Способы сложения векторов

Что такое вектор

В науке геометрии нередко встречается понятие вектора. Под этим распространенным термином понимают некоторый отрезок в плоскости с определенными граничными точками. Одна отметка играет роль начала, а вторая представляет собой конец проведенной линии. В информационных источниках вектором также называют какой-либо направленный отрезок.

 

Источник: ru.wikipedia.org

В типичных геометрических задачах с целью обозначения вектора используют две заглавные буквы алфавита или одну строчную букву. Над символом изображают стрелку или прямую линию. Например, на рисунке выше представлен вектор \( \overrightarrow {АВ}\). Не допускается перестановка букв в наименовании направленного отрезка. На схеме А является началом, а В представляет собой конечную точку вектора.

В процессе определения векторных координат рассчитывают разность между координатами, которым соответствуют начальная и конечная отметка рассматриваемого вектора. Предположим, что известны координаты некоторого вектора:

\(T_{1}=(x_{1},y_{1})\)

\(T_{2}=(x_{2},y_{2})\)

При исходных данных несложно посчитать векторные координаты:

\(\overrightarrow {V}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\)

Другая полезная характеристика векторных величин является длиной. Под этим термином подразумевают расстояние, на которое удалены точки вектора \(\overrightarrow {V}\), обозначенные за \(T_{1} и T_{2}\) соответственно. При обозначении длины применяют следующее соотношение:

\(|{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\)

Законы сложения векторов

В разных научных областях, включая физику и геометрию, с векторными величинами производят математические операции. К одной из подобных процедур относят суммирование векторов. Такие действия несложно выполнить при наличии знаний определенных свойств и закономерностей. В первую очередь целесообразно ознакомиться с ключевыми понятиями этой темы.

Векторы представляют в системе координат, используя проекцию на ось. Данным понятием обозначают протяженность отрезка, который сформирован с помощью проекций начальной и конечной точки на выбранную прямую линию. Когда направленность вектора и оси совпадают, проекцию считают положительной. При условии разных направлений векторного отрезка и оси добавляют знак минуса к проекции. Проекцию вычисляют как произведение длины начального вектора и косинуса угла, расположенного между векторным отрезком и осью. Проекция вектора, построенная перпендикулярно относительно оси, имеет нулевой значение.

 

Источник: ru.wikipedia.org

Векторы применяют для обозначения направлений каких-либо величин, к примеру, воздействующей на предмет силы, скорости, с которой перемещается тот или иной объект в заданном направлении. Использование векторных отрезков в этом смысле значительно упрощает проведение вычислений и исследований. С помощью характерных для них свойств рассчитывают градусную и радианную меру углов, соединяющих прямые линии и отрезки, определяют площадь геометрических фигур.

По правилу треугольника

При наличии пары векторных отрезков в пространстве допустимо выполнить сложение величин по правилу треугольника. В процессе решения следует воспользоваться простым алгоритмом действий:

• отмерить начало первого вектора от конечной точки второго направленного отрезка;
• вектор суммы соответствует третьему вектору, соединяющему начальную отметку первого вектора и конечную точку второго вектора.

 

Источник: ru.wikipedia.org

По правилу параллелограмма

Следующий способ суммирования пары векторов заключается в применении правила параллелограмма. Реализовать описанную методику можно путем последовательного выполнения инструкции:

• совместить два вектора;
• построить второй векторный отрезок, начиная с конца первого вектора;
• отложить от конечной отметки второго вектора отрезок, равный первому вектору;
• в полученном параллелограмме провести диагональ, образующую искомый векторный отрезок в виде суммы исходных векторов.

Озвученный принцип сложения векторов имеет сходство с первым способом расчета суммы путем образования треугольника. Общий смысл теорем состоит в необходимости перемещения векторных отрезков в пределах плоскости для получения нужной геометрической фигуры. В случае отсутствия общих точек у заданных векторов применение перечисленных методов не представляется возможным.

По правилу многоугольника

Когда условия задачи подразумевают суммирование векторов в количестве большим, чем два, применяют методику многоугольника, которая представляет собой расширенную версию доказательства правила треугольника. Руководствуясь этим способом, в выбранной последовательности необходимо совместить конечные и начальные точки векторных отрезков.

В результате получается геометрическая фигура с множеством углов. Остается построить суммирующий вектор. Начало искомого отрезка совпадает с исходной точкой первого вектора, а конец результирующего отрезка находится в точке, аналогичной концу последнего векторного отрезка.

Формулы

В процессе решения задач на действия с векторами прибегают к декартовой координатной системе, что позволяет определить координаты рассматриваемых направленных отрезков путем разложения по базисным векторам. Подобный способ заключается в применении векторной проекции на оси координат. При известных координатах начальной и конечной отметки вектора его координаты вычисляют таким образом:

\(\overrightarrow {AB}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_{z})\)

За базис обычно принимают орты координат, то есть \({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}\), соответствующие осям x,y,z. В результате направленный отрезок \({\vec {a}}\) допустимо представить в следующем виде:

\({\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}\)

Удобство работы с векторами обеспечивает возможность записи какого-либо геометрического свойства в координатной плоскости. По итогам подобных преобразований можно перейти к алгебраическим вычислениям. Обратное утверждение справедливо лишь для тех положений, которые являются инвариантными, то есть реализуемыми в любой декартовой системе.

