Формула разности кубов, примеры решения задач

Что такое куб

Говорят, что таким образом число возводят в третью степень. Другое название третьей степени определяется кубом числа.

Решение.

Чтобы найти куб числа, будем умножать тройку на саму себя три раза: \(3\cdot3\cdot3=27\).

Другой вариант записи: \(3^3=3\cdot3\cdot3=27\).

Читают: «Три в третьей степени дает двадцать семь». Или: «Три в кубе составляет двадцать семь».

Решение.

Записываем четыре в третьей степени: \(4^3\).

Нужно возвести число в куб. Для подсчета умножаем четыре на само себя три раза: \(4\cdot4\cdot4\). И считаем: \(4\cdot4\cdot4=64\).

Цепочка рассуждений: \(4^3=4\cdot4\cdot4=64\).

Читают: «Четыре в третьей степени составляет шестьдесят четыре».

Вариант: «Четыре в кубе дает шестьдесят четыре».

Решение.

Для того, чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно возвести число 5 в третью степень. Записываем выражение: \(5^3\) и находим его значение. Умножаем число пять само на себя три раза и находим ответ: \(5^3=5\cdot5\cdot5=125\). Мы получили 125, значит, куб числа пять равен ста двадцати пяти, а не восьмидесяти одному. Поэтому число 81 не является кубом числа 5.

Вместо чисел неизвестные нам компоненты могут обозначатся специальными математическими символами греческого и латинского алфавитов.

Решение.

Кубом z будет переменная, которую возвели в третью степень, то есть умножили саму на себя три раза. Записываем результат: \(z\cdot z\cdot z=z^3\).

Решение.

Используем свойства степеней с натуральным показателем: при возведении степени в степень мы перемножаем показатели степени: \({(s^4)}^3=s^{4\cdot3}\) и получаем \(s^{4\cdot3}=s^{12}\).

Вся цепочка: \({(s^4)}^3=s^{4\cdot3}=s^{12}\).

Решение

Чтобы упростить данное выражение, нужно каждый компонент, который стоит в скобках, возвести в куб. Показатели степени в таком случае перемножаем. И если у переменной не указан показатель степени, то он равен единице.

Получаем: \({(d^2fk^6)}^3={(d^2f^1k^6)}^3={(d^2)}^3\cdot{(f^1)}^3\cdot{(k^6)}^3=d^{2\cdot3}\cdot f^{1\cdot3}\cdot k^{6\cdot3}=d^6\cdot f^3\cdot k^{18}=d^6f^3k^{18}\)

Что такое разность кубов

На языке алгебры утверждение записывают следующим образом: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\). Такое правило преобразование является одним из формул, которые называют формулами сокращенного умножения.

Решение.

Записываем разность кубов этих чисел: \(4^3-3^3\). Решить такое выражение можно двумя способами.

1 способ.

Решаем по действиям:

• возводим компоненты в степень;
• находим разность.

Получаем: \(4^3=4\cdot4\cdot4=64\) и \(3^3=3\cdot3\cdot3=27\).

Подставляем результаты и считаем: \(4^3-3^3=64-27=37\).

Вся цепочка рассуждений: \(4^3-3^3=4\cdot4\cdot4-3\cdot3\cdot3=64-27=37\).

2 способ.

Решаем с помощью формулы разности кубов.

Записываем разность чисел четыре и три и умножаем ее на неполный квадрат: квадрат первого числа + произведение первого числа на второе + квадрат второго числа.

Получаем: \(4^3-3^3=(4-3)(4^2+4\cdot3+3^2)\).

И считаем: \((4-3)(4^2+4\cdot3+3^2)=1\cdot(4\cdot4+12+3\cdot3)=1\cdot(16+12+9)=1\cdot37=37\).

Вся цепочка: \(4^3-3^3=(4-3)(4^2+4\cdot3+3^2)=1\cdot(4\cdot4+12+3\cdot3)=1\cdot(16+12+9)=1\cdot37=37\).

Формула разности кубов

Разность кубов относят к формулам сокращенного умножения. Ее используют для разложения многочлена на множители и упрощения выражений.

Формула выглядит так: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\). Ее использование равносильно как справа налево так и слева направо.

Вместо переменных — то есть букв — используют числа, выражения и так далее. Переменные показывают, что их конкретные значения могут изменяться.

Варианты прочтения формулы: «Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат чисел».

«Разность кубов двух выражений находят посредством умножения разности этих выражений на неполный квадрат выражений».

Неполный квадрат читают как «квадрат первого выражения + произведение первого и второго выражений + квадрат третьего выражения».

Формулу при работе справа налево для раскрытия скобок с целью упрощения выражения записывают как: \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\).

Значит, разность двух выражений, которая умножена на неполный квадрат этих выражений, составляет разность кубов выражений.

Как разложить разность кубов

Разложение разности кубов двух чисел или выражений осуществляют следующим образом: \(k^3-p^3=(k-p)(k^2+kp+p^2)\).

