Данные принципы применяют в решении разнообразных задач. Это особый случай уравнения бинома Ньютона. Как правило, использование таких формул изучают на уроках в средних классах школы.
Популярные методы упрощения действия умножения применимы в каждом из математических разделов, в том числе, элементарной алгебре и высшей математике. С помощью достаточно простых закономерностей из сложных выражений получают простые соотношения, находят корни разных уравнений и неравенств, записывают в сокращенной версии дробные числа, высчитывают пределы и интегралы. Рассмотрим одну из формул сокращенного умножения под названием сумма кубов.
Сумма кубов пары выражений вычисляется, как результат умножения суммы данных выражений и неполного квадрата разности этих же выражений, то есть:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
\(a^{3} + b^{3} = (a + b) \cdot (a^{2} - ab + b^{2})\)
Попробуем доказать записанное равенство. С этой целью выполним умножение выражений, заключенных в скобки, путем устранения этих скобок. Таким образом:
\((a + b) \cdot (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} - a^{2}b + ab^{2} + ba^{2} - ab^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}\)
В результате формула сокращенного умножения, то есть в данном случае сумма кубов, доказана.
В распространенных ситуациях рассмотренное выше соотношение используют при решении задач в алгебре, когда требуется:
- разложить выражение на множители;
- упростить решаемый пример.
Разложение суммы кубов
Посмотрим, как можно разложить суммированные кубы. Запишем еще раз полученную формулу:
\((a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3\)
Вычислим с ее помощью сумму пары кубов:
\(a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) = (a+b)(a^2-ab+b^2 )\)
Рассмотрим следующий многочлен:
\((a^2-ab+b^2 )\)
Данное выражение носит название неполного квадрата разности и имеет знак минуса. Для понимания запишем соотношение полного квадрата разности, которое имеет следующий вид:
\((a^2-2ab+b^2 ) = (a-b)^2\)
В результате получилось соотношение, подходящее для упрощения задачи по разложению суммы пары кубов на несколько множителей:
\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 )\)
Кубы пары выражений в сумме дают произведение суммы данных выражений и неполного квадрата разности этих же выражений, то есть:
\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 )\)
Возведение в куб суммы
Представим, что имеется некое выражение в виде суммы:
\(a+b\)
Попробуем возвести записанный многочлен в третью степень. При этом целесообразно воспользоваться записанной ранее формулой сокращенного умножения, то есть суммой кубов. Выполним преобразования:
\((a+b)^3 = (a+b) (a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2 ) = a(a^2+2ab+b^2 )+b(a^2+2ab+b^2 ) = a^3+2a^2b+ab^2+a^2 b+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3\)
Результатом выполненных вычислений является формула кубы суммы пары выражений:
\((a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3\)
Сумма пары многочленов, возведенная в третью степень, то есть в кубе, вычисляется, как куб первого выражения, прибавленный к утроенному произведению квадрата первого выражения на второе выражение, суммированный с утроенным произведением первого выражения на квадрат второго выражения, и с кубом второго выражения. Таким образом:
\((a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3\)
Вместо букв в записанные соотношения допустимо подставлять разные одночлены и многочлены.
Разберем решение следующего выражения:
\((2x+3y)^3\)
С помощью записанной ранее формулы куба суммы выполним соответствующие преобразования, получим, что:
\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
Примеры задач
Дано несколько выражений, которые с применением формул сокращенного умножения требуется разложить на множители:
\(x^3+y^3\)
\(m^3-n^3\)
\(8a^3+1\)
\(125-64y^3\)
\(\frac{1}{8} k^6-8\)
\(27+ \frac{m^3}{125}\)
Решение
Вспомним правило куба суммы и выполним соответствующие преобразования. В результате:
\(x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)\)
\(m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)\)
\(8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1)\)
\(125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2)\)
\(\frac{1}{8} k^6-8 = ( \frac{1}{2} k^2 )^3-2^3=(\frac{1}{2} k^2-2)(\frac{1}{4} k^4+k^2+4)\)
\(27+ \frac{m^3}{125} = 3^3+(\frac{m}{5})^3 = (3+\frac{m}{5})(9-\frac{3m}{5}+\frac{m^2}{25})\)
Ответ: \((x+y)(x^2-xy+y^2); (m-n)(m^2+mn+n^2); (2a+1)(4a^2-2a+1); (5-4y)(25+20y+16y^2); (\frac{1}{2} k^2-2)(\frac{1}{4} k^4+k^2+4); (3+\frac{m}{5})(9-\frac{3m}{5}+\frac{m^2}{25}).\)
Дано следующее выражение:
\(19^3-11^3\)
Необходимо представить доказательства его кратности числу 8.
