Как вычисляется площадь трапеции

Что такое трапеция

Ознакомиться с наглядным изображением трапеции можно с помощью рисунка, который расположен ниже. На изображении представлены основные типы трапециевидной геометрической фигуры:

Источник: egemaximum.ru

Трапеция состоит из нескольких элементов. Стороны, которые расположены параллельно относительно друг друга, называют основаниями. Другие две стороны являются боковыми сторонами.

Как рассчитать площадь трапеции: формулы

При изучении основ геометрии можно нередко встретить примеры, где необходимо вычислить площадь трапеции. Решение подобных заданий реализовано по стандартному алгоритму. Таким образом, на первом этапе следует ознакомиться с условиями задачи, определить известные и неизвестные величины, идентифицировать тип геометрической фигуры, о которой идет речь. Затем, основываясь на собранной информации, стоит подобрать подходящее математическое соотношение для вычисления неизвестных величин через известные элементы трапеции.

Через основания и высоту

 

Источник: max-calc.ru

\(S = \frac{a+b}{2}\cdot h\)

При записи этой формулы использованы обозначения основных элементов геометрической трапециевидной фигуры. В этом случае а и b соответствуют основаниям трапеции, которые обозначены на рисунке выше. Можно заметить, что эти стороны параллельны относительно друг друга. Буквой h здесь обозначена высота.

Через высоту и среднюю линию

 

Источник: max-calc.ru

\(S = m \cdot h\)

В данном математическом соотношении m является средней линией трапеции. Из названия понятно, что такая прямая проходит через середину геометрической фигуры. С целью построения этого отрезка необходимо поделить боковые стороны ровно пополам и через точки провести линию, как показано на рисунке выше.

Через диагонали и угол между ними

Источник: max-calc.ru

\(S = \frac{Dd}{2}\cdot \sin \alpha\)

Воспользоваться записанной формулой на практике несложно, если построить в трапециевидной геометрической фигуре диагонали. На рисунке они обозначены разными буквами, чтобы исключить путаницу.

Через четыре стороны

 

Источник: max-calc.ru

\(S = \frac{a+b}{2}\cdot \sqrt{c^{2}-(\frac{(a-b)^{2}+c^{2}-d^{2}}{2(a-b)})^{2}}\)

Примеры решения задач

Перед тем, как приступить к тренировке на практике, стоит воспроизвести стандартный алгоритм действий. В первую очередь необходимо внимательно проанализировать условия задания. Когда идентифицированы элементы геометрической фигуры и определены их величины, можно переходить к подбору подходящего математического соотношения. С помощью формул достаточно просто найти неизвестные компоненты трапеции через взаимосвязанные с ними величинами. На заключительной стадии предполагается подстановка численных значений в выражения для вычисления окончательного ответа.

Источник: oge.shkolkovo.net

Решение

Проанализируем изображение трапеции. На рисунке обозначены все данные по условию задания величины. Однако его можно дополнить, что позволит существенно упростить дальнейшие вычисления. Построим высоту CH.

Источник: oge.shkolkovo.net

Заметим, что градусная мера \(\angle HBC\) составляет \(45^\circ\). В результате:

\(\angle HCB=45^\circ\)

Таким образам, целесообразно сделать вывод о том, что \(\triangle HBC\) является равнобедренным. Из чего следует такое равенство:

HB=HC

Тогда геометрическая фигура ADCH является прямоугольником. По этой причине справедливо следующее равенство:

AH=DC=2

В результате:

CH=HB=6-2=4

Запишем формулу для вычисления площади трапециевидной фигуры, которая больше всего подходит для данного случая. Подставив численные значения из условия задания, вычислим окончательный ответ:

\(S=\dfrac{AB+DC}2\cdot CH=\dfrac{2+6}2\cdot 4=16\)

Ответ: 16.

Источник: oge.shkolkovo.net

Решение

Начать решение этого примера следует с изучения наглядного изображения трапеции. Заметим, что, как и в предыдущем задании, здесь целесообразно выполнить дополнительное построение. Если провести высоту СН, то дальнейшие расчеты значительно упрощаются.

Источник: oge.shkolkovo.net

Заметим, что в результате дополнительных манипуляций с рисунком геометрической фигуры получился прямоугольник ADCH. Запишем вытекающее из этого условия равенство:

HB=12-4=8

Воспользуемся формулой для вычисления площади трапеции и выразим через нее неизвестную величину:

\(64=\dfrac{AB+DC}2\cdot CH=\dfrac{4+12}2\cdot CH\quad\Rightarrow\quad\)

CH=8

Таким образом:

CH=HB=8

В результате \(\triangle CHB\) представляет собой равнобедренный треугольник с равными углами, расположенными около его основания. Запишем соответствующее математическое соотношение:

\(\angle HCB=\angle HBC\)

Исходя из того, что при сложении острых углов в прямоугольном треугольнике получается 90 градусов, можно записать следующее справедливое равенство:

\(\angle B=\angle HBC=90^\circ\div2=45^\circ\)

Ответ: 45.