Объем призмы: как вычислить, формула

Что такое призма

Самой популярной сферой применения призм является оптика. С помощью элементов такой геометрической формы инженеры проектируют оптические устройства и аппаратуру, к примеру, телескопы, бинокли, микроскопы, оборудование, предназначенное для фиксации изображений, генерируемых электроникой, и реализации широкого спектра функций, спектральная оптика, интерферометры, поляриметры и прочие измерители. Благодаря применению призм в технике, сконструированной на основе чувствительной оптики, получается менять направление излучения, осуществлять оборот и перенос изображений, дифференцировать лучевые пучки, формировать спектр, проводить разные исследования и анализы.

В призме выделяют составные элементы. В качестве основных частей фигуры, которые часто встречаются при решении задач по геометрии, выделяют боковые грани, роль которых играют параллелограммы. Пара многоугольников, о которых идет речь в определении призмы, являются основаниями геометрической фигуры.

В зависимости от вида многоугольника, расположенного в основании, формулируют наименование призмы, к примеру:

• если основание является треугольником, то призму называют треугольной;
• призма с четырехугольником в виде основания представляет собой четырехугольную призму;
• когда основание имеет вид пятиугольника, призма является пятиугольной.

Рассмотрим элементы призмы:

• основаниями называют пару граней в виде равных многоугольников, которые ориентированы параллельно друг другу;
• боковые грани представляют собой такие грани призмы, которые не являются основаниями;
• боковая поверхность объединяет боковые грани;
• полная поверхность объединяет основания и боковую поверхность;
• боковыми ребрами называют общие для граней с боков призмы стороны;
• высотой обозначают отрезок, с помощью которого соединены плоскости оснований геометрической фигуры и который является перпендикуляром к этим основаниям;
• диагональ представляет собой отрезок, с помощью которого соединены пара вершин геометрической фигуры, не имеющих общей грани;
• диагональная плоскость проходит через боковое ребро призмы и пересекает диагональ основания;
• диагональным сечением называют пересечение призмы с диагональной плоскостью, что сопровождается образованием параллелограмма, к примеру, ромба, прямоугольника, квадрата;
• перпендикулярное сечение представляет собой пересечение призмы с плоскостью, которая расположена перпендикулярно относительно бокового ребра этой призмы.

 

Источник: ru.wikipedia.org

Как найти объем призмы

При решении задач по физике и геометрии часто встречаются примеры на вычисление объема. Данное понятие перекликается с термином вместимости. Как правило, школьникам предлагается рассчитать, чему равен объем внутри резервуара, упаковочной коробки и подобные величины.

Объем какого-то тела зависит от следующих его параметров:

• форма;
• линейные размеры.

Ключевое свойство объема заключается в том, что это аддитивная величина. Понимать это утверждение следует, как равенство объема некого тела сумме объемов, которыми обладают непересекающиеся между собой фрагменты рассматриваемого тела.  

Главная формула

Запишем основную формулу, с помощью которой принято вычислять объем призмы при известных величинах высоты и площади основания рассматриваемой фигуры:

\(V=S\cdot h\)

В том случае, когда призма обладает правильным n-угольным основанием, для вычисления ее объема целесообразно воспользоваться несколько видоизмененным математическим соотношением:

\(V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}\)

Заметим, что s в данном случае является обозначением длина стороны многоугольника.

Записанные соотношения удобно применять в процессе решения задач по геометрии и физике. Это значительно упрощает расчета. Вместо громоздких и трудоемких измерений можно быстро найти объем по известным величинам, которые также можно измерить, вычислить по средствам других известных элементов геометрической фигуры, выразить из условия заданий. Рассмотрим несколько типичных примеров.

Решение

Воспользуемся уже известной формулой для вычисления объема. Она имеет следующий вид:

\(V=S\cdot h\)

Путем подстановки известных величин выполним преобразование стандартной формулы и вычислим искомый объем фигуры:

\(V = 14 \cdot 6 = 84\)

Ответ:  84 кв. см.

