Как вычисляются координаты вектора

Что такое координаты вектора

Предусмотрено стандартизированное обозначение вектора. К примеру, если в точке А какой-то вектор берет свое начало, а в точке В — заканчивается, то его записывают таким образом: \(\overrightarrow{AB}\).  Допустимо использовать и сокращенный вариант, к примеру: \(\overrightarrow{a}\).

Источник: shkolkovo.net

В некоторых случаях уместно сформулировать понятие вектора как передвижение из начальной точки А в конечную точку В. Согласно ранее записанному определению, вектор характеризуется некой длиной. К примеру, для \(\overrightarrow{AB}\) длиной, либо модулем, является протяженность отрезка АВ. Данное утверждение допустимо сформулировать в виде математического соотношения:

\(|\overrightarrow{AB}|=AB\)

Школьникам и студентам часто приходится иметь дело с векторами. С таким понятием нередко встречаются учащиеся в процессе решения контрольных и самостоятельных работ по геометрии и физике. Как правило, рассматривается декартова координатная система, ориентируясь на которую можно вычислить координаты соответствующего отрезка с конкретным направлением. Процедура заключается в разложении заданного направленного отрезка по базисным векторам.

Принцип основан на фундаментальных знаниях геометрии. В результате получается интерпретировать это действие в виде векторной проекции относительно осей координат. При наличии данных о координатах, которым соответствуют точки начала и конца вектора, представляется возможным рассчитать непосредственно координаты искомого вектора. Процедура подразумевает расчет разности между координатами точки, где вектор заканчивается, и координатами точки, в которой он начинается.

Рассматриваемое действие по идентификации координат вектора целесообразно записать в общей форме таким образом:

\(\overrightarrow {AB}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_{z})\)

В качестве базиса принято рассматривать орты координат. Для их обозначения используют \({\vec {k}}{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}\), которые соответствуют осям x,y,z. При таких условиях \({\vec {a}}\) допустимо выразить с помощью следующего математического соотношения:

\({\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}\)

Заметим, что какое-либо свойство в науке геометрии допустимо сформулировать с помощью координат. В результате оно приобретает алгебраическую форму, что позволяет значительно упростить решение тех или иных задач. С другой стороны, несколько некорректно применять обратный принцип действий.

 

Источник: ru.wikipedia.org

В решении задач уже привычно использовать различные закономерности, с помощью которых можно значительно упростить вычисления. В ходе изучения темы координат вектора можно также выделить несколько полезных признаков. Перечислим свойства направленных отрезков:

1. В рамках общей координатной системы какие-либо векторы, которые идентичны друг другу, обладают аналогичными координатами.
2. Если вектора являются коллинеарными, то их координаты пропорциональны. При этом рассматриваемые вектора не должны обладать нулевым значением.
3. Протяженность произвольного вектора во второй степени соответствует результату сложения координат данного вектора, возведенных во вторую степень.
4. Произведение некого вектора и числа из множества действительных подразумевает произведение каждой из координат заданного вектора на это число.
5. Если требуется суммировать вектора, то следует сложить их координаты.
6. Вычисление скалярного произведения пары векторов заключается в сложении произведений координат, которые принадлежат рассматриваемым векторам.

Как найти координаты вектора: формулы

Зная координаты вектора, можно производить с ними разнообразные вычисления. Справедливо и обратное, то есть при известных характеристиках вектора допустимо рассчитать, чему равны его координаты. Рассмотрим ряд полезных соотношений, которые значительно упростят процесс решения заданий на поиск координаты векторов.  Начнем с простейшего выражения, позволяющего достаточно быстро определить координаты вектора при известных идентификаторах точек начала и конца:

\(\overline{AB}=\left(x_{2} -x_{1} ;\; y_{2} -y_{1} \right)\)

\(\overline{AB}=\left(b_{1} -a_{1} ;\; b_{2} -a_{2} ;\; b_{3} -a_{3} \right)\)

Воспользуемся уже знакомым математическим выражением и найдем ответ к этой задаче:

\(\overline{AB}=\left(0-3;\; 2-\left(-1\right)\right)=\left(-3;\; 3\right)\)

Таким образом:

\(\overline{AB}=\left(-3;\; 3\right)\)

Координаты вектора можно использовать при вычислении протяженности направленного отрезка. Представим, что имеется некий вектор \(\bar{a}=\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)\)В таком случае справедливым является следующее равенство:

\(\left|\bar{a}\right|=\sqrt{a_{1}^{2} +a_{2}^{2} +a_{2}^{3} }\)

Заметим, что данное соотношение допустимо использовать и тогда, когда требуется рассчитать координаты направленного отрезка.

Воспользуемся ранее изученной формулой, с помощью которой не составит труда определить искомую величину:

\(\left|\bar{a}\right|=\sqrt{3^{2} +4^{2} } =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} =5\)

Таким образом:

\(\left|\bar{a}\right|=5\)

Другим вариантом применения координат направленного отрезка является вычисления угла, который расположен между парой векторов. В данном случае целесообразно воспользоваться следующим справедливым равенством:

\(\cos \varphi =\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|}\)

С целью лучше разобраться в таком достаточно сложном соотношении величин попробуем решить типичный пример. Это поможет наглядно продемонстрировать применение уравнения на практике.

