Нахождение аргумента и модуля комплексного числа

Модуль комплексного числа — это

При решении математических примеров нередко можно встретить комплексные числа. Подобные задачи удобно вычислять с помощью основных свойств данных числовых значений. Комплексные числа расширяют множество вещественных величин, представляют большой интерес для изучения понятий в математике и физике.

Сформулировать определение комплексного числа допустимо в формате следующей записи:

a + bi

Здесь а обозначает действительную часть, b служит мнимым компонентом, i представляет собой мнимую единицу, равную \(\sqrt{(-1)}\).

С целью корректной идентификации комплексного числа действительную часть обозначают Re(z), мнимую — Im(z). К примеру, в числовой записи 3 + 2i действительный компонент равен 3, а мнимый фрагмент числа составляет 2. Представление комплексных чисел предполагает использование множества точек, расположенных в пределах комплексной плоскости. Роль действительного элемента играет координата по оси абсцисс. Значение мнимой части отмечают на оси ординат.

Модуль комплексного числа применяют в процессе вычисления аргумента комплексного числового значения и выполнения действий с комплексными числами, включая суммирование, поиск разности, произведения, частного от деления. Свойства модуля комплексного числа:

• неотрицательное значение для какого-либо z без ограничений, то есть |z| ≥ 0;
• при нулевом значении комплексного числа его модуль аналогично соответствует нулю, то есть z = 0, то |z| = 0;
• справедливым является равенство модуля сопряженного комплексного числа и модуля начального числа, то есть при z = a + bi получим, что |z| = |a + bi| = |a – bi|;
• результат умножения пары комплексных чисел по модулю равен произведению их модулей, то есть при \(z_{1} = a + bi и z_{2} = c + di\) верно, что \(| z_{1} \cdot z_{2}| = | z_{1}| \cdot | z_{2}|;\)
• модуль деления пары комплексных числовых записей соответствует частному модуля делимого и модуля делителя, то есть при \(z_{1} = a + bi и z_{2} = c + di (z_{2}\neq 0)\)справедливо, что \(| z_{1} \div z_{1}| = | z_{1}| \div | z_{2}|\);
• для каких-либо произвольных комплексных чисел \(z_{1} и z_{2}\) верно неравенство треугольника, выраженное следующей формулой: \(| z_{1} + z_{2}| \leq | z_{1}| + | z_{2}|\).

Как найти

Модуль комплексного числа определяют, руководствуясь стандартным алгоритмом действий для исключения каких-либо ошибок в расчетах. Представим, что имеется некоторое комплексное числовое значение:

z = a+bi

С целью вычисления его модуля необходимо извлечь квадратный корень из результата сложения мнимой и действительной частей, возведенных во вторую степень. Математическое выражение для поиска искомой величины:

\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

Допустима ситуация, когда комплексное число записано с помощью только действительного компонента. Тогда для определения его модуля следует воспользоваться формулой:

|z| = |a|

Аргумент комплексного числа — это

В информационных источниках по теме комплексных чисел для измерения аргумента используют единицы в радианах или градусную меру. Значение данной величины имеет знак плюса или минуса. Если сформулировать комплексное число с помощью z = a + bi, где a и b обозначают действительные числа и являются координатами точки в комплексной плоскости, то для записи аргумента используют \(arg(z)\) или \(\theta\) .

В процессе расчета аргумента для некоторого комплексного числа применяют тригонометрические функции, а именно тангенс и синус. Искомую величину вычисляют для проведения дальнейших манипуляций с комплексными числами. Например, определение аргумента позволяет в дальнейшем вычислить величину угла, на который поворачивают вектор, определенный комплексным числом, по отношению к началу отсчета координат. Свойства аргумента комплексного числа:

• точность расчета аргумента для комплексного числового значения равна прибавлению или вычитанию какого-либо числа, кратного \(2 \pi\);
• аргумент умножения пары комплексных чисел вычисляют в процессе сложения аргументов этих чисел;
• аргумент числа, сопряженного для некоторого комплексного числа, соответствует противоположному аргументу этого числа;
• аргумент обратного числа для какого-либо комплексного числа, равен противоположному аргументу этого числа;
• если комплексное число составляет z, то аргумент его степени n рассчитывают как n-кратное аргументу z;
• когда z представляет собой комплексную числовую запись, то аргумент для его корня степени n определен в виде аргумента z, поделенного на n;
• если z и w являются комплексными числами, то аргумент суммирования таких чисел находят при сложении их аргументов;
• если z и w являются комплексными числами, то аргумент разности таких чисел находят при вычитании их аргументов соответственно;
• поиск аргумента частного от деления пары комплексных чисел заключается в вычитании их аргументов соответственно;
• аргумент обратного числа для комплексного числового значения соответствует противоположному аргументу z.

Как найти

При решении задач на вычисление аргумента комплексного числа принято условное обозначение \(\varphi = arg z\). Данный параметр определен полуплоскостью, где расположены а и b. Варианты вычислений:

• если а > 0, то \(\varphi = arctg \frac{b}{a}\);
• если а < 0, \(b \geq 0\), то \(\varphi = \pi + arctg \frac{b}{a}\);
• при отрицательных значениях а и b справедливо, что \(\varphi = -\pi + arctg \frac{b}{a}\);
• когда а имеет нулевое значение, а b > 0, \(\varphi = \frac{\pi}{2}\) ;
• когда а принимает нулевое значение, а b < 0, \(\varphi = -\frac{\pi}{2}\).

Главное значение

Аргумент для произвольного комплексного числа не имеет конкретно одно значение. Подобная характеристика рассматриваемой величины обусловлена отсутствием однозначности при указании величины угла \(\varphi\) для определенной точки. Дополнительно стоит отметить особенность тригонометрического формата представления комплексного числового значения и наличие специфического свойства периодических функций \(\sin\varphi и \cos\varphi\) .

Любой угол, который отличен от \(\arg z\) на слагаемое, кратное \(2\pi\) , записывают как \(\operatorname{Arg}z\) и определяют с помощью алгебраического соотношения:

\(\operatorname{Arg}z=\arg z+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots\)

В данном случае ключевым значением аргумента является \(\arg z\) при условии, что \(\arg z\leqslant\pi\).

Примеры решения задач

Решение

В первую очередь целесообразно выполнить расчет величины модуля. Комплексное число известно из условия задания, поэтому следует воспользоваться формулой из теоретической части материала. Путем подстановки числовых данных в математическое выражение рассчитаем искомое значение:

\(|z|=\sqrt{2^2+(-1)^2}= \sqrt{5}\)

Запишем следующее важное обстоятельство из условия задачи:

\(\operatorname{Re} z = 2 > 0\)

\(\operatorname{Im} z = -1 > 0\)

Сделаем вывод о расположении рассматриваемой точки в  4 четверти координатной плоскости. В таком случае аргумент допустимо вычислить с помощью следующего соотношения:

\(\operatorname{tg}\varphi=-\frac{1}{2}\)

Выполним необходимые вычисления и запишем итоговый ответ:

\(\varphi= \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right)\)

Ответ: \(|z|=\sqrt{5}, \varphi= \operatorname{arctg}\!\left(-\frac{1}{2}\right).\)

Решение

Рассмотрим первую пару числовых значений. Заметим, что \(z_1 и z_2\) можно идентифицировать как действительные. Таким образом, они размещены на действительной оси. Руководствуясь сформулированным выводом, найдем искомые величины:

\(\arg z_1=0\)

\(\operatorname{Arg}z_1=2k\pi\)

\(\arg z_2=\pi\)

\(\operatorname{Arg}z_2= \pi+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots\)

Далее перейдем к следующим числам из условия задания. Заметим, что \(z_3 и z_4\) принадлежат мнимому числовому множеству и отмечены на соответствующей мнимой оси. Исходя из этого утверждения, выполним вычисления:

\(\arg z_3=\frac{\pi}{2}\)

\(\operatorname{Arg}z_3=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)

\(\arg z_4=-\frac{\pi}{2}\)

\(\operatorname{Arg}z_4= -\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k=0,\pm1, \pm2,\ldots\)

