Логарифм в степени числа: как решать

Логарифм в степени — это

Если an = b, то log или логарифм определяется как log от b при основании a, равном n.

an = b ⇒ logab = n

где:

a — основание,
b — аргумент,
a и b — положительные вещественные числа,
n — вещественное число.

23=8 log28=3

То же самое можно выразить в логарифмическом уравнении: log28=3. Здесь оба уравнения выражают одинаковые отношения между числами 2, 3 и 8. Ключевое различие заключается в том, что в экспоненциальной форме мощность 8 изолирована. В то время как в логарифмической форме изолирована экспонента 3. Проще говоря, логарифм учитывает количество повторений одного и того же множителя при многократном умножении. Например, 1000=10 × 10 × 10 × 10=103; то же самое в логарифмической форме мы можем выразить так: log101000=3. Логарифмы с основанием 10 обычно называются обыкновенными и выражаются просто как log n.

Таким образом, логарифм — это показатель или сила, на которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Математически логарифмы выражаются так: m — это логарифм n по основанию b, если bm = n, что также можно записать как m = logb n. Например, 43 = 64; следовательно, 3 — это логарифм 64 по основанию 4, или 3 = log464.

Свойства

Общими свойствами или правилами Log являются:

Правило произведения

Правило произведения логарифмов гласит, что если к произведению двух чисел применить логарифм, то оно будет равно сумме отдельных логарифмических значений чисел. Выражение можно представить в виде:

log_xab = log_xa + log_xb

Пример: loga10 = loga(5 ✕ 2) = loga5 + loga2

Правило частного

Правило частного гласит, что если применить логарифм к частному двух чисел, то он будет равен разности отдельных логарифмических значений чисел. Выражение можно представить в виде:

log_xa/b = log_xa - _xb

Пример: log_x2 = log_x(10/5) = log_x10 - _x5

Степень

Если аргумент возвести в некоторую степень, то решение логарифмического выражения будет равно мощности аргумента, умноженной на логарифмическое значение аргумента. Выражение можно представить в виде:

log_xa^b = b.log_xa

Равенство

Свойство равенства логарифмов гласит, что если:

log_xa = log_xb, то a = b

Правило замены основания логарифма

В логарифме основание может быть изменено следующим образом:

log_xa = log_ya/log_yb

log_xa.log_yb = log_ya

Логарифм отрицательного числа

Свойство гласит, что если логарифмическое выражение имеет вид -log_xa, то мы можем преобразовать его в положительную форму, взяв обратную величину аргумента или взяв обратную величину основания, как:

-log_xa = log_x(1/a) = log_1/xa

Также основание и аргумент можно поменять местами следующим образом:

log_xa = 1/log_ax

Возведение логарифма в степень

Перевод экспоненциальной формы в логарифмическую
Если число выражено в экспоненциальной форме, например an = b, где a — основание, n — экспонента, а b — результат экспоненты, то для преобразования его в логарифмическую форму основание a остается основанием в логарифме, результат b становится аргументом, а экспонента n — результатом.

an = b ⇒ logab = n

Перевод логарифма в экспоненциальную форму
Если выражение имеет логарифмическую форму, то мы можем преобразовать его в экспоненциальную форму, сделав аргумент результатом, а результат логарифма - экспонентой, при этом основание остается прежним. Это можно лучше понять из выражения, приведенного ниже:

logab = n ⇒ an = b

Формула логарифма степени

Логарифмические формулы:

Примеры решения задач

Решение:

log_a16 + 1/2 ✕ 2log_a15 - log_a2²

⇒ log_a16 + log_a15 - log_a4

⇒ log_a(16 ✕ 15) - log_a4

⇒ log_a(16 ✕ 15/4) = log_a60

Взяв логарифм обеих сторон этого уравнения, мы получим:
log(2^x)=log(64)

Запишем это как:
x log(2)=log(64)
Теперь мы можем переставить и решить для x:
x=log(64) / log(2) = 6

Решение:

Дано log_bx + log_b(x - 3) = log_b10

⇒ log_b(x)(x - 3) = log_b10

⇒ (x)(x - 3) = 10

⇒ x2 - 3x - 10 = 0

⇒ x2 - 5x + 2x - 10 = 0

⇒ x(x - 5) + 2(x - 5)

⇒ (x - 5)(x + 2) = 0

⇒ x = 5, -2

Решение:

log₂3 - log₂48

⇒ log₂(3/48)

⇒ log₂(1/16)

⇒ log₂(-16)

⇒ -log₂2⁴

⇒ -4log₂2 = -4