Как вычислить определитель четвертого порядка в матрице

Определитель матрицы 4 порядка — это

Матрица с точки зрения математики представляет собой эффективный способ организации данных в виде прямоугольной таблицы из чисел, символов или выражений. Она состоит из строк и столбцов, где каждый элемент занимает определенное положение. Матрицы применяются для представления информации в удобном формате и решения различных задач. Например, в алгебре матрицы используются для обозначения линейных операций и систем уравнений. Каждая матричная форма имеет размерность, которая определяется количеством строк и столбцов. Матрицы допустимо складывать, умножать на число или другую матрицу, что делает их действенным инструментом при работе с данными.

Разработаны разные форматы представления матриц. В том случае, когда подобный объект состоит только из одного элемента, он совпадает с принадлежащим ему единственным скаляром. Квадратной является матричная форма с одинаковым количеством столбцов и строк. Перечисленные понятия полезно использовать в процессе вычисления разнообразных примеров. В алгебре действия с матрицами реализованы по определенному алгоритму и характеризуются четкой последовательностью.

Порядок и специфика таких действий обладают рядом отличий от стандартных алгебраических процедур. К примеру, матрицы допустимо транспонировать. В распространенных случаях задания по теме матриц предполагают вычисление определителя матричной формы того или иного порядка, то есть те, что относят к квадратному типу. По этой причине в первую очередь следует сформулировать следующее важное определение.

Во время расчета определителя на первой стадии необходимо проанализировать матричную запись. Например, при условии принадлежности компонентов матрицы к множеству действительных чисел определитель такой матрицы по аналогии с рассматриваемыми элементами является действительным числом. С целью обозначения определителя используют следующие символы \(\det A или |A|\).

При вычислении изучаемой величины обращают внимание на порядок. Так определитель первого порядка соответствует скаляру исследуемой матрицы. В процессе решения задач на поиск аналогичного параметра второго и третьего порядка необходимо производить вычисления в строгой последовательности с применением специальных формул и закономерностей. Определитель четвертого порядка затруднительно рассчитать без использования понятия матричного минора. Например, за минор матрицы третьего порядка принимают определитель второго порядка, сформированный путем исключения i-ой строки и j-го столбца. При обозначении минора применяют букву «М».

Формулу для вычисления определителя четвертого порядка записывают в таком виде:

\(|A|=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}-a_{14}M_{14}\)

В качестве наглядного примера можно рассмотреть поиск решения для следующей матрицы:

\(A = \begin{pmatrix}1&0&2&-1\\0&0&1&4\\-3&0&0&2\\6&-3&-1&0\end{pmatrix}\)

Выполним пошаговые вычисления и запишем окончательный результат:

\(|A| = \begin{vmatrix}1&0&2&-1\\0&0&1&4\\-3&0&0&2\\6&-3&-1&0\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}0&1&4\\0&0&2\\-3&-1&0\end{vmatrix}-0\cdot\begin{vmatrix}0&1&4\\-3&0&2\\6&-1&0\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}0&0&4\\-3&0&2\\6&-3&0\end{vmatrix}-(-1)\cdot\begin{vmatrix}0&0&1\\-3&0&0\\6&-3&-1\end{vmatrix}=1\cdot(-3)-0\cdot24+2\cdot36-(-1)\cdot9=78\)

Как найти

Множество примеров на поиск параметров матрицы связаны с использованием стандартных формул для алгебраических манипуляций с действительными числами. Предусмотрен альтернативный способ решения заданий на вычисление определителя четвертого порядка. Теорема Лапласа, именованная в честь математика Пьера-Симона Лапласа, связана с разложением детерминанта матрицы по любой строке или столбцу. Она была впервые сформулирована в 1772 году и представляет собой важный результат линейной алгебры, используемый в различных областях математики и физики

Озвученная теорема подходит для расчетов матричных объектов разного порядка. Универсальный способ вычислений востребован при работе с компактными и крупными матрицами. Независимо от объемов алгебраических преобразований, необходимо следить за корректностью идентификации вида матрицы и составных компонентов. В определенных примерах требуется разложить определитель в соответствии со строкой или столбцом. В таком случае полезно использовать следствие из озвученного утверждения.