Решение
Воспользуемся формулой разности кубов, которую достаточно просто получить из соотношения суммы кубов. Выполним преобразования путем деления данного выражения на число 8:
\(\frac{19^3-11^3}{8} = \frac{(19-11)(19^2+19\cdot11+11^2 )}{8} = \frac{8(19^2+19\cdot11+11^2 )}{8} = 19 ^2+19\cdot11+11^2\)
Ответ: выражение \(19^3-11^3\) кратно числу 8.
Дано несколько выражений, которые с помощью применения формул сокращенного умножения требуется записать в форме многочлена:
\((x+5)^3\)
\((9-z)^3\)
\((5b-3c)^3\)
\((2mk+1)^3\)
Решение
Выполним соответствующие преобразования, используя уже знакомые правила разложения кубов суммы и разности кубов на многочлены:
\((x+5)^3 = x^3+3\cdot x^2\cdot5+3\cdot x\cdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125\)
\((9-z)^3 = 9^3-3\cdot9^2\cdot z+3\cdot9\cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3\)
\((5b-3c)^3 = (5b)^3-3\cdot(5b)^2\cdot3c+3\cdot5b\cdot(3c)^2-(3c)^3 = 125b^3-225b^2c+135bc^2-27c^3\)
\((2mk+1)^3 = (2mk)^3+3\cdot(2mk)^2\cdot1+3\cdot2mk\cdot1^2+1^3 = 8m^3k^3+12m^2k^2+6mk+1\)
Ответ: \(x^3+15x^2+75x+125; 729-243+27z^2-z^3; 125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3; 8m^3k^3+12m^2k^2+6mk+1.\)
Необходимо записать в упрощенной форме следующие выражения:
\((a+2)^3-(a-2)^3\)
\((x-3y)^3+9xy(x-3y)\)
\((x+y)^3-x(x-y)^2\)
\(3m(k+3m)^2-(k+3m)^3\)
Решение
Заметим, что в данном случае целесообразно воспользоваться формулами сокращенного умножения. Применим куб суммы и куб разности, чтобы упростить соотношения и запишем ответы:
\((a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2\cdot2+3a\cdot2^2+2^3-(a^3-3a^2\cdot2+3a\cdot2^2-2^3 )= 2\cdot6a^2-2\cdot8 = 12a^2-16\)
\((x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2\cdot3y+3x\cdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 = x^3-27y^3\)
\((x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3\)
\(3m(k+3m)^2-(k+3m)^3 = 3m(k^2+6km+9m^2 )-(k^3+3k^2\cdot3m+3k\cdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3\)
Ответ: \(12a^2-16; x^3-27y^3; -x^2 y+2xy^2+y^3; -6k^2 m-9km^2-k^3.\)
Задано несколько выражений, значение которых необходимо вычислить с использованием формул сокращенного умножения и подстановки неизвестных:
\(a^3-b^3-3ab(a-b)\), если \(a = -7; b = -17\)
\(3ab(a+b)+a^3+b^3\), если \(a = -3; b = 13.\)
Решение:
Заменим неизвестные данными числами и воспользуемся правилами сокращенного умножения:
\(a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3\)
Путем подстановки получим:
\((-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000\)
Аналогичным способом вычислим второе выражение:
\(3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 =(a+b)^3\)
Подставим значения из условия задачи:
\((-3+13)^3 = 10^3 = 1000\)
Ответ: \(1000; 1000.\)
Необходимо определить, чему равны неизвестные в следующих уравнениях:
\((3x+1)^3 = 27x^2 (x+1)\)
\((1-4x)^3+48x^2 (1 \frac{1}{3} x-1) = 0\)
Решение
Воспользуемся формулами кубов разности и суммы, чтобы вычислить корни уравнений:
\((3x+1)^3 = 27x^2 (x+1)\)
\((3x)^3+3\cdot(3x)^2+3\cdot3x+1 = 27x^3+27x^2\)
\(27x^3+27x^2+9x+1 = 27x^3+27x^2\)
\(9x+1 = 0\)
\(9x = -1\)
\(x=- \frac{1}{9}\)
\((1-4x)^3+48x^2 (1 \frac{1}{3} x-1) = 0\)
\(1-3\cdot4x+3\cdot(4x)^2-(4x)^3+48\cdot \frac{4}{3} x^3-48x^2 = 0\)
\(1-12x+48x^2-64x^3+64x^3-48x^2 = 0\)
\(1-12x = 0\)
\(12x = 1\)
\(x = \frac{1}{12}\)
Ответ: \(x=- \frac{1}{9}; x = \frac{1}{12}.\)
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
