Разность квадратов: что это такое и как раскладывается

Что такое квадрат

Решение.

Для нахождения квадрата числа шесть, мы умножим это число на само себя.

Получаем: \(6\cdot6=36\).

Ответ: квадрат числа 6 равняется 36.

Решение.

Для проверки истинности утверждения задания, возводим число 8 в квадрат. Чтобы возвести число восемь в квадрат, умножаем его на самого себя.

Получаем: \(8\cdot8=64\).

Значит, число сорок девять не является квадратом числа 8.

Ответ: 49 не квадрат числа восемь.

Другой вариант записи квадратов числа подразумевает использования степени с натуральным показателем два.

Так, квадрат числа шесть можно записать как \(6^2=36\), а квадрат числа 8 получит вид: \(8^2=64\).

Вместо чисел в заданиях могут использовать переменные.

Объяснение.

Чтобы записать квадрат m, используем обозначение степени. Тогда выражение принимает вид: \(m^2\).

Решение.

Мы помним, что возведение в квадрат обозначает возведение во вторую степень. Получаем: \((n^3)^2\).

Возвести степень в степень = показатели степени перемножаем.

Тогда мы получаем следующую цепочку: \((n^3)^2=n^3\cdot2=n^6\).

Что такое разность квадратов

Буквенно утверждение записывают так: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Решение.

Запишем саму разность квадратов этих чисел: \(5^2-4^2\). Выделим два способа решения такого примера:

Первый способ.

Возведем каждое число в степень, потом найдем разность: \(5^2-4^2=25-16=9\).

Второй способ.

Используем формулу разности квадратов: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), формулировку которой мы ввели выше.

Вместо переменных a и b подставляем числа пять и четыре соответственно и считаем: \(5^2-4^2=(5-4)(5+4)=1\cdot9=9\).

Формула разности квадратов

Формулу разности квадратов относят к формулам сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения используют для упрощения алгебраических выражений или разложения их на множители.

Формулу используют для упрощения выражений посредством раскрытия скобок и разложения многочлена на множители.

Любая формула сокращенного умножения формирует тождество = используем формулы как справа налево, так и слева направо.

Вместо букв a и b могут использовать любые другие буквы или целые выражения.

Читается: «Разность квадратов a и b равна произведению разности a и b на сумму a и b». Или  «Разность квадратов двух выражений = произведению суммы выражений на их разность».

Тождество верно в обоих направлениях, то есть, разность выражений, умноженная на сумму этих же выражений, равны разности квадратов этих выражений.

Формула: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

Таблица разности квадратов

Разность квадратов раскладывают так: \(m^2-n^2=(m-n)(m+n)\).

Как раскладывается разность квадратов

Доказательство этого утверждения приводят «с конца». Упрощают правую часть выражения, приводя ее к левой части.

Рассмотрим процесс подробно.

Используя распределительный закон умножения, раскрываем скобки (m-n)(m+n):

каждую переменную первой скобки умножаем на каждую переменную второй скобки. Помним, что разность m-n представляет собой сумму чисел m и (-n).

Тогда получаем: \((m-n)(m+n)=m\cdot m+m\cdot n+(-n)\cdot m+(-n)\cdot n\). Теперь упрощаем полученное выражение: переменные, которые умножили сами на себя, возводим в квадрат и раскрываем скобки.

Получаем: \(m\cdot m+m\cdot n+(-n)\cdot m+(-n)\cdot n=m^2+mn-mn-n^2\). Мы видим, что у нас есть противоположные выражения mn и (-mn). Их сокращаем: \(m^2+mn-mn-n^2=m^2-n^2.\)

Вся цепочка рассуждений: \((m-n)(m+n)=m\cdot m+m\cdot n+(-n)\cdot m+(-n)\cdot n=m^2+mn-mn-n^2=m^2-n^2\)

Мы получили разность квадратов двух выражений, что и требовалось доказать.

Если же рассматривать прямое доказательство тождества, то действуем следующим образом: искусственно прибавляем и отнимаем от разности квадратов произведение m и n. Получаем: \(m^2-n^2=m^2-n^2+mn-mn\). Это действие позволяет сохранить исходное выражение без изменений.

