Основные правила и функции дифференцирования

Как вычислить производную произведения функций

В математической форме записать данное правило можно таким образом:

\((uv)'=u'v+uv'\)

Данное соотношение полезно использовать в процессе решения различных задач на вычисление и доказательство выражений с производными. Это существенно упрощает расчеты и позволяет сократить время на поиски ответа. Важно соблюдать знаки перед множителями, чтобы правильно выполнить основные действия.

Рассмотрим на практике, как работает записанное правило. Решим несколько тривиальных примеров, которые подобны тем, что встречаются в контрольных и самостоятельных работах по алгебре.

Решение

Руководствуясь рассмотренным ранее алгоритмом действий, определим в первую очередь производные для первого и второго множителя. Начнем с первого, равного х:

\((x)'=1\)

Заметим, что второй множитель является логарифмической функцией. По этой причине воспользуемся правилом нахождения производной от логарифма:

\((\ln x)' = \frac{1}{x}\)

Далее после того, как производные определены, допустимо применить выражение для поиска производной от произведения:

\(y'=(x\ln x)'=(x)'\ln x + x(\ln x)'=\ln x + x\cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1\)

Ответ:\(y'=\ln x + 1\) 

Решение

Найдем, чему равна производная в первом случае:

\((x^2)'=2x\)

Затем рассмотрим вторую функцию на предмет вычисления производной:

\((e^{3x})'=e^{3x}\cdot (3x)'=e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}\)

Таким образом, выполнены все условия для применения правила нахождения производной от произведения. Сделаем заключительный расчет:

\(y'=(x^2e^{3x})'=(x^2)'e^{3x}+x^2(e^{3x})'=2xe^{3x}+3x^2e^{3x}\)

Заметим, что в данном случае можно исключить экспоненты из знаков скобок, чтобы упростить выражение. Выполним это действие и запишем окончательный ответ:

\(y'=(3x^2+2x)e^{3x}\)

Ответ: \(y'=(3x^2+2x)e^{3x}\)

Вычисление производной суммы и производной разности

В числовом формате предполагается следующая запись этого правила:

\((u+v)'=u'+v'\)

Заметим, что независимо от того, что речь в правиле идет о всего лишь двух слагаемых, его действие распространяется на любое количество таких слагаемых. В качестве примера запишем справедливое соотношение для трех слагаемых:

\((u+v+g)'=u'+v'+g'\)

Данное правило пригодится при решении задач по алгебре. Таким образом, можно упростить вычисления производных от суммы. В качестве примера рассмотрим несколько простых задач.

Решение

Заметим, что по условию задания дан многочлен. Он состоит из функций, объединенных знаком плюс. Воспользуемся записанным ранее правилом и найдем производную:

\(y' = (x^2+4x+3)' = (x^2)'+(4x)'+(3)'\)

Начнем с первого слагаемого. Здесь пригодится правило для вычисления производной от степенной функции в виде:

\((x^p)'=px^{p-1}\)

В результате получим:

\((x^2)' = 2x\)

Затем приступим к поиску производной второго слагаемого. В этом случае целесообразно исключить постоянный множитель из скобок, таким образом:

\((cx)'=c(x)'\)

Заметим, что:

\((x)'=1\)

Таким образом, получим следующее выражение:

\((4x)'=4(x)'=4\)

Последнее слагаемое представлено в виде постоянной величины, то есть является константой. Зная, что производная от такого числа в любом случае имеет нулевое значение, запишем следующее:

\((3)'=0\)

После выполнения всех необходимых вычислений можно приступить к определению производной от исходной суммы:

\(y'=(x^2+4x+3)'=(x^2)'+(4x)'+(3)'=2x+4+0=2x+4\)

Ответ: \(y'=2x+4\) 

Решение

Вычислим производные для каждого из слагаемых по отдельности:

\(y'=(x^3+\sin x)'=(x^3)'+(\sin x)'\)

Заметим, что на первом месте записана функция, которая имеет вид степенной. По этой причине целесообразно воспользоваться следующим правилом поиска производной:

\((x^p)'=px^{p-1}\)

Применительно к данному примеру, получим:

