Что такое стереометрия в геометрии

 Понятия стереометрии

Ознакомимся с основными понятиями и теориями данной области научных знаний. Предмет изучает разнообразные фигуры. Рассмотрим основные из них, с которыми часто можно столкнуться в процессе решения задач и в продолжении обучения темам из курса стереометрии повышенного уровня сложности.

Многогранники имеют следующие составные элементы:

• грани в виде многоугольников, которые упоминаются в определении;
• стороны, то есть ребра рассматриваемого многогранника;
• вершины, которые совпадают с вершинами данного многогранника.

Примеры многогранников:

Источник: ru.abcdef.wiki

Поверхность многогранника представляет собой фигуру, которая сформирована с помощью каждой из граней этого многогранника. При этом площади граней рассматриваемой фигуры в сумме дают площадь полной поверхности.

Куб обладает следующими компонентами:

• стороны являются ребрами фигуры;
• вершинами обозначают вершины рассматриваемого куба.

Пример куба:

Источник: pngwing.com

Перечислим компоненты параллелепипеда:

• стороны, то есть ребра;
• вершины, то есть вершины этих сторон.

Источник: 900igr.net

В прямом параллелепипеде грани с боков являются прямоугольниками. Прямоугольным называют такой параллелепипед, у которого каждая из граней обладает формой прямоугольника.

Введем определения для элементов призмы:

• основания, то есть многоугольники, которые равны между собой;
• боковые грани в виде параллелограммов.

Призма может быть следующих типов:

• прямая, с боковыми гранями в форме прямоугольников;
• правильная, в виде прямой призмы, в основаниях которой расположены правильные многоугольники.

Пример призмы:

Источник: commons.m.wikimedia.org

В состав пирамиды включены такие элементы, как:

• основание, то есть многоугольник;
• боковые грани треугольной формы;
• вершина, совпадает с единой вершиной треугольников.

Условия идентификации правильной пирамиды:

• в основании расположен правильный многоугольник;
• равенство боковых ребер.

Пример пирамиды:

Источник: fb.ru

Источник: en.m.wikipedia.org

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Упростить решение множества задач и изучение стереометрии позволяет знание основных положений и правил. К примеру, существуют аксиомы, которые не нуждаются в доказательстве. С их помощью достаточно просто выполнять построение классических и сложных фигур, производить разнообразные вычисления. Перечислим их.

Аксиома 1: Если 3 точки не принадлежат общей прямой, то через них допустимо построить плоскость в единственном экземпляре.

Аксиома 2: При нахождении 2 точек какой-то прямой в некой плоскости можно сделать вывод о расположении в этой же плоскости остальных точек рассматриваемой прямой.

Аксиома 3: В том случае, когда пара плоскостей обладает общей точкой, можно сделать вывод о наличии у таких плоскостей одной прямой, содержащей каждую из точек пересечения рассматриваемых плоскостей.

Аксиома 4: В какой-либо пространственной плоскости справедлива каждая из аксиом планиметрии.

При анализе перечисленных аксиом можно сформулировать некоторые закономерности. Такие утверждения называют следствиями. Перечислим их.

Теоремы стереометрии

С помощью теорем стереометрии выявлены такие свойства фигур, которые позволяют значительно упростить решение примеров. Благодаря доказанным закономерностям, получается выполнить точные расчеты параметров изучаемых объектов. Рассмотрим основные из них.

О параллельности прямых и плоскостей

Представим, что имеется какая-то прямая а и произвольная плоскость \beta. При условии их параллельности можно составить следующее соотношение:

\(а \parallel \beta\)

О перпендикулярности прямых и плоскостей

О перпендикулярности плоскостей

Перед тем, как сформулировать следующие теоремы, полезно ввести понятия рассматриваемых в дальнейшем углов. К примеру, двугранный угол является прямым при условии, что его линейный угол прямой. Заметим равенство прямого двугранного угла и смежного с ним двугранного угла.

