Что нужно знать о предикатах — основные сведения

Что такое предикат: определение

Роль субъекта суждения играет то, о чем идет речь в утверждении.

В результате, любая совокупность элементов множества М имеет лишь одно значение:

• истинное;
• ложное.

Предикат допустимо соотнести с отношением из математики. Таким образом, при кортеже  \({\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}\), относящимся к отношению, предикат возвращает на нем единицу. Частным случаем является определение одноместного предиката в виде отношения принадлежности какому-то множеству.

Предикатом называют некий элемент логики первого и высших порядков. При рассмотрении логики второго порядка и выше допустимо использовать в уравнениях кванторы по предикатам.

Виды предикатов

Исходя из способности предикатов принимать лишь пару значений, они могут участвовать во всех операциях булевой алгебры, в том числе:

• отрицание;
• импликация;
• конъюнкция;
• дизъюнкция и другие.

Предикат представляет собой то, что выражено в виде утверждения или отрицания по отношению к субъекту суждения. Виды предикатов:

1. Одноместные предикаты в виде представления предметно-истинных функций от единственного аргумента, к примеру, «человек».
2. Двухместные предикаты, с соответствующими функциями пары аргументов, к примеру, «больше».
3. Прочие, исходя из числа соответствующих аргументов.

Логические операции над предикатами

Использование логических операций при рассмотрении предикатов можно проанализировать с помощью одноместных предикатов.

Конъюнкция пары предикатов A(x) и B(x) представляет  собой новый предикат \(A\left(x\right)\wedge B\left(x\right)\). Такой предикат обладает истинным значением лишь в случае таких х из Т, которые обращают в истину каждый из предикатов. В других ситуациях предикат имеет ложное значение. Множество истинности Т предиката \(A\left(x\right)\wedge B\left(x\right)\) соответствует пересечению множеств истинности предикатов A(x) — T1 и B(x) — T2, то есть T = T1 \(\cap \)T2.

Дизъюнкция пары предикатов A(x) и B(x) представляет собой новый предикат \(A\left(x\right)\vee B\left(x\right)\) с ложным значением в том случае, когда х из Т обращает каждый из предикатов в ложь. В других ситуациях предикат \(A\left(x\right)\vee B\left(x\right)\) имеет истинное значение. Область истинности предиката \(A\left(x\right)\vee B\left(x\right)\) формируется, когда объединяются области истинности предикатов A(x) и B(x).

Отрицание предиката A(x) представляет собой новый предикат с истинным значением при х из Т, которые обращают  предикат A(x) в ложь, если А(x) принимает истинное значение. Множеством истинности предиката x X является дополнение T' к множеству T в множестве X.

Импликация предикатов A(x) и B(x) представляет собой новый предикат \(A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)\), являющийся ложным при х из Т, которые обращают А(х) в истину и обращают В(ч) в ложь. В прочих ситуациях новый предикат обладает истинным значением. Запись читают таким образом: «Если A(x), то B(x)». Множество истинности предиката \(A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)\) формируется, когда объединяют множество T2 — истинности предиката B(x) и дополнения к множеству T1 истинности предиката A(x).

Свойства предикатов

Предикат может принимать значения из множества \(\left\{0;1\right\}\). Таким образом, с предикатами допустимо выполнять любые действия алгебры логики. При этом справедливы все свойства, которыми характеризуются эти логические операции. Рассмотрим их на примере одноместных предикатов:

1. Коммутативность: Р(х) \(\vee\) Q(х) = Q(х) \(\vee\) Р(х), Р(х) \(\wedge\) Q(х) = Q(х) \(\wedge\) Р(х).
2. Ассоциативность: Р(х) \( \vee\) (Q(х) \(\vee\) R(x)) = (Р(х) \(\vee\) Q(х)) \(\vee\) R(x), Р(х) \(\wedge\) (Q(х) \(\wedge\) R(x)) = (Р(х) \(\wedge\) Q(х)) \(\wedge\) R(x).
3. Дистрибутивность: Р(х) \(\vee\) (Q(х) \(\wedge\) R(x)) = (Р(х) \(\vee\) Q(х)) \(\wedge\) (Р(х) \(\vee\) R(х)), Р(х) \(\wedge\) (Q(х) \(\vee\) R(x)) = (Р(х) \(\wedge\) Q(х)) \(\vee\) (Р(х) \(\wedge\) R(х)).
4. Идемпотентность: Р(х) \(\vee\) Р(х) = Р(х), Р(х) \(\wedge\) Р(х) = Р(х).
5. Правило двойного отрицания: \(\urcorner \urcorner Р(х) = Р(х)\).
6. Правило исключения третьего: \(Р(х) \vee \urcorner Р(х) = 1\).
7. Правило противоречия: \(Р(х) \wedge \urcorner Р(х) = 0\).
8. Законы де Моргана: \(\urcorner (Р(х) \vee Q(х)) = \urcorner Р(х) \wedge \urcorner Q(х), \urcorner (Р(х) \wedge Q(х)) = \urcorner Р(х) \vee \urcorner Q(х).\)
9. Свойства, характерные для действий с логическими постоянными: \(Р(х) \vee 1 = 1, Р(х) \vee 0 = Р(х), Р(х) \wedge 1 = Р(х), Р(х) \wedge 0 = 0\).

В перечисленных свойствах Р(х) и Q(х) обозначают какие-либо предикаты. Существуют справедливые закономерности между разными видами предикатов:

1. Любой тождественно истинный предикат выполняется. Обратное утверждение не является верным.
2. Любой тождественно ложный предикат можно назвать опровержимым. При этом обратное утверждение не является верным.
3. Любой предикат, не являющийся тождественно истинным, опровергается, в общем случае не является тождественно ложным.
4. Любой предикат, который не является тождественно ложным, выполняется, в общем случае не является тождественно истинным.

Примеры