Площадь поверхности цилиндра: как найти, формула

Что такое цилиндр

Разработка инженерных чертежей зданий, сооружений, оборудования начинается с самых простых фигур геометрии. Цилиндры применяют повсеместно, что объясняет важность умения рассчитывать их основные параметры, в том числе площадь. Цилиндром также называют классический головной убор. Цилиндрическую форму имеют трубы, архитектурные компоненты зданий, посуда, разнообразные резервуары.

Использование в производстве продукции именно такой формы позволяет значительно сократить затраты. К примеру, на изготовление сосуда в виде цилиндра уходит меньше материала, чем на выпуск аналогичных товаров в форме параллелепипеда. Это объясняется разницей в величинах площади боковой поверхности материального тела.

Цилиндрические предметы удобнее держать в руках и размещать в местах хранения. По этой причине бутыли с жидкостями разного состава, которые используют в медицине, салонах красоты и других сферах, имеют цилиндрическую форму. Многие химические вещества, в том числе, газы, агрессивные среды, нефтепродукты, масла, транспортируют в цистернах в виде цилиндров. Это связано с отсутствием уязвимых мест и максимальной герметичностью подобных резервуаров. В цилиндрической емкости центр тяжести находится ниже, чем в контейнере прямоугольной формы, что обеспечивает стабильность положения заполненного резервуара. Кроме того, давление на стенки цилиндра с жидкостью или газом распределяется более равномерно.

Источник: ru.wikipedia.org

Разберем основные понятия, с которыми часто сталкиваются школьники в процессе решения геометрических задач. К примеру, материальное тело обладает некой поверхностью. Величину площади этой поверхности важно знать для проведения вычислений в теории и на практике.

Цилиндр обладает основаниями, которые можно измерить. Они являются плоскими геометрическими фигурами. Для того чтобы получить основания, необходимо пересечь цилиндрическую поверхность парой плоскостей, расположенных параллельно по отношению друг к другу. Тот участок поверхности, который разделяет плоскости цилиндрических оснований, обозначают за боковую поверхность цилиндра. Плоскости оснований цилиндра высекают в своем перпендикуляре некий отрезок, называемый высотой цилиндра.

Существуют следующие виды цилиндров:

1. Прямой цилиндр с основаниями в виде кругов или эллипсов. В этом случае цилиндрическая ось расположена между центральными точками симметрии и является перпендикуляром к основаниям.
2. Косой цилиндр отличается от прямого геометрического тела расположением оси, то есть данный отрезок не перпендикулярен цилиндрическим основаниям.
3. Круговой цилиндр имеет направляющую в виде окружности.
4. Прямой круговой цилиндр (цилиндр вращения) получают в результате вращательного движения прямоугольника относительно какой-то стороны.
5. Эллиптический, параболический, гиперболический цилиндры названы так по форме основания, которые имеют вид эллипсов, парабол, гипербол соответственно. В случае параболического и гиперболического цилиндров объем измеряется бесконечностью.
6. Призма представляет собой цилиндр с основанием, которое обладает формой многоугольника.
7. Равносторонний цилиндр является таким цилиндром вращения, в котором наблюдается равенство диаметра основания и цилиндрической высоты.

Как найти площадь цилиндра: формула

Ознакомившись с ключевыми понятиями по теме цилиндров, можно приступить к вычислению основных параметров геометрических фигур. К примеру, в задачах по геометрии часто встречаются примеры на определение площади разных элементов цилиндра и его поверхности. Благодаря стандартным формулам, которые целесообразно использовать в процессе расчетов, значительно упрощается решение геометрических задач.

Площадь поверхности

Рассмотрим способы нахождения площади боковой поверхности цилиндра. Данный параметр вычисляют, как произведение величины образующей и периметра сечения цилиндра плоскостью, которая является перпендикуляром к образующей.

