Методы решения рациональных уравнений

Какие уравнения называют рациональными

Известно из пройденного курса теоретических знаний по алгебре о существовании различных числовых множеств. По аналогии принято различать математические выражения. В зависимости от конфигурации такие записи относят к той или иной категории. В алгебраических задачах нередко встречают рациональные соотношения. С целью идентификации подобных комбинаций следует ознакомиться с терминологией и характерными признаками.

Исходя из сформулированного понятия, целесообразно представить наглядный формат записи рационального уравнения:

h(х) = q(х).

В данном примере правая и левая части соотношения являются рациональными выражениями.

Виды рациональных уравнений

Во множестве рациональных уравнений можно выявить типичные конструкции. В зависимости от формата компонентов такие соотношения подразделяют на две основные категории:

• целые;
• дробные.

Ознакомимся с формулировками записанных понятий и рассмотрим практические примеры записей, которые часто встречаются в заданиях по алгебре и при решении задач по другим дисциплинам, в том числе, физике и геометрии.

Заметим, что целое рациональное уравнение допустимо представлять в форме линейного, квадратного или прочего алгебраического соотношения с соответствующими свойствами. В процессе записи следует придерживаться следующей стандартной формулы:

f(x) = 0

В равенстве выше f(x) обозначает рациональное выражение.

В качестве типичного примера целого рационального равенства можно записать следующее соотношение:

3x — 2 = 2x + 3.

В распространенных случаях при записи дробного рационального равенства придерживаются следующей стандартизированной формулы:

\(\frac{f(х)}{g(х)} = 0\)

В представленном соотношении выражения f(х) и g(х) имеют в своем составе переменную х.

С целью лучшего понимания приведем пару наглядных примеров уравнений, которые допустимо отнести к категории дробно-рациональных равенств:

\(\frac{12}{7-х} = х\)

\(\frac{х^{-1}}{2} = \frac{1+х}{5}\)

Способы решения

Наиболее простым механизмом решения отличаются уравнения, которые относят к целым рациональным. Если в задаче речь идет о таком типе выражений, то следует воспользоваться стандартным алгоритмом действий:

• перенос каждого слагаемого справа налево для устранения из правой части всех элементов за исключением нуля;
• алгебраические преобразования с целью записи полученного равенства в виде линейного, квадратного, кубического или иного подходящего формата уравнения;
• нахождение неизвестного.

Когда по итогам анализа условий задания выявлено, что уравнение, которое предстоит решить, относится к категории дробно-рациональных, необходимо применить подходящий алгоритм действий. Инструкция содержит всего несколько основных пунктов:

• перенос каждого из слагаемых из одной части в другую для устранения всех компонентов в том сегменте, где записан ноль;
• преобразование части со слагаемыми в случае необходимости;
• приведения всех слагаемых к единому знаменателю и представление в формате дробного выражения;
• составление системы с нулевым числителем дробного числа и отличным от нуля знаменателем;
• вычисление корней записанной системы.

Следуя обозначенному в методе порядку действий, можно значительно снизить риски допущения каких-либо ошибок в расчетах. Как и в прочих разновидностях задач, здесь необходимо внимательно следить за сменой знаков при слагаемых в процессе их переноса из одной части выражения в другую. Кроме того, важно уметь различать разные типы уравнений из множества рациональных. Предусмотрено несколько простых правил, с помощью которых существенно упрощается работа по определению формата рационального соотношения:

• при нахождении неизвестного х в числителе дробного выражения, рассматриваемое равенство допустимо считать целым рациональным;
• в случае присутствия переменной х в знаменателе дробного выражения следует полагать, что заданное уравнение является дробно-рациональным.

Примеры решения задач

Решение

Обозначим за t временной интервал перемещения путника вечером, то есть от водоема до населенного пункта. Исходя из информации, представленной по условию задания, получим, что время, затраченное на преодоление расстояния от города до реки, составляет:

\(t- \frac{18}{60} = t-0,3\)

Заметим, что в условии задачи также указана разница между скоростями путника, которая равна 10. Согласно этим данным, запишем следующее справедливое равенство по формату рационального уравнения:

\(\frac{60}{t-0,3} - \frac{60}{t} = 10\)

Выполним деление всех частей сформулированного выражения на 10. В результате после преобразования получим такое рациональное соотношение:

\(\frac{6}{t-0,3} - \frac{6}{t} = 1 \Rightarrow \frac{6(t-(t-0,3) )}{t(t-0,3)} = 1\)

\(1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3\)

\(t^2-0,3t-1,8 = 0\)

\(D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2\)

\(t = \frac{0,3 \pm 2,7}{2} = \left[ \begin{array}{cc} t_1 = -1,1 \\ t_2 = 1,5 \end{array} \right.\)

Здесь целесообразно устранить отрицательный корень и оставить решение только со знаком плюса, то есть t = 1,5 ч.

Ответ: 1,5 ч.

Решение

Введем обозначение для скорости течения реки u. Обратимся к условию задания. После анализа вводных данных целесообразно составить следующее рациональное соотношение для описания движения лодки:

\(1,5 \cdot \frac{120}{20+u} = \frac{120}{20-u}\)

Заметим, что обе части равенства допустимо сократить на число 120. Выполним преобразование и продолжим вычисления:

\(\frac{1,5}{20+u} = \frac{1}{20-u}\)

\(1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20\)

\(30-1,5u = 20+u\)

В результате простых манипуляций с алгебраическим соотношением, которое подходит под описание рационального равенства, можно сформулировать стандартное линейное уравнение с искомой скоростью:

2,5u = 10

u = 4

Ответ: 4 км/ч.

