Что такое область допустимых значений в алгебре

Что значит область допустимых значений

Математику считают точной наукой, что вполне аргументировано. Многие закономерности призваны не только упростить, но и улучшить качество выполняемых вычислений. При этом предлагаемые выражения для расчетов могут обладать любым уровнем сложности и относиться  к тому или иному типу. В процессе решения многих математических примеров часто встречается понятие области допустимых значений. Термин сокращенно обозначают, как ОДЗ. Это полезная научная категория позволяет избежать большинства ошибок при работе над задачами.

С седьмого класса школы ученики активно изучают алгебру. Разбор темы ОДЗ является неотъемлемым этапом в образовательной программе. Особенно важно уметь определять область допустимых значений при работе с уравнениями, в состав которых включены переменные. В противном случае, если игнорировать данной условие, высока вероятность записи неверного ответа с лишними корнями, которые целесообразно исключить еще на этапе выполнения задания. Понятие ОДЗ неразрывно объединено с категориями приемлемых и недопустимых значений.

Наличие смысла характерно для соотношений, содержащих неизвестные, когда по итогам подстановки величин представляется возможным найти значение самого выражения. При прочих обстоятельствах говорят о том, что такие соотношения лишены смысла. Таким образом, становится более понятной логика классификации приемлемых и неприемлемых значений для конкретного алгебраического соотношения. Полагаясь на логические рассуждения, перечислим рассматриваемые понятия.

В качестве примера можно рассмотреть следующее несложное уравнение:

\(\sqrt{x}=y\)

Заметим, что при заданных условиях переменных х и у не могут иметь значения со знаком минус, то есть:

\(\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.\)

В распространенных случаях необходимо не только корректно определить область допустимых значений индивидуально для каждого выражения, но и устранить лишние корни. В результате ответ на пример будет записан без ошибок. Наглядно ознакомиться с подобным принципом и определением ОДЗ можно на следующем примере. Представим, что имеется некоторое выражение с переменной х:

\(\sqrt{2x+3}=x\)

В процессе решения данного задания необходимо восстановить в памяти материалы по теме иррациональных уравнений. В первую очередь следует возвести во вторую степень каждую из частей представленного выражения. В итоге получим:

\(2x+3={{x}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-2{x}-3=0\)

Заметим, что получилось квадратное уравнение, которое несложно преобразовать по стандартному алгоритму. Здесь уместно применить теорему Виета, чтобы упростить запись и вычислить значения переменной:

\(\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-1\end{array} \right.\)

Приступим к проверке справедливости найденных решений. Как известно, это одна из ключевых стадий процесса вычислений и залог корректности полученного ответа. Справиться с этой задачей целесообразно путем подстановки определенных ранее значений в начальное равенство. Запишем оба варианта, так как имеется всего пара корней:

\(x=3:\text{ }\sqrt{2\cdot 3+3}=3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{9}=3 (все верно)\)

\(x=-1:\text{ }\sqrt{2\cdot \left( -1 \right)+3}=-1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{1}=-1 (неверно).\)

Начнем с разбора причин присутствия в результирующей записи корня, который не соответствует условиям задания, то есть обращает исходное математическое соотношение в неверное. Таким образом, получено неприемлемое значение, находящееся вне области допустимых значений. Причина заключается именно в том, что в процессе расчетов ОДЗ не было учтено. На первом этапе решения нужно проанализировать выражение и сделать соответствующую пометку со спектром допустимых значений:

\(\sqrt{2x+3}=x\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\2x+3\ge 0.\end{array} \right.\)

\(x\ge 0\)

В результате несложных логических рассуждений определен посторонний корень, который не нужно писать в ответ к задаче, так как это значение переменной выпадает из пределов ОДЗ и обращает исходное уравнение в неверное. Таким решением является следующее:

х=-1

Как найти ОДЗ

Важно уметь применять навыки выявления области допустимых значений при решении практических заданий. Согласно стандартному алгоритму действий в первую очередь целесообразно проанализировать данное по условию задания уравнение. После определения вида алгебраического отношения и неизвестных полезно изыскать возможности для преобразования записи в более удобный для расчетов формат.

С целью верного вычисления ОДЗ рекомендуется сохранить специальную таблицу с условиями для каждого типа выражений, представленную в следующем разделе. Полезно запомнить универсальные правила, которые свидетельствуют об отсутствии возможностей для вычисления того или иного соотношения:

1. нельзя извлекать квадратный корень из числа со знаком минус;
2. запрещено делить на ноль.