Если требуется определить площадь боковой поверхности прямого цилиндра, то необходимо ориентироваться на развертку геометрической фигуры. По форме цилиндрическая развертка является прямоугольником. Обозначим его высоту за h, а длину назовем Р. Заметим, что длина аналогична периметру основания. Таким образом, вычислить площадь боковой поверхности цилиндра можно путем расчета площади развертки этого цилиндра, то есть:

\(S_{b}=Ph\)

Представим, что R — радиус основания, которое является частью прямого кругового цилиндра. Запишем формулы для вычисления параметров такой геометрической фигуры:

\(P=2\pi R\)

\(S_{b}=2\pi Rh\)

В том случае, когда цилиндр наклонный, предусмотрена отдельная формула для расчета площади боковой поверхности. Для определения этого параметра необходимо умножить величину образующей на периметр сечения, который является перпендикуляром к образующей. Запишем соответствующую формулу:

\(S_{b}=P_{\perp }h\)

Источник: ru.wikipedia.org

Далее рассмотрим порядок вычисления площади, которой обладает полная поверхность цилиндра. Найти эту величину можно путем суммирования площадей, которыми характеризуются основания и боковая цилиндрическая поверхность. Если речь идет о прямом круговом цилиндре, то целесообразно воспользоваться следующей формулой:

\(S_{p}=2\pi Rh+2\pi R^{2}=2\pi R(h+R)\)

Площадь поперечного сечения цилиндра

Заметим, что сечение цилиндра изображает некую фигуру, которая сформирована, если рассечь цилиндр с помощью плоскости в поперечном, либо продольном направлении.

Источник: www.center-pss.ru

Площадь цилиндрического основания можно рассчитать с помощью следующего справедливого соотношения:

\(S = \pi \cdot \frac{d^2}{4}\)

Здесь d обозначает диаметр цилиндра.

Площадь, которой обладает осевое цилиндрическое сечение, вычисляют с помощью следующей формулы:

\(S = d \cdot h\)

В данном случае d обозначает диаметр, h представляет собой высоту геометрической фигуры.

Определить, чему равна площадь сечения, которое расположено параллельно его оси сечения, то есть площадь бокового цилиндрического сечения, целесообразно с помощью следующего соотношения:

\(S = а \cdot h\)

Здесь а обозначает величину хорды цилиндрического основания, h является высотой геометрической фигуры.

Площадь усеченного цилиндра

Изобразим геометрическую фигуру в виде усеченного цилиндра и обозначим ключевые ее элементы:

Источник: calcon.ru

Запишем справедливые формулы для определения площади рассматриваемой геометрической фигуры:

\(S(усеч.цил.)= \pi\cdot R \left[R+h_{1}+h_{2}+ \sqrt{R^{2}+\frac{1}{4}(h_{2}-h_{1})^{2}}\right]\)

Заметим, что:

\(h = \frac{ h_{1}+h_{2}}{2}\)

С учетом записанного равенства выполним преобразования начального уравнения:

\(S(усеч.цил.)= \frac{1}{4}\pi\cdot D \left[D+2h_{1}+2h_{2}+ \sqrt{D^{2}+ (h_{2}-h_{1})^{2}}\right]\)

Запишем следующее соотношение, вытекающее из принципов геометрии:

\(D = 2R\)

В таком случае исходную формулу допустимо записать таким образом:

\(S(усеч.цил.) = S(бок) + S(осн) + S(сеч)\)

\(S(бок) =2 \pi\cdot R\cdot h\)

\(S(осн) = \pi\cdot R^{2}\)

\(S(сеч) = \pi\cdot R^{2} \cdot \sqrt{R^{2}+ \frac{1}{4} (h_{2}-h_{1})^{2}}\)

Задачи

Успешно справиться с любой задачей по геометрии можно, если пользоваться стандартным алгоритмом действий. В первую очередь необходимо проанализировать условия примера, а именно, уточнить, какой формой обладает рассматриваемое тело, каковы ее составные элементы, какие из них обладают известными величинами. Полученную информацию целесообразно перенести на простой рисунок. Необходимо в процессе ввести буквенные обозначения для элементов геометрической фигуры. Подобные меры обеспечат корректное выявление неизвестных величин и правильный выбор подходящих формул, с помощью которых можно вычислить искомые значения.