Решение

Предположим, что водная часть в исходном материале весила х гр. Проанализируем условия примера. Если сопоставить исходную и результирующую концентрации жидкости, то целесообразно записать выражение для их разности следующим образом:

\(\frac{50}{x+50} - \frac{50}{x+200} = 0,075\)

Выполним несложные математические преобразования согласно стандартному алгоритму действий с рациональными уравнениями, чтобы упростить левый фрагмент соотношения. В результате получим:

\(\frac{50(x+200-x-50)}{(x+50)(x+200)} = 0,075\)

Продолжим вычисления для получения дробного выражения:

\(50 \cdot 150 = \frac{75}{1000} (x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200\)

Заметим, что полученную дробь допустимо переписать в сокращенном виде:

\(\frac{50 \cdot 150 \cdot 1000}{75} = \frac{50}{5} \cdot \frac{150}{15} \cdot 1000 = 100000\)

Путем простых вычислений получим выражение, которое легко преобразовать в формат квадратного равенства:

\((x+50)(x+200) = 100000\)

\(x^2+250x+10000 = 100000\)

\(x^2+250x-90000 = 0\)

С помощью стандартного алгоритма решения простейших квадратных уравнений вычислим, чему равен дискриминант и определим корни:

\(D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = 100 \cdot 4225 = 650^2\)

\(x = \frac{-250 \pm 650}{2} = \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -450 \\ x_2 = 200 \end{array} \right.\)

По итогам алгебраических преобразований получилась система. Стоит учитывать важное условие задания, которое заключается в положительном значении искомого параметра. По этой причине необходимо исключить отрицательный корень. Тогда получим:

x=200 г

Согласно первоначальному обозначению, за х принята исходная масса воды в жидкости. На последнем этапе вычислим, чему равна масса раствора в начальной концентрации:

50+200 = 250 г

Ответ: 250 г.

Решение

Представим, что нормативные показатели производства соответствуют N деталей. Тогда пусть t соответствует временному интервалу, в течение которого трудится сотрудник с опытом. После сопоставления данных из условия задания получаем следующе справедливое равенство в виде рационального уравнения:

\(\frac{N}{t}+\frac{N}{t+12} = \frac{N}{8}\)

Заметим, что последующие расчеты существенно упрощаются после сокращения полученного соотношения на величину N:

\(\frac{1}{t}+\frac{1}{t+12} = \frac{1}{8}\)

\(\frac{t+12+t}{t(t+12)} = \frac{1}{8}\)

\(8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12\)

Условия для корней определены и зафиксированы. Продолжим далее вычисления с целью расчета искомых величин:

\(16t+96 = t^2+12t\)

\(t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} t_1 = -8 \\ t_2 = 12 \end{array} \right.\)

Из полученной в итоге некоторых алгебраических преобразований системы стоит выписать только тот корень, который больше нуля. Таким образом, время работы опытного специалиста для выполнения нормативных показателей составит:

t=12 ч

Обратимся к условию задания вновь. Известно, что для определения времени труда практиканта необходимо добавить к рассчитанному ранее временному отрезку 12 часов. Выполним соответствующие вычисления:

12+12=24 ч

Ответ: 12 ч и 24 ч.

Решение

Представим, что d равно количеству дней, в течение которых над проектом планирует работать первый сотрудник самостоятельно. Исходя из условия задания, можно составить следующее соотношение:

\(3 \Biggl(\frac{1}{d} + \frac{1}{d+12}\Biggr) = \frac{3}{5}-\frac{6}{d}\)

Заметим, что представленное выражение допустимо сократить на число 3. Выполним указанное преобразование и продолжим вычисления по уже знакомому алгоритму работы с рациональными уравнениями:

\(\frac{1}{d} + \frac{1}{d+12} = \frac{1}{5}-\frac{2}{d}\)

\(\frac{d+12+d}{d(d+12)} = \frac{d-10}{5d} | \times 5d(d+12), d \neq 0, d \neq -12\)

\(5(2d+12) = (d-10)(d+12) \Rightarrow 10d+60 = d^2+2d-120\)

\(d^2-8d-180 = 0 \Rightarrow (d-18)(d+10) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} d_1 = -10 \\ d_2 = 18 \end{array} \right.\)

d=18

В результате удалось вычислить время, в течение которого работает первый специалист. Тогда второй сотрудник выполняет проектную работу за такое количество дней:

18+12 = 30

Далее перейдем к расчетам периода времени, которое потребовалось фактически:

\(\frac{2}{5}: \Biggl( \frac{1}{18}+ \frac{1}{30} \Biggr) = \frac{2}{5}: \frac{5+3}{90} = \frac{2}{5} \cdot \frac{45}{4} = \frac{9}{2} = 4,5\)

Суммарное количество дней:

9+4,5 = 13,5

Ответ: 18 дней для первого сотрудника, 30 дней для второго специалиста, 13,5 дней фактически затрачено.