Что нужно знать о площади прямоугольника — основные сведения

Часто в задачах указаны площади фигур в разных единицах подсчета. В таком случае перед нахождением величин и действиями с ними необходимо привести их к одной единице измерения.

Дан прямоугольник ABCD, в котором сторона AB = \dfrac{2}{5}BC, а периметр ABCD составляет 42. Требуется вычислить, чему равна площадь треугольника АВС.

Решение

Допустимо считать, что прямоугольник представляет собой частный случай параллелограмма. Сделаем вывод о равенстве его противоположных сторон. При этом:

$2\cdot AB + 2\cdot BC = 42$

Заметим, что:

$AB = \dfrac{2}{5}BC$

Сформулируем равносильное выражение:

$\dfrac{4}{5}BC + 2\cdot BC = 42$

В результате:

$BC = 15$

$AB = 6$

Треугольники являются равными по теореме о двух катетах. Данные фигуры обладают одинаковыми площадями. В результате площадь треугольника АВС исчисляется половиной площади прямоугольной формы ABCD:

$0,5\cdot 6\cdot 15 = 45$

Ответ: 45.

Обозначим за О точку, в которой пересекаются диагонали, проведенные в прямоугольнике $ABCD$. При этом $\angle OAD = 28^{\circ}$. Необходимо определить градусную меру $\angle AOD$.

Решение

При пересечении диагонали делятся на две равные части с помощью точки О, которые равны друг другу. В таком случае:

$AO = OD$

Из вышесказанного следует, что:

$\angle ADO = \angle OAD = 28^{\circ}$

В результате:

$\angle AOD = 180^{\circ} - 2\cdot 28^{\circ} = 124^{\circ}$

Ответ: $124^{\circ}.$

С помощью точки О сторона ВС, которая принадлежит прямоугольнику ABCD, поделена на отрезки 7 и 1. Точка О удалена от стороны AD на 3. Необходимо вычислить, какой величиной обладает периметр данного прямоугольника.

Решение

Прежде, чем искать периметр, заметим, что расстояние, на которое удалена точка О от стороны AD, аналогично длинам смежных сторон к AD. В таком случае:

$P_{ABCD} = 2\cdot(7 + 1 + 3) = 22$

Ответ: 22.

Дан некий прямоугольник $ABCD$ с диагональю $AC = 2\cdot CD$. Требуется вычислить разность $\angle BAC - \angle CAD$.

Решение

Заметим, что треугольник $ACD$ является прямоугольным. Кроме того, катет этого треугольника соответствует половине гипотенузы, то есть является противолежащим для угла в $30^{\circ}$. Таким образом:

$\angle CAD = 30^{\circ}. \angle BAC = 90^{\circ} - \angle CAD = 60^{\circ}$

В результате:

$\angle BAC - \angle CAD = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$

Ответ: $30^{\circ}$.

Имеется некий прямоугольник $ABCD$ с периметром, равным 26, и площадью, соответствующей 40. Необходимо определить, чему равна разность максимальной и минимальной сторон данного прямоугольника.

Решение

Зная, что прямоугольник представляет собой частный случай параллелограмма, сделаем вывод о равенстве его противолежащих сторон. Введем обозначение для длины фигуры (а), выразим ширину фигуры, как (b). В результате, получим:

$a\cdot b = 40, a + b + a + b = 2(a + b) = 26$

Таким образом:

$b = 13 – a$

$a \cdot (13 - a) = 40$

Запишем равносильное выражение:

$a^2 - 13a + 40 = 0$

Определим дискриминант:

$D = 13^2 - 4\cdot 40 = 9 = 3^2$

Найдем корни:

$a_1 = 0,5(13 + 3) = 8$

$a_2 = 0,5(13 - 3) = 5$

В первом случае $b = 8$. С другой стороны, $a \geq b$. Исключим первый корень. Значит, решениями являются:

$a = 8$

$b = 5$

Вычислим разность:

$8 - 5 = 3$

Ответ: 3.

Отношение периметра прямоугольника $ABCD$ к периметру треугольника $АВС$ равно 7:6. Необходимо вычислить, чему равен периметр $ABCD$ при $BD = 10$.

Решение

$P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC, P_{ABCD} = 2\cdot(AB + BC) \Rightarrow 2\cdot P_{\triangle ABC} - P_{ABCD} = 2\cdot AC = 2\cdot BD = 20$

Заметим, что:

$2\cdot P_{\triangle ABC} - P_{ABCD} = 2\cdot 6\cdot x - 7\cdot x = 5\cdot x \Rightarrow 5\cdot x = 20 \Rightarrow x = 4$

В результате:

$P_{ABCD} = 7\cdot x = 28$

Ответ: 28.