что нужно знать о периметре трапеций — основные сведения

Трапеция. Основные понятия и определения

Трапеция — четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой.

Две параллельные стороны называют основаниями (верхним и нижним), а непараллельные — боковыми сторонами.

Трапеция

Выделяют особый вид трапеции — равнобедренную или равнобокую.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Равнобедренной называют трапецию, боковые ребра которой равны, и углы при нижнем основании равны между собой.

Равнобедреная  трапеция
Примечание 1

Допускается применять как термин «равнобокая», так и «равнобедренная», так как эти понятия аналогичны друг другу.

В равнобедренную трапецию всегда можно вписать и описать около нее окружность.

Рассмотрим еще несколько основных понятий.

Диагональ трапеции — линия, соединяющая две ее несмежные вершины.

Диагональ трапеции

Средняя линия — отрезок, параллельный основаниям трапеции и равный их полу сумме.

blobid1648378730577.jpg

Высота — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции ко второму ее основанию.

blobid1648378741161.jpg

К количественным характеристикам трапеции относят:

  • площадь;
  • периметр.

В данной статье рассмотрим способы, с помощью которых можно найти периметр трапеции.

Периметр трапеции — величина, равная сумме длин всех четырех ребер фигуры.

Периметр обозначают в виде большой буквы P.

Способы нахождения периметра

Периметр фигуры можно найти, если:

  1. В произвольной трапеции известны длины всех четырех ребер. Это самый простой способ, однако для его применения необходимо знать длину каждого из ребер, а это не всегда возможно.
  2. В равнобедренной трапеции известны длина боковой стороны и длины оснований.
  3. В равнобедренной трапеции известна длина высоты, проведенной из вершины меньшего из оснований, и длины оснований. Такая высота делит большее основание на два отрезка. Больший из получившихся отрезков при этом равен полу сумме оснований или средней линии. Затем используют теорему Пифагора для прямоугольного треугольника и вычисляют длину бокового ребра.
  4. Известна длина средней линии произвольной трапеции и длины ее боковых ребер.

Формулы для вычисления периметра к каждому из способов

Приведем формулы вычисления периметра для каждого из указанных способов.

Вычисление периметра по четырем сторонам

blobid1648378911577.jpg
Формула 1

\(P_{ABCD}=a+b+c+d\)

Вычисление периметра равнобокой трапеции по основаниям и боковой стороне

blobid1648378921436.jpg
Формула 2

\(P_{ABCD}=2a+b+d\)

Вычисление периметра равнобокой трапеции по высоте и основаниям

blobid1648378931021.jpg

Сначала определим длину отрезка AH и бокового ребра AB.

Формула 3

\(AH=AD-HD=d-\frac{b+d}2=\frac{d-b}2\)

Формула 4

\(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{\frac{\left(d-b\right)^2}4+h^2}\)

Периметр вычислим по формуле:

Формула 5

\(P_{ABCD}=2AB+AD+BC=2\cdot\sqrt{\frac{\left(d-b\right)^2}2+h^2}+d+b=\sqrt{\left(d-b\right)^2+4h^2}+d+b\)

Вычисление периметра трапеции по средней линии

blobid1648378941626.jpg
Формула 4

\(P_{ABCD}=AB+CD+2\left(\frac{BC+AD}2\right)=a+c+2l\)

Примеры задач по теме и их решения

Пример 1

Периметр трапеции ABCD равен 40 см. Известно, что основания равны 10 см и 14 см. А одно боковое ребро больше второго на 2 см. Найдите длины боковых сторон трапеции.

Решение

Пример 1

Обозначим неизвестную длину меньшего ребра AB за x, тогда CD=x+2.

Из формулы для нахождения периметра получим уравнение с неизвестной переменной x:

\(P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=10+14+x+(x+2)=2x+26=40\)

Решив уравнение, получим, что AB=7 см, а CD=9 см.

Ответ: 7 см и 9 см.

Пример 2

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями 26 см и 16 см. Известно, что угол при большем основании равен 60 градусам. Найти периметр трапеции. 

Решение

Пример 2

В трапеции проведем высоту BH, получим прямоугольный треугольник ABH. Длину отрезка AH найдем как половину разности оснований:

\(AH=\frac{AD-BC}2=5\;см\)

По определению косинуса угла:

\(\cos\angle A=\frac{AH}{AB}\;\;\Rightarrow\;AB=\frac{AH}{\cos\angle A}=\frac5{\cos60^0}=10\;см\)

Периметр равнобокой трапеции найдем по основаниям и боковой стороне:

\(P_{ABCD}=2AB+BC+AD=20+16+26=62\;см\)

Ответ: 62 см.

Пример 3

Известно, что у трапеции ABCD ребра AB и CD равны и расположены под одинаковыми углами к AD, при этом BC=30 см. Из вершины B проведена высота BH=8 см такая, что отрезок AH=6 см. Найти периметр трапеции.

Решение

Пример 3

Чтобы найти периметр, необходимо вычислить длину большего основания. Трапеция по условию задачи является равнобедренной, тогда отрезок AH равен половине разности оснований:

\(AH=\frac{AD-BC}2\;\Rightarrow\;AD=2\cdot AH+BC=12+30=42\;см\)

Теперь вычислим периметр по высоте и основаниям:

\(P_{ABCD}=\sqrt{\left(AD-BC\right)^2+4BH^2}+AD+BC=\sqrt{\left(42-30\right)^2+4\cdot8^2}+42+30=92\;см\)

Ответ: 92 см.

Пример 4

Боковые ребра трапеции ABCD равны 12 см и 10 см. Известно, что одно основание больше другого в 2 раза, а периметр трапеции составляет 70 см. Найти длины оснований трапеции.

Решение

Пример 4

Решать задачу будем через среднюю линию – MN. Обозначим меньшее основание BC за x, тогда AD=2x.

Из условия задания известен периметр фигуры, а значит, можно определить длину отрезка MN:

\(P_{ABCD}=AB+CD+2MN=22+2MN=70\;см\)

\(MN=\frac{70-22}2=24\;см\)

Зная, что средняя линия равна полу сумме оснований, запишем и решим относительно переменной x следующее уравнение:

\(MN=\frac{BC+AD}2=\frac{x+2x}2=24\;см\)

\(\begin{array}{c}x+2x=48\;см\\3x=48\;см\\x=16\;см\end{array}\)

Получили, что меньшее основание BC равно 16 см, а большее AD – 32 см.

Ответ: 16 см и 32 см.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.14 (Голосов: 7)

Заметили ошибку?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»