Запишем выражение для расчета косинуса искомого угла:

\(\cos \varphi =\frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|} \Rightarrow \varphi =\arccos \frac{\left(\bar{a},\; \bar{b}\right)}{\left|\bar{a}\right|\cdot \left|\bar{b}\right|}\)

В результате получим следующее соотношение:

\(\varphi =\arccos \frac{1\cdot 0+1\cdot 1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } \cdot \sqrt{0^{2} +1^{2} } } =\arccos \frac{0+1}{\sqrt{1+1} \cdot \sqrt{0+1} } =\arccos \frac{1}{\sqrt{2} } = \arccos \frac{\sqrt{2} }{2} =\frac{\pi }{4}\)

Таким образом:

\(\varphi =\frac{\pi }{4}\)

Примеры решения задач

Источник: ege-study.ru

Решение

Кубическая форма данной в задаче фигуры позволяет использовать в расчетах прямоугольную координатную систему, что очень удобно в процессе расчетов. Так как от величины ребер не зависит ответ к этому заданию, допустимо предположить, что она составляет единицу.

Заметим, что прямые, обозначенные за АЕ и ВК являются скрещивающимися. С целью вычисления величины угла, который образуют эти прямые, необходимо знать координаты:

A(0;0;0)

B(1;0;0)

\(E(\frac{1}{2};0;1)\)

\(K(1;\frac{1}{2};1)\)

Затем можно записать координаты рассматриваемых направленных отрезков:

\(\vec{AE}\left (\frac{1}{2};0;1 \right )\)

\(\vec{BK}\left (0;\frac{1}{2};1 \right )\)

С помощью уже знакомой из теоретического раздела формулы не составит труда вычислить искомое значение косинуса угла:

\(\cos\phi = \frac{\overrightarrow{АЕ}\cdot \overrightarrow{ВК}}{\mid\overrightarrow{АЕ}\mid\cdot \mid\overrightarrow{ВК}\mid} = \frac{\frac{1}{2}\cdot 0 + 0\cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1}{\sqrt{\frac{1}{2}^{2} + 0^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1 \cdot 4}{5} = 0,8\)

Ответ: 0,8.

Источник: ege-study.ru

Решение

В первую очередь требуется определиться с местом, где начинается координатная система. Целесообразно обозначить за начало центральную точку, расположенную в основании заданной геометрической фигуры. Тогда оси ОХ и ОУ будут расположены параллельно относительно сторон этого основания. Вычислим, чему равны координаты точек А, В и С:

\(A\left ( \frac{1}{2};-\frac{1}{2};0 \right )\)

\(B\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right )\)

\(C\left ( -\frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right )\)

Так как треугольник AOS имеет прямоугольный угол, справедливо следующее соотношение:

\(OS=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Вершина пирамиды имеет координаты, которые достаточно просто определить:

\(S\left ( 0;0;\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\)

Затем с помощью уже известных геометрических закономерностей рассчитаем координаты, соответствующие Е и К:

\(E\left ( \frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{\sqrt{2}}{4} \right )\)

\(K\left ( -\frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{\sqrt{2}}{4} \right )\)

Зная координаты точек, допустимо вычислить координаты направленных отрезков:

\(\overrightarrow{AE}\left ( -\frac{1}{4};\frac{3}{4};\frac{\sqrt{2}}{4} \right )\)

\(\overrightarrow{BK}\left ( -\frac{3}{4};\frac{1}{4};\frac{\sqrt{2}}{4} \right )\)

В результате получим, что косинус угла, который расположен между этими векторами, составляет:

\(cos\varphi =\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BK}}{\left |\overrightarrow{AE} \right |\cdot \left |\overrightarrow{BK} \right |}=\frac{1}{6}\)

Ответ: \(\frac{1}{6}\)

Источник: ege-study.ru

Решение

Предположим, что точка А совпадает с началом координатной системы. Тогда ВС расположена параллельно по отношению к оси абсцисс. Таким образом, ось ординат играет роль перпендикуляра. Отрезок АН принадлежит оси ординат и одновременно является высотой треугольника АВС. Перечислим точки с координатами:

\(A(0;0;0)\)

\(A_{1}(0;0;1)\)

\(B(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0)\)

\(B_{1}(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1)\)

\(C_{1}(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};1)\)

Исходя из того, что точка D делит на две равные части A1B1, запишем следующее:

\(D(\frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{4};1)\)

Вычислим, чему равны координаты векторов \(\overrightarrow{AD}\)  и \(\overrightarrow{BC}_{1}\), что позволит быстро определить угол, сторонами которого эти направленные отрезки являются:

\(\overrightarrow{AD}(\frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{4};1)\)

\(\overrightarrow{BC_{1}}(-1;0;1)\)

\(cos\varphi =\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC_{1}}}{\left |\overrightarrow{AD} \right |\cdot \left |\overrightarrow{BC_{1}} \right |}=\frac{3}{2\sqrt{10}}\)

Ответ: \(\frac{3}{2\sqrt{10}}\)

Решение

Воспользуемся самым простым соотношением, с помощью которого легко вычислить координаты направленного отрезка при известных аналогичных характеристиках его точек:

\(\overline{AB}=\left(2-\left(-1\right)\, ;\; -3-2\right)=\left(3;\; -5\right)\)

Ответ: \(\overline{AB}=\left(3;\; -5\right)\)

Решение

Предположим, что координаты искомой точки на плоскости соответствуют следующим значениям:

\(A\left(a_{1} ;\; a_{2} ;\; a_{3} \right)\)

В таком случае справедливым является следующее математическое соотношение:

\(\overline{AB}=\left(-1-a_{1} ;\; 6-a_{2} ;\; 1-a_{3} \right)=\left(0;\; -4;\; 3\right)\)

Заметим, что при равенстве пары векторов их координаты также совпадают между собой. В результате можно посчитать координаты таким образом:

\([-1-a_{1} =0\Rightarrow a_{1} =-1\)

\(6-a_{2} =-4\Rightarrow a_{2} =10\)

\(1-a_{3} =3\Rightarrow a_{3} =-2\)

Сформулируем окончательный ответ:

\(A\left(-1;\; 10;\; -2\right)\)

Ответ: \(A\left(-1;\; 10;\; -2\right)\)