Решение линейных уравнений с одной переменной
Что такое линейное уравнение с одной переменной
Уравнением называют какое-либо выражение минимум с одной переменной, части которого разделены знаком равенства.
Рассмотрим несколько наглядных примеров.
Пусть имеется выражение следующего вида: 5 – 3 = 2
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В данном случае оно не является уравнением из-за отсутствия переменной. Другое подобное выражение (неверное) также нельзя отнести к числу уравнений: 5+3=2 Уравнениями являются следующие выражения, в состав которых входит переменная х: 5-x=2 5+3x=2
Равенства, в том числе, в составе системы, могут быть справедливыми и неверными. С целью проверки стоит лишь посчитать значения выражений, которые расположены по обе стороны от знака равенства. Когда результаты совпадают, стоит сделать вывод о том, что равенство верно. В случае получения по итогам вычислений разных чисел допустимо заключить, что равенство не является верным.
С другой стороны, уравнение, которое содержит переменные, невозможно так быстро посчитать. Значение частей в уравнении зависит от того, какое значение примет неизвестная и несколько переменных. Путем подстановки численного значения по стандартному алгоритму на место переменной уравнение упрощают. Получив стандартное равенство, его справедливость достаточно просто оценить.
Представим, что имеется некое уравнение: х + 5 = 8
Когда х = 10, выражение примет следующий вид: 10 + 5 = 8
Сделаем вывод о том, что равенство не является верным при таком значении неизвестной. Попробуем подставить в выражение х = 3: 3 + 5 = 8 В результате получилось верное равенство.
Заметим, что существуют некие значения для переменной, при которых равенство становится справедливым. Кроме того, имеются такие значения неизвестной, которые обращают выражение в неверное равенство. Исходя из этой мысли, сформулируем понятие корня уравнения.
Корень уравнения является значением неизвестной, которое обращает рассматриваемое выражение в справедливое числовое равенство.
Решить уравнение — обозначает поиск всех корней рассматриваемого уравнения, либо приведение доказательств об отсутствии таковых корней.
Таким образом, какие-то уравнения несложно решить, а у прочих может не оказаться подходящих к условиям корней. Минимальным уровнем сложности обладают линейные уравнения. Расшифруем этот термин.
Линейное уравнение представляет собой уравнение, которое представлено в следующем виде: ах + b = 0, a и b являются числами, а х играет роль переменной.
К линейным относят также такие уравнения, которые с помощью метода простых преобразований можно записать в виде ax+b=0.
Запишем линейные уравнения: х + 5 = 18
2х = 8 7 - (х - 3) = х – 6
Нельзя отнести в линейным следующие уравнения:
\({х}^{2} = 0\)
\(\frac{5}{х} = 1\)
\(|х| = 64\)
Свойства уравнений с одной переменной
Перечислим основные свойства, характерные для уравнений, записанных в виде линейных:
- Допустимо выполнять перенос какого-то из слагаемых в противоположную часть уравнения, заменяя его знак на противоположный, то есть минус меняют на плюс, а плюс меняют на минус. Например: x + 2 = 0 \(\Rightarrow x = -2\).
- Обе части уравнения допустимо увеличить на какое-либо число, что не приведет к изменению смысла рассматриваемого уравнения. К примеру: x + 2 + (-2) = 0 + (-2), x + 0 = 0 - 2 \(\Rightarrow x = -2\).
- Обе части уравнения допустимо увеличить или уменьшить в какое-то число раз, отличное от нуля, что не приведет к изменению смысла рассматриваемого уравнения. К примеру: x + 2 = 0 \(\Rightarrow (x + 2)\cdot 4 = 0 \cdot 4, 4x + 8 = 0\).
Решение уравнений с одной переменной
Известно, что с линейными уравнениями можно совершать простейшие действия. Существует несколько видов элементарных преобразований для данного типа уравнений. Перечислим их:
- сложение обеих частей равенства с одинаковыми выражениями;
- умножение обеих частей равенства на одинаковые выражения, значения которых не равны нулю;
- перенос правой части равенства влево от знака равенства, а левой части — вправо.
Заметим, что перечисленные манипуляции не оказывают влияния на значения корней уравнения. С другой стороны, подобные действия в результате приводят к значительному упрощению записи, что позволяет быстро выполнить дальнейшие вычисления и решить уравнение. По итогам преобразований получается запись следующего вида:
х = а.
В данном случае а играет роль какого-то числового выражения, не содержащего переменную.
Представим, что имеется некое уравнение: х + 5 = 18 Заметим, что это уравнение является линейным по определению. Вспомним свойства подобных уравнений. Прибавим к левой и правой части выражения число (-5), получим: х + 5 – 5 = 18 – 5 х = 13 В результате получен корень линейного уравнения со значением 13. Заметим, что выражение х = 18 – 5 можно сформулировать как перенос слагаемого слева направо.