Ответ: \( \arg z_1=0; \operatorname{Arg}z_1=2k\pi; \arg z_2=\pi; \operatorname{Arg}z_2= \pi+2k\pi,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots; \arg z_3=\frac{\pi}{2}; \operatorname{Arg}z_3=\frac{\pi}{2}+2k\pi; \arg z_4=-\frac{\pi}{2}; \operatorname{Arg}z_4= -\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k=0,\pm1, \pm2,\ldots\) 

Решение

Проанализируем условия задания. Перечисленные числовые значения имеют алгебраический вид. Вычислим, чему равен модуль рассматриваемых чисел, руководствуясь стандартным алгоритмом действий:

\(|z_1|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{2}\)

\(|z_2|=\sqrt{\cos^2 \frac{\pi}{5}+ \left(-\sin \frac{\pi}{5}\right)^2}=1\)

На следующем шаге целесообразно приступить к расчету аргументов. Начать следует с первой числовой записи:

\(\operatorname{tg}\varphi=1\)

Заметим, что:

\(\operatorname{Re} z_1 < 0\)

\(\operatorname{Im}z_1 < 0\)

Сделаем вывод о расположении точки в 3 четверти комплексной плоскости. На основании вышесказанного приступим к определению аргумента для первого числа:

\(\arg z_1=-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}\)

В следующем случае, применительно к \(z_2\), повторим действия в аналогичном порядке:

\(\operatorname{tg}\varphi=-\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}\)

Преобразуем полученное соотношение, чтобы упростить дальнейшие расчеты:

\(\operatorname{tg}\varphi= \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{5}\right)\)

Зафиксируем следующие условия:

\(\operatorname{Re}z_2 > 0\)

\(\operatorname{Im}z_2 < 0\)

Исходя из перечисленных утверждений, можно прийти к выводу о принадлежности рассматриваемой точки к 4 четверти плоскости. Тогда получим справедливое равенство:

\(\arg z_2=-\frac{\pi}{5}\)

Резюмируем проделанные вычисления для тригонометрической формы числовых записей \(z_1 и z_2\):\(z_1= \sqrt{2} \left[\cos\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\right];\\[5pt] z_2= \cos\left(-\frac{\pi}{5}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{\pi}{5}+ 2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots\)

Существует альтернативный способ решения в случае \(z_2\). С этой целью допустимо воспользоваться свойствами, характерными для функций в тригонометрии:

\(\cos\alpha=\cos(-\alpha)\)

\(-\sin\alpha=\sin(-\alpha)\)

Перейдем к следующему числовому значению. Заметим, что \(z_3\) представлено в виде умножения пары чисел. Найдем результат, перемножив его компоненты. В итоге сформулируем алгебраическую запись путем вычисления \(\operatorname{Re}z_3 и \operatorname{Im}z_3\). Запишем действия в логической последовательности:

\(z_3=\sin \frac{\pi}{5}+ i\cos \frac{\pi}{5}\)

Наиболее приемлемым методом расчетов служит применение тригонометрических соотношений для преобразования исходного выражения:

\(\sin\frac{\pi}{5}= \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)\)

\(\cos\frac{\pi}{5}= \sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right).\)

По примеру предыдущих вычислений можно определить искомые данные для третьего числа:

\(|z_3|=1\)

\(\arg z_3=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}= \frac{3\pi}{10}\)

Воспользуемся уже известным из теоретического материала подходом и сформулируем для выражения \(z_3=\sin \frac{\pi}{5}+ i\cos \frac{\pi}{5}\), представленного в алгебраическом формате, тригонометрическую запись:

\(z_3= \cos\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots\)

Ответ: \(z_1= \sqrt{2} \left[\cos\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)\right];\\[5pt] z_2= \cos\left(-\frac{\pi}{5}+2k\pi\right)+ i\sin\left(-\frac{\pi}{5}+ 2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots; z_3= \cos\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)+ i\sin\!\left(\frac{3\pi}{10}+2k\pi\right)\!,\quad k=0,\pm1,\pm2,\ldots.\)