О скрещивающихся прямых

О трех перпендикулярах

Взаимное расположение прямых в пространстве

При решении многих задач пригодится знание о расположении прямых в пространстве. Это важно для построения фигур в стереометрии и проведении различных вычислений. Рассмотрим возможные варианты построения прямых, которые могут принадлежать лишь одной плоскости или располагаться в разных плоскостях:

1. Параллельные прямые в каком-то пространстве расположены в одной плоскости и не обладают едиными точками.
2. Пара прямых в рамках какого-то пространства пересекается в том случае, когда при расположении в одной плоскости у них имеется общая точка.
3. Скрещивающимися прямыми в пространстве называют такие прямые, которые не расположены в одной плоскости.

Стереометрия — фигуры

Из курса стереометрии можно узнать о многих фигурах. Такие объекты легко идентифицировать с помощью особых признаков, на основании которых сформулированы их определения. Кроме того, каждая из подобных фигур обладает рядом полезных свойств, упрощающих решение разнообразных задач.

Призма

В призме, то есть некотором многограннике, пара граней представляет собой идентичные многоугольники, которые расположены в параллельных друг другу плоскостях. Другие же грани призмы имеют форму параллелограммов. Данные фигуры обладают общими сторонами.

Обозначение элементов призмы:

Источник: ppt-online.org

Призма характеризуется следующими свойствами:

• основания определены, как многоугольники, равные между собой;
• боковые грани фигуры представляют собой параллелограммы;
• боковые ребра расположены параллельно относительно друг другу и являются равными.

Параллелепипед

Если в основании некой призмы расположен параллелограмм, то такая фигура носит название параллелепипеда. В зависимости от конфигурации, параллелепипеды бывают следующих видов:

• прямой;
• наклонный.

При условии, что в основании прямого параллелепипеда расположен прямоугольник, такую фигуру допустимо назвать прямоугольным параллелепипедом, каждая из граней которого представляет собой прямоугольник.

Обозначение элементов параллелепипеда:

Источник: ppt-online.org

Перечислим свойства, характерные для параллелепипеда:

• грани, расположенные напротив друг друга, являются равными и взаимно параллельными;
• все 4 диагонали обладают одной точкой пересечения, которая делит их на две равные части;
• боковые грани являются прямоугольниками, если параллелепипед прямой.

Пирамида

Пирамидой называют многогранник, если выполняются следующие условия:

• основание является многоугольником;
• другие грани имеют треугольную форму;
• грани обладают общей вершиной.

Пирамиды различают в зависимости от количества углов. К примеру, бывают пирамиды треугольные, четырехугольные и прочие.

Обозначения элементов пирамиды:

Источник: prezentacii.org

Перечислим ключевые свойства пирамиды:

• равенство боковых ребер;
• одинаковый наклон боковых ребер относительно основания;
• проекция вершины в центр окружности, которая описана около основания;
• равенство высот каждой из боковых граней, опущенных из вершины, расположение высоты во внутренней области пирамиды;
• равенство всех двугранных углов, расположенных при основании;
• проекция вершины в центр окружности, которая вписана в основание;
• равенство высот каждой из боковых граней, опущенных из вершины, расположение высоты за пределами пирамиды;
• равенство двугранных углов, расположенных между боковыми гранями и плоскостью основания;
• проекция вершины в центр окружности, вневписанной в основание пирамиды.

Сфера и шар

Согласно другому определению, сферой называют некое тело вращения, которое сформировано в результате вращательного движения полуокружности относительно собственного диаметра.

Элементы сферы:

Источник: urokimatematiki.ru

Получить шар можно, если вращать полукруг вокруг его стабильного диаметра. Заметим, что поверхность шара представляет собой сферу. Таким образом, шар — это геометрическое тело, в состав которого входит сфера и пространственная часть, ограниченная данной сферой.