Решение

Воспользуемся полученными ранее теоретическими знаниями и применим их на данном практическом примере. В первую очередь следует записать формулы, которые подходят для решения этой задачи:

\(V = \pi R^2 h\)

\(S_{\text{бок}} = 2\pi R h\)

С помощью известных характеристик геометрической фигуры вычислим величину ее радиуса. Получим, что:

\(\frac{V}{S_{\text{бок}}} = \frac{\pi R^2 h}{2\pi R h} = \frac{R}{2} = \frac{64\pi}{32\pi} = 2 \Rightarrow R = 4\)

Полная поверхность цилиндра при этом будет иметь площадь, равную сумме площадей оснований и боковой поверхности. Запишем формулу, выражающую эту зависимость, и подставим значения из условия задания:

\(S_{\text{полн}} = 2\pi R h + 2 \pi R^2 = 32\pi + 2 \cdot 16\pi = 64\pi\)

Полученный итог уменьшим в \(\pi\)  раз. В результате окончательное решение равно 64.

Ответ: 64.

Решение

На первом этапе необходимо вспомнить основные формулы для расчета объема и площади цилиндра. Запишем справедливые равенства, которые будут полезны при решении данной задачи:

\(V = \pi R^2 h\)

\(S_{\text{бок}} = 2\pi R h\)

Определим, чему равен радиус рассматриваемой геометрической фигуры путем подстановки в формулу исходных данных из условия задания:

\(\frac{V}{S_{\text{бок}}} = \frac{\pi R^2 h}{2\pi R h} = \frac{R}{2} = \frac{100\pi}{25\pi} = 4 \Rightarrow R = 8\)

Выполним преобразования соответствующего уравнения для определения высоты, которую требуется вычислить, через полученное значение радиуса:

\(V = \pi R^2 h = 64\pi h = 100\pi \Rightarrow \displaystyle h = \frac{100}{64} = 1,5625\)

Ответ: 1,5625.

Источник: shkolkovo.net

Решение

Проанализируем условия задачи. Заметим, что AD и BC играют роль высот геометрической фигуры. В таком случае можно прийти к выводу о том, что ABCD представляет собой прямоугольник. Руководствуясь теоретическими знаниями, запишем формулу для вычисления площади обнаруженного многоугольника:

\(S_{ABCD} = AD\cdot DC = H\cdot R = \dfrac{16\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi^2}}\)

Треугольник ADC является прямоугольным. Рассмотрим эту геометрическую фигуру. Заметим, что:

\(\angle DAC = 60^\circ\)

В таком случае, получим, что:

\(AD = \mathrm{tg}\, \angle ACD\cdot DC = \mathrm{tg}\, 30^\circ\cdot R = \dfrac{R}{\sqrt{3}},\)

Таким образом, справедливым будет следующее равенство:

\(H = \dfrac{R}{\sqrt{3}}\)

\(R = \sqrt{3}H\)

Путем подстановки соотношения для поиска R в формулу, определяющую \(S_{ABCD}\), выполним следующие преобразования:

\(H^2\cdot\sqrt{3} = \dfrac{16\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi^2}}\)

Исходя из записанного соотношения, допустимо сделать такой вывод:

\(H = \dfrac{4}{\sqrt[3]{\pi}}\)

\(R = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi}}\)

\(V_{\text{цил}} = \pi R^2 H = \pi\cdot \dfrac{16\cdot 3}{\sqrt[3]{\pi^2}}\cdot\dfrac{4}{\sqrt[3]{\pi}} = 192\)

Ответ: 192

Источник: shkolkovo.net

Решение

Руководствуясь основными формулами для вычисления характеристик геометрической фигуры в форме цилиндра, запишем последовательное решение задачи. В первую очередь следует вычислить объем рассматриваемой фигуры:

\(V_{\text{цил}} = \pi R^2 H = \dfrac{200}{\sqrt{\pi}}\)

Согласно условию задачи:

\(\dfrac{R}{H} = 5\)

