Что нужно знать о периметре ромба — основные сведения

Основные сведения о фигуре ромб

Рассмотрим особый вид параллелограмма, для которого характерны следующие признаки:

1. Две стороны, являющиеся смежными, равны по величине.
2. Проведенные из углов диагонали пересекаются в центре фигуры таким образом, что образуют прямой угол.
3. Определенная диагональ разделяет углы, которые она соединяет, пополам.

По этим признакам можно четко определить, когда параллелограмм является ромбом.

Произошло название от греческого слова ῥόμβος либо латинского rombus. В переводе они означают «бубен».

При этом геометрическими свойствами ромба являются:

1. Поскольку ромб — параллелограмм, его стороны, лежащие противоположно, имеют равные величины и попарную параллельность. Кроме этого, для всех ромбов характерно равенство противоположных углов, а также факт, что соседние с ними углы составляют в сумме 180о.
2. С помощью проведения диагоналей можно разделить ромб на четыре треугольника, имеющих прямые углы. При этом диагонали пересекутся в центре фигуры в точке, которая разделит их пополам.
3. Вышеуказанные диагонали будут биссектрисами углов ромба.
4. Если длину диагоналей возвести в квадрат и сложить эти квадраты, то получишь квадрат стороны, увеличенный в 4 раза (данное свойство вытекает из тождества параллелограмма).
5. В ромб можно вписать прямоугольник, при этом его углы будут располагаться на серединах его сторон.
6. Оси симметрии ромба обязательно будут перпендикулярны диагоналям ромба.
7. Кроме прямоугольника в ромб можно вписать окружность. Ее центр будет совпадать с точкой, в которой пересекаются диагонали.

Зная вышеизложенные свойства, легко проводить вычисления величин, характеризующих данный ромб и строить внутри него геометрические фигуры.

Понятие периметра ромба

Периметр любой плоской геометрической фигуры составляет сумму длин его границ. Ромб не является исключением.

Исходя из определения, единицы измерения периметра аналогичны единицам длины.

Однако найти периметр ромба можно не только сложив длины всех четырех сторон. В геометрии существует еще один метод, который детально будет рассмотрен ниже.

Способы нахождения периметра

Через стороны

Поскольку у ромба все четыре стороны равны, его периметр можно выразить произведением длины одной стороны на 4.

P=4a

где P — периметр, a — длина стороны.

Нахождение периметра ромба можно проводить по еще одной формуле, используя длины диагоналей.

Через длину диагонали

Рассмотрим рисунок.

Проведем в ромбе ABCD диагонали BD и AC. Они пересекаются в точке O под прямым углом и делятся этой точкой пополам. Можно записать равенства:

AO=OC=d1/2

BO=OD=d2/2

В результате деления ромба диагоналями на четыре треугольника, имеющих прямые углы, образовались геометрические фигуры AOB, AOD, BOC, DOC. Подробнее рассмотрим один треугольник — AOB.

Из рисунка видно, что сторона AB являясь стороной ромба, представляет собой гипотенузу в прямоугольнике. Далее воспользуемся известной теоремой Пифагора:

AB²=AO²+OB²

В эту формулу подставим величины длин катетов. Однако перед этим выразим их через ½ диагоналей.

AB²=(d₁/2)²+(d₂/2)²

Извлекая квадрат из этого выражения, получаем:

AB=√((d₁/2)²+(d₂/2)²)

В итоге находим периметр ромба:

Формулы для каждого способа

В ходе решения задач по теме «ромб» применяются следующие формулы:

1. Для нахождения периметра:

Через длину стороны: P=4a

Используя длины диагоналей:

Кроме этого, на уроках по изучению характеристик ромба, рассматриваются формулы по нахождению его площади. Ее можно определить с помощью двух способов: через вычисление произведения высоты на длину стороны или половину произведения двух диагоналей.

Примеры решения задач