Решение линейных уравнений с одной переменной

Что такое линейное уравнение с одной переменной

Равенства, в том числе, в составе системы, могут быть справедливыми и неверными. С целью проверки стоит лишь посчитать значения выражений, которые расположены по обе стороны от знака равенства. Когда результаты совпадают, стоит сделать вывод о том, что равенство верно. В случае получения по итогам вычислений разных чисел допустимо заключить, что равенство не является верным.

С другой стороны, уравнение, которое содержит переменные, невозможно так быстро посчитать. Значение частей в уравнении зависит от того, какое значение примет неизвестная и несколько переменных. Путем подстановки численного значения по стандартному алгоритму на место переменной уравнение упрощают. Получив стандартное равенство, его справедливость достаточно просто оценить.

Заметим, что существуют некие значения для переменной, при которых равенство становится справедливым. Кроме того, имеются такие значения неизвестной, которые обращают выражение в неверное равенство. Исходя из этой мысли, сформулируем понятие корня уравнения.

Таким образом, какие-то уравнения несложно решить, а у прочих может не оказаться подходящих к условиям корней. Минимальным уровнем сложности обладают линейные уравнения. Расшифруем этот термин.

Нельзя отнести в линейным следующие уравнения:

\({х}^{2} = 0\)

\(\frac{5}{х} = 1\)

\(|х| = 64\)

Свойства уравнений с одной переменной

Перечислим основные свойства, характерные для уравнений, записанных в виде линейных:

1. Допустимо выполнять перенос какого-то из слагаемых в противоположную часть уравнения, заменяя его знак на противоположный, то есть минус меняют на плюс, а плюс меняют на минус. Например: x + 2 = 0 \(\Rightarrow x = -2\).
2. Обе части уравнения допустимо увеличить на какое-либо число, что не приведет к изменению смысла рассматриваемого уравнения. К примеру: x + 2 + (-2) = 0 + (-2), x + 0 = 0 - 2 \(\Rightarrow x = -2\).
3. Обе части уравнения допустимо увеличить или уменьшить в какое-то число раз, отличное от нуля, что не приведет к изменению смысла рассматриваемого уравнения. К примеру: x + 2 = 0 \(\Rightarrow (x + 2)\cdot 4 = 0 \cdot 4, 4x + 8 = 0\).

Решение уравнений с одной переменной

Известно, что с линейными уравнениями можно совершать простейшие действия. Существует несколько видов элементарных преобразований для данного типа уравнений. Перечислим их:

• сложение обеих частей равенства с одинаковыми выражениями;
• умножение обеих частей равенства на одинаковые выражения, значения которых не равны нулю;
• перенос правой части равенства влево от знака равенства, а левой части — вправо.

Заметим, что перечисленные манипуляции не оказывают влияния на значения корней уравнения. С другой стороны, подобные действия в результате приводят к значительному упрощению записи, что позволяет быстро выполнить дальнейшие вычисления и решить уравнение. По итогам преобразований получается запись следующего вида:

х = а.

В данном случае а играет роль какого-то числового выражения, не содержащего переменную.

Воспользуемся свойством переноса и переместим b в правую часть. Далее допустимо выполнить деление обеих частей равенства на а:

ax + b = 0

ax = -b

\(x = -\frac{b}{a}\)

Второй способ:

ax + b - b = 0 – b

ax = -b

В том случае, когда а не имеет нулевого значения, допустимо выполнить деление:

ax = -b

\(\frac{ax}{a} = -\frac{b}{a} x = -\frac{b}{a}\)

По аналогии с предыдущим примером выполним необходимые преобразования, а именно, деление правой и левой части уравнения на число 5:

5x = 10

x = 2

Выполним действия по аналогии с предыдущими выражениями:

\(\frac{-8x}{-8} = \frac{48}{-8}\)

 x = -6

Заметим, что в первом уравнении решения отсутствуют, так как х может принимать любые значения, которые при умножении на 0 не дают в результате 10. Таким образом, сделаем вывод об отсутствии корней. Во втором выражении, напротив, за х можно принять абсолютно любое число, так как при умножении на 0 получится 0.

Сформулируем несколько ключевых принципов решений подобных уравнений, которые записаны в виде ax+b=0:

• при ненулевом значении а у линейного уравнения есть единственный корень, то есть \(x = -{b}/{a}\)x ;
• когда а имеет нулевое значение, а b отлично от нуля, линейное уравнение, записанное выше, лишено каких-либо корней;
• при таких а и b, которые равны нулю, корнями уравнения служат абсолютно все числа.

Уменьшим обе части уравнения в 3x раза и прибавим 2:

\(7x – 2 = 6 + 3x-3x + 2\)

4x = 8

Поделим правую и левую части уравнения на 4:

4x = 8:4

x = 2

Примеры решения задач

Решение

Начнем с того, что определим тип этого уравнения. Это линейное уравнение. Воспользуемся простыми преобразованиями и вычислим неизвестное:

6x + 72 = 0

6x = -72

\(x = -\frac{72}{6}\)

x = -12

Ответ: х = -12

Решение

Заметим, что в данном линейном уравнении присутствуют скобки. Избавимся от них таким образом:

5x + 45 = 5x + 45

Перенесем выражения с неизвестной в одну часть:

5x + 45 = 5x + 45

5x - 5x = 45 – 45

\(0\cdot x = 0\)

Ответ: линейное уравнение обладает бесконечным количеством решений.

Решение

Заметим, что по аналогичному принципу, как и в предыдущем задании, здесь целесообразно избавиться от скобок. В результате получим:

(6 – x) + (12 + x) - (3 - 2x) = 15

6 – x + 12 + x – 3 + 2x = 15

2x + 15 = 15

На следующем этапе можно приступить к элементарным действиям, чтобы преобразовать полученное уравнение:

2x = 15 – 15

2x = 0

x = 0

Ответ: x = 0

Решение

Введем следующее обозначение стороны треугольника:

АВ = х

Вспомним формулу, по которой рассчитывают периметр треугольника:

Р = АВ + АС + ВС = х + 2х + (2х + 3) = 43

Найдем переменную х:

5х + 3 = 43

5х = 40

х = 8

Исходя из условия задания, вычислим остальные грани геометрической фигуры:

АВ = х = 8

АС = 2х = 16

ВС = 2х + 3 = 19

Ответ: 8, 16, 19.

Решение

Введем обозначение х для расстояния, которое проходит поезд. Обратимся к условиям задания и запишем уравнение:

\(\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = \frac{1}{2} \times 420 \iff 7x-6x = 210 \iff x = 210\)

Ответ: 210.