В данном случае R обозначает радиус основания цилиндра, Н представляет собой высоту этой фигуры. Тогда получим, что:

\(R = 5H\)

В результате, допустимо записать следующее соотношение:

\(\pi \cdot 25 H^3 = \dfrac{200}{\sqrt{\pi}}\qquad\Rightarrow\qquad H^3 = \dfrac{8}{\pi\sqrt{\pi}}\)

Исходя из данного равенства, можно представить формулу для определения параметров цилиндра:

\(H = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\)

\(R = \dfrac{10}{\sqrt{\pi}}\)

На основании полученных данных вычислим искомую площадь геометрической фигуры:

\(S_{\text{полн}} = 2\pi R H + \pi R^2 = 2\pi R(H + R) = 2\pi\cdot\dfrac{10}{\sqrt{\pi}}\cdot\dfrac{12}{\sqrt{\pi}} = 240\)

Ответ: 240.

Источник: egemaximum.ru

Решение

Запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:

\(S_{bok}=2\pi RH\)

Исходя из записанного соотношения, путем подстановки известных величин найдем площадь:

\(S_{bok}=2\pi\cdot 7\cdot 10=140\pi\)

В результате получим, что:

\(\frac{S_{bok}}{\pi}=140\)

Ответ: 140.

Источник: egemaximum.ru

Решение

Обозначим радиус первой емкости цилиндрической формы за R. В таком случае радиус, который имеет второй резервуар, можно вычислить, умножив R на 3, то есть 3R. Запишем уравнение для объема жидкости в первом резервуаре:

\(V=\pi R^2\cdot 27 см^3\)

Объемы в первом и во втором случае одинаковые, поэтому:

\(V=\pi (3R)^2\cdot H\)

В результате допустимо записать следующее соотношение:

\(\pi R^2\cdot 27=\pi \cdot 9R^2\cdot H\)

\(27=9H\)

Искомая величина составит:

H=3

Ответ: 3 (см).

Источник: egemaximum.ru

Решение

Заметим, что объем изделия соответствует объему жидкости, которая была вытеснена из сосуда при его погружении. Запишем соотношение для вычисления объема:

\(V=S_{osnov}\cdot H\)

С помощью условий задания составим справедливое равенство:

\(600=S_{osnov}\cdot H\)

В результате можно посчитать, какой объем составляет вытесненная жидкость, а, следовательно, и изделие:

\(V_{detal}=S_{osnov}\cdot 0,6H=0,6(S_{osnov}\cdot H)=0,6\cdot 600=360\)

Ответ: 360. 

Решение

Вспомним закономерное соотношение, которое подразумевает равенство объема конструкции величине объема воды, которая была таким способом вытеснена из резервуара. Исходя из условия задания, можно прийти к выводу, что вытесненный объем составляет 9/12 от начального:

\(V_дет = \frac{9}{12}\cdot 2000 = \frac{3}{4}\cdot 2000 = 1500\)

Ответ: 1500 куб. см.

Решение

Воспользуемся закономерностями для расчета параметров цилиндра, которые знакомы из курса теории. Запишем, каким образом можно рассчитать площадь боковой поверхности цилиндрической фигуры:

\(S = 2\pi \cdot r \cdot H\)

Обратимся к условию задания, чтобы подставить в формулу численные значения величин и выполнить вычисления:

\(S = 2\pi \cdot 2 \cdot 3 = 12 \pi\)

Полученный результат требуется разделить на \pi и записать ответ к задаче.

Ответ: 12.

Решение

Воспользуемся справедливыми соотношениями для определения элементов цилиндра, которые знакомы из теоретического курса. Составим формулу, демонстрирующую, каким образом можно вычислить площадь боковой поверхности цилиндрического объекта:

\(S = 2\pi \cdot r \cdot H = Сh\)

В данном случае С является обозначением длины окружности основания цилиндра.

Путем подстановки численных значений из условия задачи найдем искомую величину:

\(S = 3 \cdot 2 = 6\)

Ответ: 6.