Рассмотрим доказательство этого тождества. Проводит его будет «с конца», то есть, раскрывая скобки, последовательно перемножая компоненты между собой и упрощая выражение.

Для раскрытия скобок используем распределительный закон.

Получаем: \((k-p)(k^2+kp+p^2)=k\cdot k^2+k\cdot kp+k\cdot p^2-p\cdot k^2-p\cdot kp-p\cdot p^2\).

Теперь упрощаем выражение. Сначала перемножаем компоненты: \(k\cdot k^2+k\cdot kp+k\cdot p^2-p\cdot k^2-p\cdot kp-p\cdot p^2=k^3+k^2p+kp^2-k^2p-kp^2-p^3\). После преобразования ищем подобные слагаемые, то есть такие слагаемые, которые имеют одинаковые буквенные части.

Получаем: \(k^3+k^2p+kp^2-k^2p-kp^2-p^3=k^2p-k^2p-kp^2+kp^2+k^3-p^3\) . Мы видим,ч то нашли противоположные компоненты, поэтому их сокращаем:

\(k^2p-k^2p-kp^2+kp^2+k^3-p^3\)

И у нас остается разность кубов: \(k^3-p^3\).

Значит, наше тождество доказано.

Вся цепочка рассуждений: \((k-p)(k^2+kp+p^2)=k\cdot k^2+k\cdot kp+k\cdot p^2-p\cdot k^2-p\cdot kp-p\cdot p^2=k^3+k^2p+kp^2-k^2p-kp^2-p^3=k^2p-k^2p-kp^2+kp^2+k^3-p^3=k^3-p^3\)

Примеры решения задач

Решение.

Запись разности кубов будет выглядеть так: \(h^3-v^3\). Далее используем формулу разности кубов: первое выражение обозначается h, второе — v.

Подставляем в формулу, приведенную выше: вместо a подставляем h, а вместо b подставляем v.

Получаем: \(h^3-v^3=(h-v)(h^2+hv+v^2)\).

Решение.

Смотрим на первую скобку. В ней отражены разность двух выражений. Во второй скобке записан неполный квадрат: квадрат первого выражения + произведение первого и второго выражения + квадрат второго выражения.

Значит, чтобы упростить данное выражение = раскрыть скобки, нужно применить формулы разности кубов.

Вместо переменных a и и b мы записываем k и l соответственно:

\((k-l)(k^2+kl+l^2)=k^3-l^3\)

Решение.

Чтобы использовать формулу разности кубов, преобразуем наше выражение: выделим куб \(8g^3\).

\(8g^3=2^3\cdot g^3={(2g)}^3\)

Подставим в исходное выражение: \({(2g)}^3-r^3\) и произведем разложение. Вместо a в формуле напишем 2g, а вместо b укажем\(r^3\) .

Получим: \({(2g)}^3-r^3=(2g-r)({(2g)}^2+2g\cdot r+r^2)\).

Осталось произвести упрощение в левой скобке.

Итог: \((2g-r)({(2g)}^2+2g\cdot r+r^2)=(2g-r)(2^2\cdot g^2+2g\cdot r+r^2)=(2g-r)(4g^2+2gr+r^2)\).

Больше ничего мы сделать не можем, разложение закончилось.

Вся цепочка рассуждений: \(8g^3-r^3=2^3\cdot g^3-r^3={(2g)}^3-r^3=(2g-r)({(2g)}^2+2g\cdot r+r^2)=(2g-r)(2^2\cdot g^2+2g\cdot r+r^2)=(2g-r)(4g^2+2gr+r^2)\)

Решение.

Чтобы понять, можно ли использовать формулу разности кубов, преобразуем первое выражение. Для этого выделим его куб. Используем свойство степени с натуральным показателем, которое говорит о том, что при возведении степени в степень, показатели перемножают. Получаем: \(p^6-d^3\\\\p^6={(p^2)}^3\). Теперь полученное выражение подставляем в исходное вместо \(p^6\):

\(p^6-d^3={(p^2)}^3-d^3\\\\p^6={(p^2)}^3\)

Теперь перед нами почти классический вариант записи, и мы можем использовать формулу сокращенного умножения. Раскладываем разность кубов по формуле. Вместо a у нас \(p^2\), а вместо b подставляем d.

Получаем: \({(p^2)}^3-d^3=(p^2-d)({(p^2)}^2+p^2d+d^2)\). И завершаем разложение возведение во второй скобке в степень первого компонента: \((p^2-d)({(p^2)}^2+p^2d+d^2)=(p^2-d)(p^4+p^2d+d^2)\).

Вся цепочка рассуждений: \(p^6-d^3={(p^2)}^3-d^3=(p^2-d)({(p^2)}^2+p^2d+d^2)=(p^2-d)(p^4+p^2d+d^2)\). Больше мы ничего не можем сделать на данном этапе, значит, разложение на множители закончилось.

