Как брать производную от дроби

Производная дроби — это

Принцип вычисления производной от дробного числа позволяет решать задачи на расчет характеристик и анализ функций, включая особенности изменений на графике, быстроту увеличения и убывания. Предусмотрено несколько закономерностей, позволяющих упростить работу с подобными заданиями. Начать изучение темы следует с введения ключевого понятия, раскрывающего смысл и специфику практического применения озвученного термина.

С помощью производной от дроби определяют скоростные характеристики смены показателей функции в зависимости от того, в какой точке на графике она находится. С целью вычисления производной применяют правила дифференцирования. В результате получается найти значение производной функции отдельно для числителя и знаменателя с последующим объединением вычисленных итогов.

Как найти, формула

В процессе определения значения производной от дробного числа необходимо умножить производную числителя на знаменатель и отнять от полученного результата произведение числителя на производную знаменателя. На следующем шаге вычислений выполняют деление на знаменатель дроби, возведенный во вторую степень. Озвученный алгоритм действий удобно представить с помощью математического соотношения:

\(\bigg (\frac{u}{v} \bigg)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\)

Примеры решения задач

Решение

Обратимся к формуле, по которой принято рассчитывать производную. Так как в стандартном соотношении речь идет о числителе и знаменателе, на первом этапе расчетов по нахождению искомой величины введем соответствующие обозначения для числителя, то есть u = x. Знаменатель соответствует выражению:

\(v = \ln x\)

Вычислим производные от значений, расположенных над и под дробной чертой с учетом выполненных преобразований. В результате получим:

u' = (x)' = 1

\(v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}\)

Путем подстановки рассчитанных значений u' и v' в начальное математическое соотношение определим, чему равна производная заданного по условиям задачи дробного числа:

\(y'=\bigg (\frac{x}{\ln x} \bigg)' = \frac{(x)'\ln x - x(\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - x \frac{1}{x}}{\ln^2 x} = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x}\)

Ответ: \(y' = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x}.\)

Решение

На первом шаге целесообразно воспользоваться формулой для определения производной от частного. Запишем соответствующее соотношение:

\(y'=\bigg (\frac{\cos x}{x} \bigg) = \frac{(\cos x)'x-\cos x (x)'}{(x)^2}\)

Заметим, что в сформулированном уравнении присутствует тригонометрическая функция, то есть косинус. Из теоретического курса известно, что производная от такого выражения соответствует синусу со знаком минуса. Получим, что:

\((\cos x)' = -\sin x\)

После небольших преобразований удобно вычислить производную исходного дробного числа и записать окончательный ответ:

\(y' = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2} = -\frac{x\sin x + \cos x}{x^2}\)

Ответ: \(y' = -\frac{x\sin x + \cos x}{x^2}.\)

Решение

Воспользуемся стандартным алгоритмом действия определения производной от дробного выражения. Начнем вычисления с поиска производных для значений, расположенных над и под дробной чертой. Рассчитаем производную от числителя:

\(f'(x) = 6x + 2\)

Далее выполним аналогичную операцию для знаменателя:

g'(x) = 1

На следующей стадии решения заданного примера используем формулу для расчета производной от дробного числа. Составим соответствующее соотношение:

\(f'(x) = \frac{g'(x) \cdot (3x^2 + 2x + 1) – (6x + 2) \cdot (x + 1)}{(x + 1)^2}\)

Затем приступим к математическим преобразованиям, чтобы упростить полученное равенство и вычислить итоговый результат:

\(f'(x) = \frac{3x^2 + 2x + 1 – (6x^2 + 8x + 2)} {(x + 1)^2} = \frac{-3x^2 – 6x – 1}{(x + 1)^2}\)

Ответ: \(f'(x) = \frac{-3x^2 – 6x – 1} {(x + 1)^2}.\)

Решение

По уже известному алгоритму действий на первом шаге требуется определить, чему равны производные от числителя и знаменателя заданного дробного числа:

\(g'(x) = 6x^2 – 10x + 3\)

\(h'(x) = 2x\)

Следующая стадия вычислений заключается в использовании формулы для расчета производной от дробного числа:

\(g'(x) = \frac{h'(x) \cdot (2x^3 – 5x^2 + 3x) – (6x^2 – 10x + 3) \cdot (x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2}\)

Остается преобразовать сформулированное соотношение и вычислить окончательный ответ:

\(g'(x) = \frac{2x * (2x^3 – 5x^2 + 3x) – (6x^2 – 10x + 3) * (x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2}\)

\(g'(x) = \frac{4x^4 – 10x^3 + 6x^2 – 6x^4 + 10x^3 – 3x^2 – 6x^2 + 10x – 3}{(x^2 + 1)^2}\)

\(g'(x) = \frac{-2x^4 + 1}{(x^2 + 1)^2}\)

Ответ: \(g'(x) = \frac{-2x^4 + 1}{(x^2 + 1)^2}.\)