Когда основные условия поиска ОДЗ понятны, можно соотносить любое выражение с перечисленными пунктами. В результате получится точная область допустимых значений. Закрепить теоретические знания стоит с помощью прикладных примеров. Начнем тренировку с определения ОДЗ для следующего соотношения:

\(а^{3} + 4 \cdot а \cdot b – 6\)

Заметим, что в третью степень допустимо возвести любое число без ограничений. В таком случае вычисления возможны при разных значениях переменных. Областью допустимых значений переменных  a и b является множество таких пар приемлемых значений (a, b), где a представляет собой любое число и на значение b также не распространяются ограничения.

Рассмотрим следующее выражение:

\(\frac{1}{5}-\frac{a+2}{0}\)

Данное математическое соотношение отличается наличием ноля, который расположен в дробном знаменателе. Вспомним, что деление на ноль запрещено. Исходя из этого, можно сделать вывод о соответствии области допустимых значений для переменной а пустому множеству. Предусмотрен специальный знак для его обозначения: \(\varnothing\).

Разберем другой пример для наглядности. Представим, что имеется выражение, область допустимых значений которого требуется определить:

\(\sqrt{a+3\cdot b + 5}-4\cdot а\)

В записи присутствует квадратный корень, поэтому выражение, расположенное под ним, не может иметь отрицательное значение. Таким образом, при каких-либо значениях а и b должно выполняться следующее неравенство:

\(a+3\cdot b + 5 \geq 0.\)

В результате ОДЗ включает в себя любые значения переменных a и b, при которых записанное выше соотношение обращается в справедливое неравенство.

В процессе записи области допустимых значений корректно следовать следующим инструкциям:

• когда число входит в ОДЗ, то рядом с ним ставят квадратные скобки;
• для чисел, не входящих в ОДЗ, предусмотрена запись в круглых скобках.

Функции, для которых важна ОДЗ

По информации из определения и смысла такого понятия, как область допустимых значений, можно установить высокую степень важности ОДЗ для выполнения разнообразных действий с функциями. В процессе можно определять переменные, исходя из рассмотренных принципов и закономерностей. Подобный подход исключает включение в число значений лишних решений, которые обращают алгебраическое выражение в неверное. Однако запомнить пределы для каждого соотношения достаточно сложно. Тогда в помощь с решением задач представлена табличная форма, где собраны наиболее часто встречающиеся примеры. Рассмотрим несколько основных функций с ОДЗ:

• соотношения, демонстрирующие обратную зависимость: \(y=\frac{a}{x}:\text{ }x\ne 0\);
• выражения, содержащие в составе корень: \( \sqrt{x}=y:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x\ge 0;\\y\ge 0.\end{array} \right.;\)
• разнообразные варианты записи показательной функции предусматривают соблюдение следующих условий при расчете значений: \({{y}^{x}}=z:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}y>0;\\z>0.\end{array} \right.;\)
• в случае логарифмической функции также важно учитывать спектр значений, которые являются приемлемыми: \({{\log }_{x}}y=a:\text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0;\\x\ne 1;\\y>0.\end{array} \right.\)
• для тригонометрической функции характерны следующие закономерности: \(-1\le \sin x\le 1; y = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}; y = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} x:{\rm{ }}x \ne \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}{\rm{.}}\)

Примеры решения задач

Зная стандартные области допустимых значений для функций, которые чаще всего встречаются в процессе решения задач, целесообразно приступить к решению наглядных примеров. При поиске значений для переменных, как правило, требуется прибегнуть к ряду тождественных преобразований с применением изученных ранее алгебраических закономерностей. В частности, рекомендуется вспомнить правила перестановки слагаемых и множителей, раскрытия скобок, группировки, вынесения единого множителя за пределы скобок, приведение подобных и прочие полезные приемы.

Умение находить область допустимых значений обязательно пригодится на практике во время решения примеров на уроках, контрольных и самостоятельных работ. Кроме того, подобные задачи часто встречаются в выпускных экзаменах. В последующем навыки определения ОДЗ пригодятся при рассмотрении функций повышенного уровня сложности. Выполняя громоздкие расчеты и преобразования важно не допустить ошибки в записи искомых значений для переменных, что может негативно повлиять на результат многоуровневых вычислений.

Решение

В первую очередь необходимо выполнить исследование записанной функции. Подобный формат представления уже знаком из теоретической части. Обратная зависимость не относится к числу сложных математических выражений, поэтому вычисления не отнимут много сил и времени. Важно выявить полезные закономерности, которые значительно упрощают дальнейшие расчеты. Здесь с правой стороны в выражении записан компонент формулы для выполнения сокращенного умножения:

\(\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}=\frac{x}{{{\left( {x}-1 \right)}^{2}}}.\)

Проанализируем запись после выполненных преобразований. На основании определения полученной функции целесообразно обратиться к соответствующему значению и записать ОДЗ:

\({x}-1\ne 0\text{ }\Rightarrow \text{ }x\ne 1.\)

На следующем этапе все еще сохраняется возможность для некоторых алгебраических преобразований. В сформулированной записи присутствуют идентичные знаменатели, от  которых допустимо избавиться. Выполним соответствующие действий и получим следующие итог:

\({{x}^{2}}=x\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x\left( {x}-1 \right)=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.\)

Сравним полученные решения с областью допустимых значений. Сделаем вывод о необходимости исключения второго корня и запишем корректный ответ.

