Что нужно знать о средней линии треугольника — основные сведения

Использование понятия «средняя линия треугольника» помогает решить многие задачи по геометрии. Ее можно провести в любом треугольнике, независимо от соотношения длин его сторон и видов имеющихся углов.

Определение средней линии треугольника

Такое определение не является единственным. Исходя из доказательства теоремы Фалеса:

В любом треугольнике можно провести три срединные линии, поскольку он имеет три стороны, в т.ч. две — лежащие друг против друга.

Доказательством этого утверждения является теорема Фалеса:

Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы

Cвойства средних линий могут различаться. Так, в прямоугольном треугольнике две из трех средних линии перпендикулярны катетам. В то же время третья — по длине аналогична медиане, которую провели к гипотенузе.

Для треугольника, имеющего острые углы и стороны различной длины, средние линии таким свойством не обладают.

В геометрии к свойствам средней линии относят:

1. Найти длину средней линии можно разделив длину основания пополам. При этом основание треугольника и его средняя линия являются параллельными.
2. Проведя в треугольнике среднюю линию, можно смело утверждать, что он отсек еще один треугольник, который с коэффициентом ½ подобен основному — большому. Вычислить его площадь можно, разделив площадь основного треугольника на 4.
3. Проведя в треугольнике все три средние линии, получают четыре треугольника равной площади. При этой центральный из них получил название дополнительного.
4. Три средние линии, проведенные в прямоугольном треугольнике, также делят его на 4 меньших треугольника. При этом все они имеют прямые углы.

Рассмотрим треугольник: Формулу для такого действия, исходя из ниже приведенной схемы, можно выразить так:

Формулу для такого действия, исходя из выше приведенной схемы, можно выразить так:

n_b=1/2b

Теорема о средней линии треугольника

Утверждение, что средняя линия треугольника параллельна его основанию (либо третьей стороне) и по длине составляет половину этого основания, носит название теоремы о средней линии. Доказать ее можно с помощью трех способов:

1. Рассмотрим треугольник.

Из рисунка видно, что прямая MK параллельна AC. Исходя из теоремы Фалеса понятно, что точкой пересечения стороны BC является ее половина. Так как MN∈MK, значит MN параллельна AC.

Это доказательство первой части теоремы.

Приступаем к доказательству второй части: длина средней линии равна половине длины основания треугольника.

Предположим, что NP параллельна AB. По этому признаку она является средней линией треугольника (согласно теореме Фалеса). Если это так, то AP=PC.

Из рисунка видно, что фигура AMNP является параллелограммом, поэтому AP=MN. Из приведенных фактов следует, что MN=1/2AC

Второй способ основывается на том, что угол B — общий для треугольников MBN и ABC.

По известному признаку, лежащему в основе подобия треугольников, можно утверждать, что ΔMBN∼ΔABC.

Отсюда следует равенство углов BMN и BAC. Данные углы соответственные, поэтому прямые MN и AC являются параллельными.

Поскольку MN является средней линией треугольника, ее длина — равная половине AC.

Правильным является утверждение, что пропорциональность двух пар сторон обуславливает аналогичное отношение, касающееся третьей пары сторон.

Третий вариант доказательства теоремы средней линии использует такое понятие, как сумма векторов: CA, AM, MN, NC. Из вышеприведенного рисунка можно узнать, что последовательно сменяющие друг друга обозначенные векторы образуют замкнутую линию. Поэтому их сумма равна нулю.

Проведя простые математические действия, получаем формулу:

Для решения задач по нахождению параметров равнобедренных, равносторонних, прямоугольных треугольников важно знать следствия из теоремы средней линии. К ним относятся:

1. С помощью средней линии можно отсечь в основном треугольнике второй, меньший по размеру, но подобный треугольник. Его площадь составляет четверть основного, а коэффициент подобия равен ½.

Данное утверждение может быть доказано исходя из следующего:

Согласно своим особенностям средняя линия треугольника пересекается с двумя его сторонами в их серединах. Следовательно, она делит стороны AB и BC пополам. Можно записать, что MB/AB=BN/BC=1/2

В то же время сама теорема средней линии утверждает, что ее длина составляет половину основания (третьей стороны треугольника). Значит MN/AC=1/2

Искать продолжение доказательства следствия теоремы следует в третьем признаке подобия. Установлено, что площади фигур, являющихся подобными, относятся друг к другу как коэффициента подобия в квадрате. То есть приходим ко второй части свойства: площадь меньшего треугольника находится по отношению к площади большего как дробь ¼.

Поэтому записываем:

S_ΔMBN/S_ΔABC=1/4

Это результат, какой и следовало доказать.

Существует еще одно следствие из теоремы средней линии. Оно звучит следующим образом:

Если в треугольнике провести три средние линии, то они разделят его на четыре одинаковых по площади треугольника, которые будут подобными исходному с коэффициентом подобия 0,5.

Для доказательства рассмотрим рисунок.

На рисунке отрезок MN является средней линией треугольника. Поэтому по одному из своих свойств он параллелен AC. Вытекающий признак: угол BMN равен углу BAP, а угол BNM равен углу BCA, поскольку они прилегают к параллельным прямым и линиям, которые являются секущими (AB и BC).

Аналогичная ситуация по линии MP. Она параллельна BC, откуда следует, что угол MPA равен углу BCA. Это углы соответственные с учетом параллельности прямых и секущей AC.

Из вышеприведенного следует, что углы BNM, BCA, MPA равны.

MN — средняя линия треугольника, поэтому ее длина составляет половину AC и равна AP.

Поэтому треугольники AMP и MBN равны (согласно второму признаку равенства).

Факт, что остальные пары треугольников равны, можно доказать аналогичным образом.

Треугольники MBN и ABС подобны с коэффициентом 0,5. Поскольку все образовавшиеся треугольники равны, то любой из них является подобным основному (большому) с одним и тем же коэффициентом.

Задачи на использование теоремы