Какой угол называется острым: определение, свойства, примеры

Что такое острый угол

Изобразим на рисунке, как выглядит острый угол, исходя из рассмотренного определения:

Источник: www.treugolniki.ru

На уроках геометрии и математике при решении различных задач школьники пользуются специальными измерительными и чертежными инструментами. Одним из таких полезных приспособлений является транспортир. С его помощью можно достаточно быстро и просто выполнить построение острого угла какой-либо градусной меры.

Порядок действий при построении острого угла с применением транспортира:

1. Отметить некую точку на листе бумаги, которая будет играть роль вершины заданного угла.
2. Используя полученную точку, построить луч, вершина которого совпадает с ней. Данный луч является одной из сторон искомого угла.
3. С помощью транспортира совместим вершину угла с отверстием, расположенным по центру инструмента, таким образом, чтобы отмеченный на нем ноль градусов совпал с определенной ранее стороной угла.
4. Предположим, что необходимо рассмотренным способом начертить угол в 72°. На шкале транспортира в данном случае потребуется найти отметку в соответствии с заданной градусной мерой и нарисовать точку.
5. Далее следует соединить полученную точку с вершиной угла с помощью луча, который является второй стороной искомого угла.

Перенесем рассмотренную схему изображения острого угла в 72°. Заметим, что отчет градусной меры допустимо начинать с нижней или верхней шкалы, отмеченной на транспортире:

Источник: www.treugolniki.ru

Признаки и свойства острых углов

Перечислим свойства, которые характерны для любого острого угла:

1. При рассмотрении пары смежных углов, один из которых меньше по сравнению с прямым, то есть определяется как острый, можно сделать вывод, что второй из смежных углов является тупым.
2. Какой-либо произвольный треугольник обладает как минимум одним острым углом.
3. Треугольники, которые образованы тремя острыми углами, носят название остроугольных.

Признаком любого острого угла является его градусная мера, которая в любом случае будет меньше, чем 90°. В геометрии часто встречаются задачи, когда необходимо идентифицировать тот или иной угол по его признаку. Тогда целесообразно воспользоваться еще одним полезным инструментом под названием угольник.

В качестве примера воспользуемся угольником и соединим его вершину с вершиной искомого угла, который необходимо идентифицировать. При этом расположим угольник так, чтобы его грань проходила по какой-нибудь одной стороне рассматриваемого угла. В результате другая сторона измерительного инструмента перекроет вторую сторону угла. Изобразим схематично принцип выполнения этой процедуры:

Источник: www.treugolniki.ru

Примеры решения задач

Решение

Воспользуемся определением острого угла и вспомним, что его градусная мера меньше, чем 90°.

Рассмотрим изображение угла на рисунке (а). Заметим, что в данном случае одна сторона угла играет роль перпендикуляра по отношению ко второй. Тогда угол, который расположен между ними, составляет 90°. Сделаем вывод, что такой угол является прямым.

Далее обратимся к рисунку (б). Построим к одной из сторон угла перпендикуляр. Изобразим это действие наглядно, дополнив начальное изображение:

 

Заметим, что угол меньше по сравнению с прямым. Это утверждение полностью соответствует понятию острого угла. Сделаем вывод о том, что угол, изображенный на рисунке (б), является острым.

Перейдем к третьему варианту. Аналогично предыдущему примеру, построим перпендикулярную прямую к углу, изображенному на рисунке (в), которая проходит через его вершину:

 

Заметим, что искомый угол больше по сравнению с прямым, то есть имеет такую градусную меру, которая превышает 90°.  Данный угол можно идентифицировать как тупой. Он не является острым.

Ответ: острым является угол, изображенный на рисунке (б).

Решение

Введем обозначение х для неизвестного острого угла. В таком случае угол, градусная мера которого больше, можно записать в виде следующего выражения:

х + 30

Вспомним, что острый угол обладает полезным свойством. При рассмотрении пары смежных углов, один из которых меньше по сравнению с прямым, то есть определяется как острый, можно сделать вывод, что второй из смежных углов является тупым. В сумме смежные углы составляют 180°. Запишем справедливое равенство:

х + (х+30) = 180

2х = 150

х = 75

Угол, который ранее был обозначен за х, составляет 75°. Заметим, что такая градусная мера меньше, чем 90°. На основании этого факта острый угол равен 75°.

Ответ: 75°.

 

Решение

Построим в заданной окружности радиус, который обозначим как ОА. Перенесем действия на рисунок:

 

Заметим, что полученный треугольник АОС имеет прямой угол, то есть по определению является прямоугольным:

АОС  = 90°

Вспомним, что в сумме все углы в треугольнике составляют 180°. На основании этого соотношения вычислим градусную меру угла СОА:

СОА = 180 – АОD = 180 – 100 = 80

В результате угол АОС составит:

АОС  = 90 – 80 = 10

Ответ: 10°

 

Решение

Исходя из того, что биссектриса делит угол на две равные части, вычислим градусную меру угла СОВ:

СОВ  = \(25 \cdot 2\) = 50

Развернутый угол АОВ составляет 180° по определению. Тогда можно найти величину угла АОС:

АОС = 180 – 50 = 130

Зная, что биссектриса ОЕ делит угол АОС на два равных угла, получим, что искомый угол АОЕ равен:

АОЕ = \(130 \div 2\) = 65

Ответ: 65°.