Формулы половинного угла

Половинный угол — это

Из теоретического курса алгебры известно, что какая-либо функция представляет собой взаимное соответствие пары множеств. При этом выполняется условие, согласно которому каждый элемент первого множества соответствует одному элементу второго множества. С математической точки зрения с помощью функции интуитивно представляют полноценное определение одной величины через величину другого параметра. Запись функции включает в себя обязательные компоненты. Так аргумент представляет собой значение, посредством которого вычисляется результат функционального соотношения. Во многих информационных источниках под аргументом понимают независимую переменную. В тригонометрических тождествах половинный угол играет роль аргумента.

Формулы половинного угла

Согласно записанному выше определению представим формулы половинного угла. В процессе составления таких соотношений целесообразно использовать стандартные записи для выражения тригонометрических функций угла \(\alpha\). Перечислим основные из них, которые наиболее часто встречаются при решении алгебраических задач:

\(\sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}\)

\(\cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}\)

\(\operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }\)

\(\operatorname {ctg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 1-\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1-\cos \alpha }={1+\cos \alpha \over \sin \alpha }\)

Заметим, что в случае формулировки соотношений с использованием функций из тригонометрии для половинного угла большое внимание следует уделять расстановке знаков. Корректно указывать плюс или минус перед радикалами в соответствии со знаком, который присвоен тригонометрической функции, расположенной в формуле с левой стороны.

Еще один важный нюанс, который требуется соблюдать в процессе расчетов, касается области определения для функций, записанных слева и справа от знака равенства в рассматриваемых видах соотношений. К примеру, исследуем подобную запись с разными областями определения:

\(\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={1-\cos \alpha \over \sin \alpha}\)

Доказать справедливость анализируемого равенства несложно. С этой целью необходимо обратиться к соотношению, выражающему косинус двойного угла. Запишем его для удобства дальнейших вычислений:

\(\cos \alpha=1-2 \cdot \frac{\alpha}{2}\)

\(\cos \alpha=2 \cdot \frac{\alpha}{2}-1\)

Первое уравнение допустимо преобразовать. Перепишем рассматриваемое равенство в упрощенной форме по \(\frac{\alpha}{2}\) . Получим уже известную из курса теории формулу половинного угла:

\(\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}\)

Аналогичные действия выполним со вторым соотношением. Используя выражение \(\frac{\alpha}{2}\), представим следующее равенство:

\(\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}\)

Подтвердить справедливость формулы половинного угла в случае тангенса и котангенса несложно с помощью главного тождества тригонометрии. Сформулируем соответствующую запись:

\(\frac{\cot ^{2} \alpha}{2}=\frac{\frac{\alpha}{2}}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1-\cos \alpha}{2}}{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha} \text { и }\frac{\tan ^{2} \alpha}{2}=\frac{\frac{\alpha}{2}}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1-\cos \alpha}{2}}{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}\)

В представленное выражение необходимо вписать путем подстановки тригонометрические соотношения для расчета половинного угла синуса и косинуса. Подобные действия оправданы получением доказательства озвученных формул в предыдущих вычислениях. Выполним соответствующие операции и запишем полученное равенство:

\(\frac{\tan ^{2} \alpha}{2}=\frac{\frac{\alpha}{2}}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1-\cos \alpha}{2}}{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}\)

\(\frac{\cot ^{2} \alpha}{2}=\frac{\frac{\alpha}{2}}{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1-\cos \alpha}{2}}{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}\)

Исходя из логичных рассуждений, можно прийти к заключению о связи тангенса половинного угла с тригонометрическими соотношениями полного угла. Подобный вывод удобно представить с помощью такого выражения:

\(\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}=(-1)^{k}{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }},\)

В данном случае \(k\in \mathbb {Z}\) и вычисляется по условию \(k\pi \leq \theta \leq (k+1)\pi.\)

Аналогичным способом допустимо установить другие взаимосвязи между рассматриваемыми соотношениями функций в тригонометрии:

\({\begin{aligned}\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}\ &={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }},\\[10pt]\operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\operatorname {tg} \theta ={\frac {1+\operatorname {tg} (\theta /2)}{1-\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}}\\[10pt]\mathrm {ctg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta -\operatorname {tg} \theta ={\frac {1-\operatorname {tg} (\theta /2)}{1+\operatorname {tg} (\theta /2)}}=(-1)^{k}{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}.\end{aligned}}\)

При изучении представленных уравнений важно учитывать, что для крайней пары выражений \(k\in \mathbb {Z}\) и рассчитывается с помощью условия \(\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi \leq \theta \leq \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\pi.\) Если справедливо следующее соотношение:

\(\theta \in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\)

получим такое уравнение:

\(\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {tg} \theta }{1+{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}}\)

Какую-либо функцию в тригонометрии допустимо представить с помощью тангенса или котангенса половинного угла. Запишем соответствующие формулы:

\(\sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}}\)

\(\cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}}\)

\(\operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}\)

\(\operatorname {ctg} \,\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}\)

\(\sec \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}} \)

\(\csc \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}\)             

Перечисленные тождества справедливы в том случае, когда тригонометрические функции тангенса и котангенса обладают смыслом. Сформулируем озвученное условие в формате алгебраических выражений:

\(\alpha \neq \pi +2\pi n\)

\(\alpha \neq 2\pi n\)

В процессе решения заданий из курса тригонометрии следует упрощать вычисления с помощью универсальной замены. По рассмотренным выше причинам требуется в обязательном порядке выполнять проверку по отдельности. Сделать это несложно, если подставлять заданные значения в начальное соотношение.

Примеры решения задач

Решение

Проанализируем условия задания. Заметим, что в данном случае целесообразно использовать формулу для вычисления половинного угла. Здесь подойдет соответствующее выражение для тригонометрической функции косинуса. Запишем уравнение:

\(\frac{\cos ^{2} \alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}\)

Путем подстановки дополним выражение значением из условия задачи. Выполним необходимые преобразования:

\(15^{\circ}=\frac{1+\cos 30^{\circ}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\)

В результате получилось определить, чему равно значение 15°. На следующем этапе несложно рассчитать величину cos15°. В связи с тем, что расположение угла 15°соответствует первой четверти координатной плоскости, косинус принимает положительное значение. Исходя из этого условия, сформулируем справедливое равенство:

\(\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\)

Ответ: \( \cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}.\)

Решение

По аналогии с предыдущей задачей воспользуемся тригонометрической формулой косинуса половинного угла. Перепишем данное равенство для удобства дальнейших вычислений:

\(\frac{\cos \alpha}{2}=\pm \frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{2}}\)

Заметим, что ответ к подобному уравнению несложно рассчитать путем подстановки известной величины косинуса, указанной в задании. Выполним соответствующие действия по замене компонентов соотношения и путем алгебраических преобразований найдем искомое значение:

\(\frac{4 \sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{2}}+2 \cos \alpha+5=\frac{4 \sqrt{1+\frac{1}{8}}}{\sqrt{2}}+2 \times \frac{1}{8}+5=\frac{4 \sqrt{9}}{\sqrt{16}}+\frac{1}{4}+5=8 \frac{1}{4}\)

Ответ:\( \frac{4 \cos \alpha}{2}+2 \cos \alpha+5=8 \frac{1}{4}.\) 

Решение

Начнем вычисления с первого примера. Определим синус половинного угла, используя универсальную формулу из теоретического материала, рассмотренного ранее. Запишем подходящее соотношение:

\(\sin^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2} = \frac{1-0,4}{2} = 0,3\)

\(\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{3}\)

Обратимся к информации из задания. Обратим внимание на следующее условие:

\(\frac{3\pi}{2}<\alpha <2\pi\)

При делении левой и правой части неравенства на число 2 получим выражение:

\(\frac{3\pi}{4}<\frac{\alpha }{2} <\pi\)

Таким образом, несложно определить расположение угла \( \frac{\alpha }{2}\), соответствующее второй четверти координатной плоскости. По этой причине следует сделать вывод о положительном значении синуса, то есть:

\(\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{3}\)

На следующем этапе перейдем к определению \( \cos\frac{\alpha}{2}\). По аналогии с предыдущим расчетом на первой стадии следует сформулировать соотношение половинного угла для косинуса:

\(\cos ^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos \alpha +1}{2} = \frac{0,4+1}{2} = 0,75\)

\(\cos \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{0,75} = \pm0,5\sqrt{3}\)

Согласно выводу об отрицательном значении половинного угла, который был сделан ранее при решении задания, допустимо перед записью косинуса поставить знак минуса. Получим итоговый результат:

\(\cos \frac{\alpha}{2} = -0,5\sqrt{3}\)

Повторим действия для следующего примера с тангенсом. Выполним необходимые преобразования формулы половинного угла и запишем окончательный ответ:

\(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2} }{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{-0,5\sqrt{3}} = -2\sqrt{0,1}\)

Ответ: \( \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{3}, \cos \frac{\alpha}{2} = -0,5\sqrt{3}, \tan\frac{\alpha}{2} = -2\sqrt{0,1}.\)