Другое полезное понятие, связанное со сложением и прочими операциями с направленными отрезками, распространяется на модуль вектора. Представим, что имеется векторная величина \( \overrightarrow {AB}\). Тогда модулем является численное значение, определяемое как протяженность отрезка АВ. С целью обозначения модуля используют \(|\overrightarrow {AB}|.\)

Примеры решения задач

 

Источник: shkolkovo.net

Решение

Ознакомимся с изображением из условия задания. Из курса геометрии известно, что в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает со средней частью гипотенузы. Таким образом, отметка О делит пополам ВС. Согласно закономерности заданной геометрической фигуры, допустимо составить следующее равенство:

\(\overrightarrow {BС} = \overrightarrow {AС} - \overrightarrow {AB}\)

Вычислить координаты вектора \(\overrightarrow {BС}\) можно с помощью уравнения:

\(\overrightarrow {BС} = {-1 - 1; 1 - 1} = {-2; 0}\)

Ранее определили, что ОС составляет половину от отрезка ВС. Используя эту информацию, следует вычислить координаты вектора \(\overrightarrow {ОС}\):

\(\overrightarrow {ОС} = \frac{1}{2} \overrightarrow {BС}\)

\(\overrightarrow {ОС} = {-1; 0}\)

На последнем этапе вычислений найдем, чему равна искомая сумма координат вектора \(\overrightarrow {ОС}\):

-1 + 0 = -1

Ответ: -1.

 

Источник: shkolkovo.net

Решение

На первом этапе решения задачи обратимся к изображению четырехугольника и запишем несколько полезных для дальнейших вычислений соотношений:

\(\overrightarrow {АВ} + \overrightarrow {ВС} = \overrightarrow {АС}\)

\(\overrightarrow {АС} + \overrightarrow {СD} = \overrightarrow {AD}\)

Исходя из приведенных равенств, можно сформулировать следующие уравнения:

\(\overrightarrow {АB} + \overrightarrow {BС} + \overrightarrow {СD} + \overrightarrow {DА} = \overrightarrow {АС} + \overrightarrow {СD} + \overrightarrow {DА} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DА} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {0}\)

Из теоретического материала по геометрии известно, что длина нулевого вектора соответствует нулю. Полученный вывод допустимо объяснить путем логических размышлений. В процессе перемещения из одной точки четырехугольника в конечную начало и конец такого пути совпадают, что обозначает протяженность движения, равную нулю.

Ответ: 0.

 

Источник: shkolkovo.net

Решение

Обратимся к условию задания. Так как рассматриваемая геометрическая фигура является параллелограммом, целесообразно воспользоваться соответствующим правилом сложения направленных отрезков. Выполним необходимые вычисления и сформулируем окончательный ответ:

\(\overrightarrow {ОА} = \frac{1}{2}\overrightarrow {СА} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {СВ} + \overrightarrow {ВА}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow {DА} + \overrightarrow {ВА}) = \frac{1}{2}(-\overrightarrow {b} - \overrightarrow {a}) = -\frac{1}{2} \overrightarrow {а} -\frac{1}{2} \overrightarrow {b} \Rightarrow х = -\frac{1}{2}, у = -\frac{1}{2} \Rightarrow х + у = -1\)

Ответ: -1.

 

Источник: shkolkovo.net

Решение

По условию примера задана геометрическая фигура в виде параллелограмма, составленная из направленных отрезков. Руководствуясь правилом сложения векторов, произведем соответствующие расчеты и определим искомую сумму пары числовых значений х и у. Запишем порядок вычислений:

\(\overrightarrow {KL} = \overrightarrow {KС} + \overrightarrow {СL} = \frac{1}{4}\overrightarrow {ВС} + \frac{1}{2}\overrightarrow {СD} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {ВА} = \frac{1}{4}\overrightarrow {b} + \frac{1}{2}\overrightarrow {a} \Rightarrow х = -\frac{1}{2}, у =\frac{1}{4} \Rightarrow х + у = -0,25\)

Ответ: -0,25.

 

Источник: shkolkovo.net

Решение

По аналогии с методом решения предыдущего примера применим правило параллелограмма для вычисления необходимых величин х и у. На заключительном этапе необходимо рассчитать итоговый результат умножения. Запишем порядок расчетов:

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = -\frac{2}{5}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = -\frac{2}{5}\overrightarrow {b} + \overrightarrow {a} + \frac{3}{4}\overrightarrow {b} = \overrightarrow {a} + \frac{7}{20}\overrightarrow {b} \Rightarrow х = 1, у =\frac{7}{20} \Rightarrow х \cdot у = 0,35\)

Ответ: 0,35.