Решение.

Второй компонент данного выражения содержит куб числа. Попробуем выделить кубы каждого из компонентов выражения с использованием свойств степеней с натуральными показателями. \(27j^6\) представляем в виде: \(27j^6=3^3\cdot{(j^2)}^3={(3j^2)}^3\).

А \(8e^3\) распишем как \(8e^3=2^3\cdot e^3={(2e)}^3\).

Теперь подставим полученные компоненты в исходное выражение – вместо \(27j^6\) напишем \({(3j^2)}^3\) , а вместо \(8e^3\) будет \({(2e)}^3\).

Получим: \(27j^6-8e^3={(3j^2)}^3-{(2e)}^3\).

Перед нами разность кубов. Для разложения на множители используем формулу сокращенного умножения: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

Вместо a подставим \(3j^2\), а вместо b напишем \(2e\).

Получаем: \({(3j^2)}^3-{(2e)}^3=(3j^2-2e)({(3j^2)}^2+3j^2\cdot2e+{(2e)}^2)\) . Теперь упростим выражение во второй скобке: \((3j^2-2e)({3^2\cdot j^{2\cdot2}}+3j^2\cdot2e+{2^2\cdot e^2})=(3j^2-2e)(9\cdot j^4+6j^2\cdot e+4e^2)\). Больше мы ничего не можем ни упростить, ни вынести за скобки, поэтому разложение закончено.

Вся цепочка рассуждений:\(27j^6-8e^3={3^3\cdot{(j^2)}^3-2^3\cdot e^3=(3j^2)}^3-{(2e)}^3=(3j^2-2e)({(3j^2)}^2+3j^2\cdot2e+{(2e)}^2)=(3j^2-2e)({3^2\cdot j^{2\cdot2}}+3j^2\cdot2e+{2^2e^2})=(3j^2-2e)(9\cdot j^4+6\cdot j^2\cdot e+4\cdot e^2)=(3j^2-2e)(9j^4+6ej^2+4e^2)\)

Решение.

Такое задание имеет несколько способов решения.

1 способ.

Раскрываем скобки с помощью последовательного умножения компонентов первой скобки на каждый элемент второй скобки.

Получаем: \((2s-4t^3)(4s^2+8st^3+16t^6)=2s\cdot4s^2+2s\cdot8st^3+2s\cdot16t^6-4t^3\cdot4s^2-4t^3\cdot8st^3-4t^3\cdot16t^6\)

И упрощаем: \(2s\cdot4s^2+2s\cdot8st^3+2s\cdot16t^6-4t^3\cdot4s^2-4t^3\cdot8st^3-4t^3\cdot16t^6=2\cdot4\cdot s\cdot s^2+2\cdot8\cdot s\cdot st^3+2\cdot16\cdot st^6-4\cdot4\cdot s^2\cdot t^3-4\cdot8\cdot s\cdot t^3\cdot t^3-4\cdot16\cdot t^3\cdot t^6=показатели\) степеней с одинаковым основанием \(складываем=8s^3+16s^2t^3+32st^6-16s^2t^3-32st^6-64t^9\).

Осталось сократить противоположные компоненты:\(8s^3+16s^2t^3+32st^6-16s^2t^3-32st^6-64t^9=8s^3-64t^9\) . Скобки раскрыты.

Вся цепочка рассуждений: \((2s-4t^3)(4s^2+8st^3+16t^6)=2s\cdot4s^2+2s\cdot8st^3+2s\cdot16t^6-4t^3\cdot4s^2-4t^3\cdot8st^3-4t^3\cdot16t^6=2\cdot4\cdot s\cdot s^2+2\cdot8\cdot s\cdot st^3+2\cdot16\cdot st^6-4\cdot4\cdot s^2\cdot t^3-4\cdot8\cdot s\cdot t^3\cdot t^3-4\cdot16\cdot t^3\cdot t^6=8s^3+16s^2t^3+32st^6-16s^2t^3-32st^6-64t^9=8s^3-64t^9\)

2 способ.

Можно увидеть, что в данном случае применима формула сокращенного умножения — формула разности кубов двух выражений. Есть разность элементов и их неполный квадрат.

Получаем: \((2s-4t^3)(4s^2+8st^3+16t^6)={(2s)}^3-{(4t^3)}^3\).

Осталось возвести в куб каждый элемент.

Итог: \({(2s)}^3-{(4t^3)}^3=2^3\cdot s^3-4^3\cdot{(t^3)}^3=8s^3-64t^{3\cdot3}=8s^3-64t^9\)

Мы раскрыли скобки по формуле разности кубов двух выражений.

Итоговая цепочка: \((2s-4t^3)(4s^2+8st^3+16t^6)={(2s)}^3-{(4t^3)}^3=2^3\cdot s^3-4^3\cdot{(t^3)}^3=8s^3-64t^{3\cdot3}=8s^3-64t^9\).