Составные компоненты шара:

Источник: 900igr.net

Цилиндр

Представим, что какая-то плоскость содержит окружность с центральной точкой, обозначенной за О, и радиусом R. Если построить прямые, проходящие через точки этой окружности и перпендикулярные ее плоскости, то в результате получится цилиндр.

Таким образом, можно сформировать цилиндрическую поверхность. Прямые, используемые при построении фигуры, являются образующими цилиндрической поверхности. Они параллельны, что следует из перпендикулярности данных прямых плоскости окружности.

Компоненты цилиндра:

Источник: theslide.ru

Цилиндр обладает следующими свойствами:

• равенство оснований;
• расположение оснований в плоскостях, которые параллельны друг другу;
• равенство и параллельность образующих цилиндра.

Конус

Перечислим, какими элементами обладает конус:

Источник: ppt-online.org

Разновидности конусов:

Источник: prezentacii.info

Перечислим свойства, которые характерны для конусов:

• равенство всех образующих прямого кругового конуса;
• образование прямого кругового конуса за счет вращения на полный круг прямоугольного треугольника относительно катета;
• образование прямого кругового конуса в результате вращения равнобедренного треугольника относительно собственной оси на половину круга;
• там, где конус пересекается с плоскостью, которая параллельно относительно его основания, формируется круг;
• когда при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, в области пересечения можно наблюдать образование эллипса;
• образование параболы можно наблюдать в месте пересечения при прохождении плоскости сечения через основание;
• прохождение плоскости сечения через вершину позволяет получить равнобедренный треугольник в области пересечения;
• центр тяжести какого-либо конуса расположен на 1/4 высоты от центральной точки основы.

Стереометрия — все формулы

При решении задач в стереометрии важно уметь вычислять площади поверхностей и объемы рассматриваемых фигур. В этом случае будут полезны следующие формулы.

Произвольная призма:

\(V=S{{\ }_{основания}}\cdot \text{H},\)

Здесь \({{\text{S}}_{основания}}\)  обозначает площадь основания, H является высотой.

\({V}={{\text{S}}_{\bot }}\cdot l,\)

Здесь \({{\text{S}}_{\bot }}\) обозначает площадь сечения, которое перпендикулярно боковому ребру, l является длиной бокового ребра.

Площадь полной поверхности призмы складывается из всех площадей, которыми обладают ее грани.

\({{\text{S}}_{полн. пов.}}={{\text{S}}_{боков.пов.}}+2\cdot {{\text{S}}_{\text{основания}.}}\)

Прямая призма:

\({{\text{S}}_{боков.}}=\text{H}\cdot \text{P}\)

Здесь P обозначает периметр основания.

\({{S}_{полной\ \ \ }}=H\cdot P+2\cdot {{S}_{основания\ \ }}\)

Произвольная пирамида:

\({{S}_{полной\ \ \ }}=H\cdot P+2\cdot {{S}_{основания\ \ }}\)

Цилиндр:

\({{S}_{бок.}}=2\pi RH\)

\({{S}_{полн .}}=2\pi RH+2\pi {{R}^{2}}\)

Конус:

\({{S}_{бок.}}={{l}^{2}}\cdot \frac{\alpha }{2}\)

В данном случае \(\alpha\)  является углом при вершине в радианах.

\({{S}_{бок.}}=\pi Rl\)

Здесь R является радиусом окружности основания, l обозначает длину образующей.

\({{S}_{полн. }}=\pi Rl+\pi {{R}^{2}}\)

\({{S}_{полн. }}=\pi R\left( l+R \right)\)

Шар, сфера:

\({{S}_{поверхности }}=4\pi {{R}^{2}}\)

Здесь R определяется, как радиус.

\({{S}_{поверхности }}=4\pi {{R}^{2}}\)

Правильный тетраэдр:

\(S={{a}^{2}}\sqrt{3}\)

Объем куба:

\(V=abc\)

Объем призмы:

\(V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}\)

Объем пирамиды:

\(V=\frac{1}{3}{{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \ \cdot \text{H}\)

Объем шара:

\({{V}_{\text{шара}}}\ \ \ \ \ =\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\)

Здесь R обозначает радиус.