\((x^3)'=3x^2\)

На втором месте в исходном выражении записана тригонометрическая функция. Заметим, что:

\((\sin x)'=\cos x\)

Тогда получим следующее выражение и выполним итоговые вычисления:

\(y'=(x^3+\sin x)' = (x^3)'+(\sin x)'=3x^2 + \cos x\)

Ответ: \(y'=3x^2+\cos x\)

Данное правило можно записать в числовом выражении:

\((u-v)' = (u)' - (v)'\)

Рассмотрим несколько задач, которые можно использовать в качестве шаблона на самостоятельных и контрольных работах. Благодаря знаниям данного правила, их решение не вызовет сложностей.

Решение

Воспользуемся уже знакомым правилом вычисления производной от вычитания функций. Применим его к заданию:

\(y' = (x^4 - 2x^3 - 6)' = (x^4)' - (2x^3)' - (6)'\)

Начнем с компонентов выражения, которые записаны на первом и втором месте. Заметим, что в данном случае целесообразно воспользоваться следующим правилом:

\((x^p)' = px^{p-1}\)

Подставив значения из условия задачи, получим:

\((x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3\)

\((2x^3)' = 2 \cdot 3 x^{3-1} = 6x^2\)

С третьим членом выражения дела обстоят гораздо проще, так как перед нами находится константа. Производная от постоянного множителя имеет нулевое значение. Запишем это:

\((6)' = 0\)

Выполним дальнейшие вычисления и запишем ответ:

\(y' = (x^4 - 2x^3 - 6)' = (x^4)' - (2x^3)' - (6)' = 4x^3 - 6x^2 - 0 = 4x^3 - 6x^2\)

Ответ: \(y' = 4x^3 - 6x^2\)

Решение

Заметим, что на первом месте записана тригонометрическая функция. Ее производную достаточно просто можно обнаружить в таблице. Запишем табличное значение таким образом:

\((\sin x)' = \cos x\)

Далее следует логарифмическая функция. Заметим, что логарифм является натуральным. На этот случай подойдет следующее справедливое равенство:

\((\ln x)' = \frac{1}{x}\)

Здесь важно помнить о наличии подлогарифмического выражения, отличного от х. В связи с этим потребуется найти произведение дроби и производной от функции, которая записана внутри, то есть 3х:

\((\ln 3x)' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}\)

На третьем месте записана сложная функция. Для поиска ее производной следует в первую очередь вычислить, чему равна производная наружной части, а далее перейти к вычислению производной выражения внутри. Затем останется лишь рассчитать произведение полученных значений. Выполним последовательные вычисления:

\((\sqrt{2x})' = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot (2x)' = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}\)

Путем подстановки компонентов, которые были получены в процессе расчетов, в начальное равенство получим следующее выражение, решаемое значительно проще:

\(y' = (\sin x - \ln 3x - \sqrt{2x})' = (\sin x)' - (\ln 3x)' - (\sqrt{2x})' = \cos x - \frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{2x}}\)

Ответ: \(y' = \cos x - \frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{2x}}\)

Как вынести постоянный множитель за знак производной

Данное правило позволяет упростить вычисления, когда требуется найти производную от какой-либо функции. Разберем практический пример, наглядно демонстрирующий алгоритм действий.

Решение

Воспользуемся записанным ранее правилом дифференцирования и выполним соответствующие преобразования:

\(y' = (3\sin x)' = (3\sin x)' = 3 (\sin x)' = 3 \cos x\)

Заметим, что в процессе вычислений было использовано следующее справедливое равенство, что позволило выполнить замену:

\((\sin x)' = \cos x\)

Ответ: \(y' = 3\cos x\)

Как вычислить производную частного двух функций

Разберем пошагово вычисления на наглядном примере. Данный опыт будет полезен в дальнейшем при решении задач по алгебре.

Решение

Заметим, что в данном случае целесообразно применить правило дифференцирования и определить, чему равна производная от частного пары функций:

\(y' = \bigg (\frac{\sin x}{x} \bigg )' = \frac{(\sin x)'x - \sin x (x)'}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}\)

Ответ: \(y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}\)