После сгруппируем одночлены: \(m^2-n^2+mn-mn=m^2+mn-n^2-mn=(m^2+mn)+(-n^2-mn))\). Теперь вынесем общие множители за скобки. Из первой скобки выносим m, а из второй скобки -n.

Получаем: \((m^2+mn)+(-n^2-mn)=m(m+n)-n(n+m)=m(m+n)-n(m+n)\). У нас есть общий множитель m+n. Его выносим за скобку.

\(m(m+n)-n(m+n)=(m+n)(m-n)\). В результате мы получили результат разности квадратов, который был указан в формуле. Что и требовалось доказать.

Вся цепочка рассуждений:\(m^2-n^2=m^2-n^2+mn-mn=m^2+mn-n^2-mn=(m^2+mn)+(-n^2-mn)=m(m+n)-n(n+m)=m(m+n)-n(m+n)=(m+n)(m-n)\) 

Примеры решения задач

Объяснение.

Перед нами пример разности квадратов двух буквенных выражений. Чтобы выполнить требуемое заданием, применяем формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Используем формулу и получаем: \(с^2-v^2=(c-v)(c+v)\).

Объяснение.

Упростить выражение = раскрыть скобки.

Для упрощения этого выражения используем формулу разности квадратов: данное разложение на множители соответствует правой части формулы сокращенного умножения.

Используем эту формулу и получаем: \((g-f)(g+f)=g^2-f^2\).

Объяснение.

Прежде, чем использовать формулы разности квадратов, выделяем квадрат каждого компонента выражения. Преобразуем одночлен \(4с^2\) по свойству степени: \(4с^2=2^2\cdotс^2\). И запишем его в виде: \((2с)^2\). Тогда исходное выражение приобретает вид: \((2с)^2-v^2\).

Теперь используем формулу сокращенного умножения: \((2с)^2-v^2=(2c-v)(2c+v)\). Разложение многочлена закончено.

Вся цепочка разложения: \(4с^2-v^2=2^2\cdot с^2-v^2=(2с)^2-v^2=(2c-v)(2c+v)\).

Объяснение.

Прежде чем использовать формулу разности квадратов, нужно выделить эти квадраты. Преобразуем каждый одночлен многочлена в квадрат выражения:

первый одночлен будет иметь вид \(9k^4=3^2\cdot(k^2)^2=(3k^2)^2\), второй одночлен: \(16p^6=4^2\cdot(p^3)^2=(4p^3)^2\).

Запишем полученные преобразования в исходное выражение: \(9k^4-16p^6=(3k^2)^2-(4p^3)^2\) и воспользуемся формулой разложения разности квадратов двух выражений: \((3k^2)^2-(4p^3)^2=(3k^2-4p^3)(3k^2+4p^3))\).

Вся цепочка преобразований: \(9k^4-16p^6=3^2\cdot(k^2)^2-4^2\cdot(p^3)^2=(3k^2)^2-(4p^3)^2=(3k^2-4p^3)(3k^2+4p^3)\).

Решение.

Мы видим, что у нас есть сумма и разность двух выражений 2h и 3y. Во второй скобке меняем местами компоненты, пользуясь свойством сложения: \((2h-3y)(3y+2h)=(2h-3y)(2h+3y)\).

Теперь мы можем использовать формулу разности квадратов: компоненты, то есть, 2h и 3y, возводим в квадрат и ставим между полученными выражениями знак минус.

\((2h-3y)(2h+3y)=(2h)^2-(3y)^2\). Чтобы раскрыть такие скобки, нужно каждый компонент скобок возвести в квадрат.

Получаем:\((2h)^2-(3y)^2=2^2\cdot h^2-3^2\cdot y^2\). Теперь упрощаем: \(2^2\cdot h^2-3^2\cdot y^2=4h^2-9y^2\).

Вся цепочка рассуждений: \((2h-3y)(3y+2h)=(2h-3y)(2h+3y)=(2h)^2-(3y)^2=2^2\cdot h^2-3^2\cdot y^2=4h^2-9y^2\).

Решение.