Объем цилиндра:

\(V=\pi {{R}^{2}}H\)

Здесь R обозначает радиус основания, H является высотой.

Объем конуса:

\(V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}H\)

Здесь R обозначает радиус основания, H является высотой.

Перечисленные формулы для нахождения элементов и параметров геометрических фигур часто используют в решении задач. С их помощью расчеты становятся компактнее и проще. Рассмотрим в качестве примера несколько типичных заданий.

Источник: shkolkovo.net

Решение

Заметим, что согласно условиям задачи рассматриваемая пирамида является правильной. На основании этого утверждения можно сделать вывод о равенстве основания геометрической фигуры правильному треугольнику. Таким образом, высота SO проходит через точку, в которой пересекаются медианы основания.

Представим, что медиана обозначена за \(ВВ_1\) . Этот резок также играет роль высоты. Воспользуемся теоремой Пифагора и запишем справедливое равенство:

\(BB_1=\sqrt{BC^2-B_1C^2}=3\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad BO=\dfrac23BB_1=2\sqrt3\)

Вспомним из курсов геометрии о делении медиан с помощью точки пересечения в соотношении 2 к 1, начиная отсчет от вершины. В результате прямоугольный треугольник SOB допустимо считать равнобедренным. На основании этого заключения можно записать следующее равенство:

\(SO=BO=2\sqrt3\)

В результате градусная мера острых углов составит \(45^\circ.\) 

Ответ: 45.

Источник: shkolkovo.net

Решение

Заметим, что в кубе  \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отрезок АВ является перпендикуляром, опущенным к плоскости  \(ADD_1\). Исходя из данного утверждения, можно сделать вывод о перпендикулярности АВ какой-либо прямой, которая расположена в рассматриваемой плоскости \(ADD_1\) . На основании этого заключения сделаем вывод о равенстве искомого угла \(90^{\circ}\) .

Ответ: 90

Источник: shkolkovo.net

Решение

Предположим, что \(SB_1\) играет роль высоты для грани SAC. Исходя из того, что в задании речь идет о геометрической фигуре в виде правильного тетраэдра, сделаем вывод о соответствии каждой из его граней правильному треугольнику. Данные треугольники равны между собой. В таком случае, \(SB_1\) , кроме прочего, представляет собой медиану. Из этого следует следующее соотношение:

\(AB_1=B_1C\)

Заметим, что в случае правильного тетраэдра его вершины являются началом высоты, проходящей через точку, в которой пересекаются медианы противолежащей грани. При этом SO играет роль высоты, точка О находится на пересечении медиан треугольника АВС. Исходя из этого, заключим, что в точке О пересекаются высоты по причине наличия правильного треугольника АВС.

Сделаем вывод о том, что \(BB_1\) является и медианой, и высотой. Согласно условию задания требуется вычислить \(\mathrm{tg}^2\angle (SB_1, BB_1)\). Обозначим буквой а ребро, принадлежащее тетраэдру. В таком случае:

\(BC=a\)

\(B_1C=0,5a\)

Воспользуемся записанным соотношением и применим к этой задаче теорему Пифагора. В результате получим, что:

\(BB_1=\sqrt{BC^2-B_1C^2}=\dfrac{\sqrt3}2a\)

Исходя из того, что в точке О пересекаются медианы, эта точка делит их в соотношении 2 к 1, если начинать отсчет от вершины.  В результате:

\(OB_1=\frac13BB_1=\frac{\sqrt3}6a\)

Заметим, что справедливо следующее равенство:

\(\triangle ABC=\triangle SAC\)

Таким образом:

\(SB_1=BB_1\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(SB_1O\) :

\(\cos \alpha=\dfrac{OB_1}{SB_1}=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \sin \alpha =\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{2\sqrt2}3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{tg}^2\alpha=(2\sqrt2)^2=8.\)

Ответ: 8