Рассмотрим следующее уравнение, которое также является линейным: ax + b = 0
Воспользуемся свойством переноса и переместим b в правую часть. Далее допустимо выполнить деление обеих частей равенства на а:
ax + b = 0
ax = -b
\(x = -\frac{b}{a}\)
Второй способ:
ax + b - b = 0 – b
ax = -b
В том случае, когда а не имеет нулевого значения, допустимо выполнить деление:
ax = -b
\(\frac{ax}{a} = -\frac{b}{a} x = -\frac{b}{a}\)
Представим, что нужно вычислить, чему равно х: 5x = 10
По аналогии с предыдущим примером выполним необходимые преобразования, а именно, деление правой и левой части уравнения на число 5:
5x = 10
x = 2
Типичный пример линейного уравнения, которое легко решить с помощью элементарных преобразований: -8x = 48
Выполним действия по аналогии с предыдущими выражениями:
\(\frac{-8x}{-8} = \frac{48}{-8}\)
x = -6
Рассмотрим следующие примеры, которые отличаются повышенным уровнем сложности:
\(0\cdot x = 10\)
\(0\cdot x = 0\)
Заметим, что в первом уравнении решения отсутствуют, так как х может принимать любые значения, которые при умножении на 0 не дают в результате 10. Таким образом, сделаем вывод об отсутствии корней. Во втором выражении, напротив, за х можно принять абсолютно любое число, так как при умножении на 0 получится 0.
Сформулируем несколько ключевых принципов решений подобных уравнений, которые записаны в виде ax+b=0:
- при ненулевом значении а у линейного уравнения есть единственный корень, то есть \(x = -{b}/{a}\)x ;
- когда а имеет нулевое значение, а b отлично от нуля, линейное уравнение, записанное выше, лишено каких-либо корней;
- при таких а и b, которые равны нулю, корнями уравнения служат абсолютно все числа.
В процессе решения линейных уравнений, которые записаны в формате ax+b=0, необходимо помнить о недопустимости деления на ноль.
Имеется некое уравнение, которое необходимо решить: 7x– 2 = 6 + 3x
Уменьшим обе части уравнения в 3x раза и прибавим 2:
\(7x – 2 = 6 + 3x-3x + 2\)
4x = 8
Поделим правую и левую части уравнения на 4:
4x = 8:4
x = 2
Примеры решения задач
Требуется найти корни следующего уравнения: 6x + 72 = 0
Решение
Начнем с того, что определим тип этого уравнения. Это линейное уравнение. Воспользуемся простыми преобразованиями и вычислим неизвестное:
6x + 72 = 0
6x = -72
\(x = -\frac{72}{6}\)
x = -12
Ответ: х = -12
Нужно найти решение для следующего уравнения: 5(x + 9) = 5x + 45
Решение
Заметим, что в данном линейном уравнении присутствуют скобки. Избавимся от них таким образом:
5x + 45 = 5x + 45
Перенесем выражения с неизвестной в одну часть:
5x + 45 = 5x + 45
5x - 5x = 45 – 45
\(0\cdot x = 0\)
Ответ: линейное уравнение обладает бесконечным количеством решений.
Дано линейное уравнение, корни которого требуется вычислить: (6 - x) + (12 + x) - (3 - 2x) = 15
Решение
Заметим, что по аналогичному принципу, как и в предыдущем задании, здесь целесообразно избавиться от скобок. В результате получим:
(6 – x) + (12 + x) - (3 - 2x) = 15
6 – x + 12 + x – 3 + 2x = 15
2x + 15 = 15
На следующем этапе можно приступить к элементарным действиям, чтобы преобразовать полученное уравнение:
2x = 15 – 15
2x = 0
x = 0
Ответ: x = 0
Имеется некий треугольник, в котором одна грань превышает размер второй в 2 раза и меньше по сравнению с третьей стороной на 3 см. Зная, что периметр рассматриваемой геометрической фигуры составляет 43 см, требуется вычислить величину каждой из ее сторон.
Решение
Введем следующее обозначение стороны треугольника:
АВ = х
Вспомним формулу, по которой рассчитывают периметр треугольника:
Р = АВ + АС + ВС = х + 2х + (2х + 3) = 43
Найдем переменную х:
5х + 3 = 43
5х = 40
х = 8
Исходя из условия задания, вычислим остальные грани геометрической фигуры:
АВ = х = 8
АС = 2х = 16
ВС = 2х + 3 = 19
Ответ: 8, 16, 19.
Железнодорожные станции удалены друг от друга. Это расстояние поезд преодолевает со скоростью 70 км/ч на 30 минут быстрее, чем со скоростью 60 км/ч. Необходимо вычислить расстояние.
Решение
Введем обозначение х для расстояния, которое проходит поезд. Обратимся к условиям задания и запишем уравнение:
\(\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{x}{60} - \frac{x}{70} = \frac{1}{2} \times 420 \iff 7x-6x = 210 \iff x = 210\)
Ответ: 210.
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так