Перепишем наше выражение, поменяв компоненты местами: \(36r^4-64d^2\). Теперь перед нами классический вариант записи разности квадратов. Для разложения на множители используем формулу сокращенного умножения.

Первый способ.

Перед применением формулы, выделим квадраты каждого элемента в нашем выражении.

Получаем:

\(36r^4=6^2\cdot{(r^2)}^2={(6r^2)}^2 и 64d^2=8^2\cdot d^2={(8d)}^2\)

Подставим полученные выражения в исходное: \({(6r^2)}^2-{(8d)}^2\). И раскладываем на множители по формуле: \({(6r^2)}^2-{(8d)}^2=(6r^2-8d)(6r^2+8d)\). Проверяем, если ли еще общие множители, которые можно вынести за скобки. Смотрим на коэффициенты первой скобки. У нас есть числа 6 и 8. У них есть общий делитель 2. Тогда двойка станет общим множителем. Выносим ее за скобку: \((6r^2-8d)(6r^2+8d)=2(3r^2-4d)(6r^2+8d)\).

Рассмотрим вторую скобку, там такие же коэффициенты, значит, и здесь выносим 2 за скобку: \(2(3r^2-4d)(6r^2+8d)=2(3r^2-4d)\cdot2(3r^2+4d)\). Перемножим вынесенные множители: \(2(3r^2-4d)\cdot2(3r^2+4d)=2\cdot2(3r^2-4d)(3r^2+4d)=4(3r^2-4d)(3r^2+4d)\). На этом мы закончили разложение.

Вся цепочка рассуждений: \(-64d^2+36r^4=36r^4-64d^2=6^2\cdot{(r^2)}^2-8^2\cdot d^2={(6r^2)}^2-{(8d)}^2=(6r^2-8d)(6r^2+8d)=2(3r^2-4d)(6r^2+8d)=2(3r^2-4d)\cdot2(3r^2+4d)=2\cdot2(3r^2-4d)(3r^2+4d)=4(3r^2-4d)(3r^2+4d)\)

Второй способ.

Перед применением формулы разности квадратов, вынесем за скобки общий множитель коэффициентов за скобки: числа 36 и 64 имеют общий делитель четыре.

Выносим четыре за скобки, а компоненты делим на 4:

\(36r^4-64d^2=4(\frac{36r^4}4-\frac{64d^2}4)=4(9r^4-16d^2)\)

Теперь выражение в скобках представляем в виде разности степеней с показателем 2. Для этого выделяем квадрат каждого компонента: \(4(9r^4-16d^2)=4\cdot(3^2\cdot{(r^2)}^2-4^2\cdot d^2)=4\cdot({(3r^2)}^2-{(4d)}^2)\;\) 

И используем формулу разности квадратов для разложения на множители: \(4\cdot({(3r^2)}^2-{(4d)}^2)=4(3r^2-4d)(3r^2+4d)\).

Вся цепочка рассуждений: \(-64d^2+36r^4=36r^4-64d^2=4(\frac{36r^4}4-\frac{64d^2}4)=4(9r^4-16d^2)=4\cdot(3^2\cdot{(r^2)}^2-4^2\cdot d^2)=4\cdot({(3r^2)}^2-{(4d)}^2)=4(3r^2-4d)(3r^2+4d).\)

 

Объяснение.

Попробуем сгруппировать одночлены так, чтобы потом для разложения применить формулу разности квадратов.

\(-3g+4w^2+2w-9g^2\)

Во второй скобке видим возможность применить разложение по формуле. Но перед этим выделяем квадрат каждого компонента второй скобки: \((-3g+2w)+(4w^2-9g^2)=(-3g+2w)+(2^2\cdot w^2-3^2\cdot g^2)=(-3g+2w)+({(2w)}^2-{(3g)}^2).\)

Теперь применяем формулу разности квадратов. Вместо a подставляем 2w, а вместо b пишем 3g.

Получаем: \((-3g+2w)+({(2w)}^2-{(3g)}^2)=(-3g+2w)+(2w-3g)(2w+3g)\).

Смотрим, что мы можем сделать дальше. Обратим внимание на первую скобку: (-3g+2w) и поменяем в ней элементы местами, что не повлияет на выражение.

