Формулы понижения степени тригонометрических уравнений

Что значит понижение степени

Понижение степени тригонометрических уравнений означает перевод уравнения от более высоких тригонометрических функций к функциям низкой степени. Это позволяет упростить уравнение для последующего решения.

Данные формулы не всегда приводят к более простым уравнениям. В некоторых случаях могут потребоваться дополнительные тригонометрические тождества и методы для получения окончательного решения.

Свойства понижения степени

Понижение степени тригонометрических уравнений основано на следующих свойствах:

• периодичность, т.е. значения функций повторяются через определенные промежутки;
• симметрия, т.е. значения функций симметричны относительно определенных точек.

Эти свойства помогают исследовать и анализировать тригонометрические функции, делая их более доступными и удобными для работы в математике и её приложениях.

Методы понижения степени

• использование формулы сложения углов;
• использование формулы двойного угла;
• использование формулы половинного угла.

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Формула понижения степени для синуса

\(\sin^2(\alpha)=\frac{1-\cos(2\alpha)}2\\\)

Формула понижения степени для косинуса

\(\cos^2(\alpha)=\frac{1+\cos(2\alpha)}2\\\\\)

Формула понижения степени для тангенса

\(tg^2(\alpha)=\frac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}\\\\\)

Формула понижения степени для котангенса

\(ctg^2(\alpha)=\frac{1+\cos(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)}\\\\\)

Примеры решения задач

Решение

\(\frac{1-\cos(2\alpha)}2-\frac{1+\cos(2\alpha)}2=0\)

\(\frac{-2\cos(2\alpha)}2=0\)

\(\cos(2\alpha)=0\)

\(\alpha=\frac{\mathrm\pi}4+\frac{\mathrm\pi\times\mathrm n}2\) , где n - целое число.