Решение

Воспользуемся рассмотренной ранее формулой для вычисления объема геометрической фигуры в виде призмы. Запишем справедливое соотношение:

\(V=S\cdot h\)

Заметим, что по условию задания известны величины объема и площади основания призмы. Перепишем уравнение таким образом, чтобы высота оказалась в левой части соотношения:

\(h = \frac{V}{S}\)

Подставим известные значения в полученное равенство, чтобы вычислить, чему равна высота рассматриваемой геометрической фигуры:

\(h = \frac{106}{10} = 10,6\)

Ответ: 10,6 см.

Решение

Воспользуемся закономерным соотношением, согласно которому справедливо равенство объемов, которые соответствуют погруженной конструкции и вытесненной воды из сосуда. Количество жидкости, которая была вытеснена, соответствует 2/25 от начального объема. Таким образом, можно записать следующее выражение:

\(V_дет = \frac{2}{25}\cdot 2300 = 184\)

Ответ: 184 кв. см.

Решение

С помощью уже знакомых теоретических закономерностей запишем уравнение для вычисления объема рассматриваемой призмы:

\(V = S \cdot h\)

Вернемся к условию задачи и подставим числовые значения в полученную формулу, чтобы получить искомый результат:

\(V = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot 5 = 120\)

Ответ: 120 кв. см.

Решение

Воспользуемся формулами, уже знакомыми из курса теории, а именно, соотношением, позволяющим определить объем фигуры в виде  призмы^

\(V = \frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}\)

Выразим из полученного соотношения высоту, которая определяется следующим образом:

\(Н = \frac {4V}{\sqrt{3}a^{2}}\)

Заметим некую зависимость между стороной основания и высотой. Если первую величину увеличить в 4 раза, то это приведет к увеличению знаменателя в полученном соотношении в 16 раз. В таком случае, исходя из условий задачи, можно наблюдать уменьшение значения высоты в 16 раз. Таким образом, уровень, на котором жидкость находится во второй емкости, составляет 5 см.

Ответ: 5 см.

Решение

Заметим, что в условии задания говориться об уменьшении элементов треугольника, являющегося основанием начальной призмы, таких как, высота и основание, в два раза. Таким образом, основание части, которая была отсечена от исходной фигуры, по площади меньше начального основания в 4 раза. При имеющихся условиях высота призмы не поменялась. Запишем уравнение для вычисления объема призмы через площадь ее основания и высоту:

\(V = S \cdot h\)

В результате можно прийти к выводу о том, что при стабильном значении высоты объем фигуры станет меньше в 4 раза по сравнению с объемом исходной призмы.

Ответ: 4.

Объем правильной треугольной призмы

В правильной призме боковые грани имеют вид прямоугольников, которые равны между собой. Объем правильной треугольной призмы принято вычислять через известные значения ребра и высоты рассматриваемой геометрической фигуры.

Источник: max-calc.ru

 

Источник: max-calc.ru

Формула для определения объема правильной треугольной призмы имеет следующий вид:

\(V=\frac{a^{2}}{4}\cdot h\sqrt{3}\)

В данном случае а является стороной граней призмы, то есть ребром, h обозначает высоту геометрической фигуры.

Объем правильной четырехугольной призмы

Источник: www.fxyz.ru

Рассчитать объем, которым обладает правильная четырехугольная призма, можно путем умножения площади квадрата, играющего роль основания призмы, и высоты этой геометрической фигуры.

Формула, которую используют для определения объема правильной четырехугольной призмы, имеет следующий вид:

\(V = a^{2} h\)

Объем правильной шестиугольной призмы

Рассмотрим следующий тип призмы, которую называют правильной шестиугольной. Изображение данной геометрической фигуры имеет следующий вид:

Источник: max-calc.ru

Объем, который занимает в пространстве фигура в виде правильной шестиугольной призмы, представляет собой физическую величину, характеризующую эту часть пространства. Вычислить данную характеристику можно путем умножения площади основания и высоты призмы.

 

Источник: max-calc.ru

Формула, которую целесообразно использовать в процессе решения задач на нахождение объема правильной шестиугольной призмы, имеет следующий вид:

\(V=\frac{3a^{2}}{2}\cdot h\sqrt{3}\)

В данном случае а является стороной граней призмы, то есть ребром, h обозначает высоту геометрической фигуры.