Ответ: 0.

Решение

Очевидно, по условиям задачи дана тригонометрическая функция. Даже при отсутствии подобного информационного сопровождения несложно выяснить вид этой функции самостоятельно путем анализа записи, в которой присутствуют такие категории, как косинус, синус и тангенс. Когда тип записанного соотношения определен, можно приступать к поиску соответствующего определения для приемлемых значений. Сформулируем определение области допустимых величин тригонометрической функции:

\(x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,\text{ }n\in \mathbb{Z}\)

После предварительного исследования вероятных значений для конкретной функции целесообразно приступить к дальнейшему решению. Путем стандартных преобразований выполним вычисления:

\(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \cdot \sin x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x \Leftrightarrow {\mathop{\rm tg}\nolimits} x\left( {\sin x = 1} \right) = 0 \Leftrightarrow\)

Получилась классическая система с уравнениями. Продолжим расчеты для определения промежутков, которые соответствуют значениям неизвестных. В процессе важно придерживаться стандартных правил выполнения расчетов. Тогда результат получится корректный и без ошибок.

\(\left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi n,{\rm{ }}n \in \mathbb{Z}\\x = \frac{\pi }{2} + 2 \pi k,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Заметим, что второй блок с решениями не соответствует определенному ОДЗ, поэтому его не стоит записывать в ответ.

Ответ: \(x=\pi n,\text{ }n\in \mathbb{Z}.\)

Следующий блок заданий посвящен разнообразным алгебраическим преобразованиям сложных выражений. В итоге простых действий можно получить более удобные для проведения дальнейших расчетов соотношения. С другой стороны, у определения области допустимых значений есть некоторые нюансы. К примеру, если перенести этап определения ОДЗ и попробовать рассчитать пределы приемлемых значений для преобразованного выражения, то результат возможно будет отличаться от первоначального, то есть область допустимых значений расширится, уменьшится, либо останется стабильной без изменений.

Решение

На первом этапе проанализируем запись из условия задания. Заметим, что выражение представлено в простом формате. Обратим внимание на правило, которое регламентирует запрет деления на ноль. Таким образом, необходимым является выполнение следующего неравенства:

\(а\neq 0\)

Сформулировать подобное условие целесообразно с помощью следующей записи:

\((−\infty ; 0) \cup (0 ; +\infty)\)

Заметим присутствие в математическом соотношении подобных слагаемых, для которых доступна операция приведения. В результате получится выражение в виде а, область доступных значений для которого соответствует множеству вещественных чисел.

Ответ: \((−\infty ; 0) \cup (0 ; +\infty).\)

Решение

Заметим, что приемлемые значения из тех, которые принимает а, соответствуют множеству вещественных чисел, то есть R. После рассмотрения условий задания целесообразно приступить к преобразованию алгебраического соотношения. Первое, на что следует обратить внимание, заключается в наличии подобных слагаемых. Используя уже знакомые из курса алгебры закономерности, упростим исходное выражение:

\(а^{2}+5а\)

Вновь определим, чему соответствует ОДЗ для полученного выражения. Его значение не поменялось, то есть осталось равным множеству чисел R.

Ответ: множество R.

Решение

Руководствуясь стандартным алгоритмом действий, в первую очередь проанализируем записанное выражение. Заметим, что ОДЗ для переменной а соответствует следующему неравенству:

\((a - 1)\cdot (a - 4) \geq 0\)

Попробуем выполнить вычисления для записанного неравенства. В процессе целесообразно воспользоваться способом интервалов. Тогда область допустимых значений для преобразованного выражения примет следующий вид:

\( (−\infty; 1] \cup [4 ; +\infty).\)

На следующей стадии решения задачи можно воспользоваться свойством корней, смысл которого заключается во взаимном равенстве результата умножения корней и корня от произведения. Выполним простые преобразования и запишем исходное соотношение таким образом:

\(\sqrt{a-1}\cdot \sqrt{a-4}\)

С целью определения ОДЗ лучше записать допустимые значения в виде системы, что позволит наглядно продемонстрировать условия для расчета:

\(a - 1 \geq 0\)

\(a - 4 \geq 0\)

В результате последующих вычислений получается следующее множество:

\([4 ; +\infty)\)

Заметим, что при расчете области допустимых значений после выполнения ряда математических преобразований начального выражения спектр возможных чисел для записи ответа значительно уменьшился. Подобное действие является ошибкой.

Ответ: \((−\infty; 1] \cup [4 ; +\infty).\)