Перепишем пример: \((-3g+2w)+(2w-3g)(2w+3g)=(2w-3g)+(2w-3g)(2w+3g)\). Теперь у нас образовались подобные слагаемые, которые выражены суммой двух элементов: (2w-3g). Вынесем этот общий множитель за скобку.

Получаем: \((2w-3g)+(2w-3g)(2w+3g)=(2w-3g)(\frac{2w-3g}{2w-3g}+\frac{(2w-3g)(2w+3g)}{2w-3g})\).

Теперь сокращаем дробные выражения: \((2w-3g)+(2w-3g)(2w+3g)=(2w-3g)(\frac{2w-3g}{2w-3g}+\frac{(2w-3g)(2w+3g)}{2w-3g})\\\\\\(2w-3g)(\frac{2w-3g}{2w-3g}+\frac{(2w-3g)(2w+3g)}{2w-3g})=(2w-3g)(1+(2w+3g))\)

И во второй скобке можно раскрыть скобки: (2w-3g)(1+(2w+3g))=(2w-3g)(1+2w+3g). Больше мы ничего сделать не можем, значит, разложение на множители закончено.

Вся цепочка решения:\(-3g+4w^2+2w-9g^2=(-3g+2w)+(4w^2-9g^2)=(-3g+2w)+(2^2\cdot w^2-3^2\cdot g^2)=(-3g+2w)+({(2w)}^2-{(3g)}^2)=(-3g+2w)+(2w-3g)(2w+3g)=(2w-3g)+(2w-3g)(2w+3g)=(2w-3g)(\frac{2w-3g}{2w-3g}+\frac{(2w-3g)(2w+3g)}{2w-3g})=(2w-3g)(1+(2w+3g))=(2w-3g)(1+2w+3g)\)

Объяснение.

Разложим многочлен на множители.

Сгруппируем элементы: \(zs^2+z^2-4s^2-z^3=(zs^2-z^3)+(z^2-4s^2)\).

В первой скобке видим общий множитель z, поэтому выносим его за скобки. В скобках видим формулу, ее применяем.

\(Получаем: zs^2+z^2-s^2-z^3=(zs^2-z^3)+(z^2-s^2)\\\\(zs^2-z^3)+(z^2-s^2)=z(s^2-z^2)+(z^2-s^2)=во\;второй\;скобке\;поменяем\;знаки\;элементов:\;вынесем\;(-1)\;за\;скобки=z(s^2-z^2)+(-1)(s^2-z^2)=упростим\;запись=z(s^2-z^2)-(s^2-z^2)=\;вынесем\;(s^2-z^2)\;за\;скобки=(s^2-z^2)(\frac{z(s^2-z^2)}{s^2-z^2}-\frac{s^2-z^2}{s^2-z^2})=сократим\;дробные\;выражения=(s^2-z^2)(z-1)=применим\;формулу\;разности\;квадратов=(s-z)(s+z)(z-1).\)

Преобразование закончено.

Объяснение.

Упростить = раскрыть скобки + найти подобные слагаемые + выполнить действия.

\(Раскрываем\;скобки\;по\;формуле:\\(9h+2k)(2k-9h)+(k+6h)(6h-k)=меняем\;элементы\;в\;скобках\;в\;суммах\;местами=(2k+9h)(2k-9h)+(6h+k)(6h-k)=применяем\;формулу\;разности\;квадратов\;справа\;налево=(4k^2-81h^2)+(36h^2-k^2)=раскрываем\;скобки:\;перед\;скобками\;знак\;"+",\;значит,\;скобки\;убираем,\;знаки\;оставляем=4k^2-81h^2+36h^2-k^2=ищем\;подобные\;слагаемые=\mathbf4\boldsymbol k^{\mathbf2}-81h^2+36h^2\boldsymbol-\boldsymbol k^{\mathbf2}=4k^2-k^2-81h^2+36h^2=работаем\;с\;коэффициентами=(4-1)k^2+(-81+36)h^2=3k^2-45h^2. \)

Больше ничего упросить нельзя, задание закончено.