Сопутствующие миноры по аналогичному принципу несложно определить. С этой целью нужно обратиться к матрице в ее первоначальном виде для последующего устранения строки и столбца, в составе которых \({{a}_{ij}}\). Представим, что полученные миноры обозначены за \(M_{ij}^{*}\). При использовании алгебраического дополнения оперируют также числом S. Например, если в задании речь идет о миноре первого порядка, то за указанное значение принимают сложение «координат» клетки \({{a}_{ij}}\), то есть:

\(S=i+j\)

В результате начальный определитель допустимо выразить с помощью \({{a}_{ij}} и M_{ij}^{*}\), руководствуясь положениями из рассмотренной ранее теоремы Лапласа:

\(\left| A \right|=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}\cdot {{\left( -1 \right)}^{i+j}}\cdot {{M}_{ij}}}\)

Примеры решения задач

Из курса теории известно, что определитель матрицы представляет собой число, которое позволяет понять, какая матрица сингулярна, то есть не имеет обратной, и какие прочие свойства у нее есть. Для вычисления существуют различные методы, рассмотренные ранее. Определитель вычисляется как сумма произведений элементов матрицы по определенным правилам. Эти правила связаны с перестановками элементов матрицы, что делает вычисление определителя довольно сложным. При наличии определителя матрицы можно быстрее решать системы линейных уравнений, вычислять обратные матрицы и находить их ранг. Таким образом, определитель матрицы является значимым понятием в линейной алгебре, которое позволяет лучше понять структуру и свойства матриц.

Решение

Проанализируем условия задания. Заметим, что согласно принципам расчетов определителя, изложенным в теоретическом материале, в данном случае целесообразно воспользоваться формулой разложения по первой строке:

\(\begin{align} \left| A \right|=1\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end{matrix} \right|+ & \\ 2\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end{matrix} \right|+ & \\ 3\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end{matrix} \right|= & \\\end{align}\)

Продолжим вычисления путем стандартных алгебраических преобразований и сформулируем окончательный ответ:

\(\begin{align} & =1\cdot \left( 45-48 \right)-2\cdot \left( 36-42 \right)+3\cdot \left( 32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left( -3 \right)-2\cdot \left( -6 \right)+3\cdot \left( -3 \right)=0. \\\end{align}\)

Ответ: 0.

Решение

С целью закрепить теоретические знания допустимо применить в процессе поиска ответа к данному заданию метод разложения по столбцам. Ознакомимся с представленным в условии выражением. Заметим, что крайняя колонка содержит пару нулевых значений одновременно. Подобное наблюдение позволит значительно упростить дальнейшую работу с матрицей. На первом этапе приступим к процедуре, чтобы разложить определитель по четвертому столбцу:

\(\begin{align} \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=0\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +1\cdot {{\left( -1 \right)}^{2+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +1\cdot {{\left( -1 \right)}^{3+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +0\cdot {{\left( -1 \right)}^{4+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right| & \\\end{align}\)

Путем математических преобразований удалось исключить пару слагаемых, множитель которых обладает нулевым значением. В остатке получим два определителя 3х3. Продолжим вычисления по запланированной схеме:

\(\begin{align} & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end{align}\)

Обратимся к исходному выражению для расчета окончательного ответа:

\(\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=1\cdot \left( -1 \right)+\left( -1 \right)\cdot 1=-2\)

Ответ: −2

Решение

Начать вычисления следует с анализа представленного выражения. Заметим, что в данном случае отсутствуют нулевые значения. Этот факт позволяет преобразовать произвольную строку или столбец. Например, допустимо выполнить действия по обнулению первого столбца, содержащего ячейку с единицей. В процессе необходимо обратиться к первой строке, выполнить ее вычитание в течение четырех раз из второй строки. Аналогичные действия по определению разности требуется произвести трижды с третьей и дважды с крайней строкой. По итогам преобразований сформирована матрица с идентичным определителем:

\(\begin{matrix} \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end{matrix}= \\ =\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 &; 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \\\end{matrix} \right|= \\ =\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right| \\\end{matrix}\)

На следующем этапе необходимо приступить к разложению полученного определителя по первой колонке:

\(\begin{matrix} 1\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} -7 & -10 & -13 \\ -2 &; -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right|+0\cdot {{\left( -1 \right)}^{2+1}}\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot {{\left( -1 \right)}^{3+1}}\cdot \left| ... \right|+0\cdot {{\left( -1 \right)}^{4+1}}\cdot \left| ... \right| \\\end{matrix}\)

По итогам анализа проделанных вычислений, очевидно, что остается лишь первое слагаемой, так как прочие устраняет умножение на ноль. Коэффициент, который предшествует определителю, соответствует единице. По этой причине этот параметр допустимо не переписывать. Заметим, что во всех трех строчках определителя присутствуют элементы с отрицательным знаком. Это позволяет вынести их из выражения таким способом:

\(\left| \begin{matrix} -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right|=\cdot \left| \begin{matrix} 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|\)

В результате образован малый определитель 3х3. В связи с этим, далее целесообразно обратиться к правилу треугольника или выполнить разложение по первому столбцу. Так как в крайней строке присутствует единица, допустимо продолжить вычисления вторым способом:

\(\begin{align} & \left( -1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} -7 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}=\left( -1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right|=\left( -1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right| \\\end{align}\)

Произведем окончательные расчеты и сформулируем итоговый ответ:

\(\left( -1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right|=\left( -1 \right)\cdot \left( 16+144 \right)=-160\)

Ответ: −160.