Как найти касательную к окружности

Касательная к окружности — это

Если расстояние между центром окружности и прямой равно радиусу окружности, то данная прямая будет касаться окружности.

Существует ровно две касательные к окружности из точки вне окружности. Мы можем провести только одну касательную к окружности через точку, лежащую на окружности. Касательная не может быть проведена из точки, лежащей внутри окружности.

Угол между касательной и радиусом равен 90 градусам. Касательные, пересекающиеся в одной точке, имеют равную длину.

Источник: thirdspacelearning.com

На диаграмме 1 касательная пересекает окружность в точке A, которая перпендикулярна (90 градусов к) радиусу окружности в этой точке (точка касания находится в точке A).

На диаграмме 2 две касательные пересекают окружность в двух разных точках (B и
D) и пересекаются в точке A. Если точки B и D соединены хордой, AB и AD имеют одинаковую длину, поэтому ABD — равнобедренный треугольник. Если точки B и D соединяются с центром окружности C, они образуют воздушного змея ABCD.

Свойства

1. Это линия, которая никогда не входит во внутреннюю часть окружности.
2. Касается кривой только в одной точке.
3. Касается радиуса окружности в точке касания под прямым углом.
4. Помимо перечисленных свойств, касательная к окружности имеет математические теоремы, которые используются при выполнении основных вычислений в геометрии.

Если частица или объект движется по круговой траектории, а мы резко останавливаем его движение, то он будет двигаться в направлении, касательном к круговой траектории. То есть направление скорости будет касательным к круговой траектории.

Окружность и касательная к окружности могут применяться в нашей повседневной жизни, например, в строительстве, архитектуре и машиностроении.
Пример из реальной жизни: Когда колеса велосипеда катятся по дороге, линию дороги можно сравнить с касательной к колесу в каждой точке.

Теорема

Теорема 1: о радиусе касательной

Касательная составляет прямой угол с радиусом окружности в точке касания.

(В точке касания касательная перпендикулярна радиусу).

Источник: thirdspacelearning.com

Доказать: Радиус OP перпендикулярен касательной AB.

Доказательство:

Точки A и B лежат вне окружности.

Таким образом, мы можем написать:

OA > OP

OB > OP

Таким образом, для любой такой точки на прямой AB мы получим то же самое соотношение.

Это означает, что OP — кратчайшее расстояние между прямой AB и точкой O.

Таким образом, OP⊥AB

∠OPA = ∠OPB = 90°.

Теорема 2: о двух касательных

Длины двух касательных, проведенных из общей внешней точки к окружности, равны. Эти две касательные образуют равные углы в центре. Прямая, соединяющая внешнюю точку с центром, разделит угол между касательными на два равных угла.

Источник: thirdspacelearning.com

Рассмотрим две касательные линии AC и AB, проведенные из внешней точки A, как показано на рисунке, тогда:

AC = AB

Две касательные к центру окружности образуют равные углы. ∠AOC = ∠AOB

Линия, соединяющая внешнюю точку с центром, разделит угол между касательными на два равных угла. ∠OAC = ∠OAB

Построение

1. Шаг 1: Нарисуйте окружность нужного радиуса с центром O.

2. Шаг 2: Соедините O и любую точку P на окружности. OP — радиус.

3. Шаг 3: Проведите линию, перпендикулярную радиусу OP, через точку P. Эта линия будет касательной к окружности в точке P.

Вне окружности:

1. Шаг 1: Рассмотрим точку A вне окружности с центром O.
2. Шаг 2: Соедините точки A и O, проведите биссектрису AO. Пусть P — средняя точка AO.
3. Шаг 3: Начертите окружность с центром P и радиусом PO. Эта окружность пересечется в двух точках B и C на окружности с центром O.
4. Шаг 4: Соедините точку A с B и C.

Как найти: формула

Рассмотрим окружность с P — любой внешней точкой, PQ — касательная, а AB — секущая, проведенная из внешней точки P.

Здесь PA — отрезок внешней секущей.

Формула для отношения касательной к секущей имеет вид:

PQ² = PA x PB.

Общее уравнение

Если уравнение окружности имеет вид x² +y² = r², а из любой внешней точки (a, b) проведена касательная, то общее уравнение касательной к окружности имеет вид:

xa + yb = r².

Если общее уравнение прямой равно y=mx+c, а уравнение окружности равно x² +y² = r², тогда общее уравнение касательной к окружности: y = mx ± r√1+m2.

Уравнение касательной к окружности x² +y² = a² в точке (a cos θ, a sin θ ) это x cos θ+y sin θ= a.

Касательная к уравнению окружности x²+ y²+2gx+2fy+c =0 at (x₁, y₁) is xx₁+yy₁+g(x+x₁)+f(y +y₁)+c =0.

Примеры решения задач

Источник: study.com

Определите, какой длины не хватает на рисунке. Глядя на рисунок, мы знаем, что длина BD равна 46 единицам. Длина CD равна x² - 3 единиц. Мы знаем, что длина BD равна длине CD, поэтому CD должен быть равен 46 единицам. Это означает, что мы можем установить x² - 3 равным 46 и решить для x.

Так как BD и CD имеют равные длины, мы можем поставить их равными друг другу и решить для x:

x² - 3 = 46
Прибавьте 3 с обеих сторон.

x² = 49
Возьмите квадратный корень из обеих сторон.

x = 7
Итак, длина CD равна 46 единицам при x = 7.

Мы знаем, что AB является касательной к окружности в точке A.
Поскольку касательная AB перпендикулярна радиусу OA,
ΔOAB - прямоугольный треугольник, а OB - гипотенуза ΔOAB.
Используя теорему Пифагора:

OB² = OA² + AB²

AB² = √OB² - √OA²

AB = OB² - OA² = √10² - √6² = √64 = 8 см.

Длина AB равна 8 см.

Источник: study.com

Определим, какой длины не хватает. Рассматривая рисунок, можно выделить два треугольника: треугольник ABD и треугольник ACD. Согласно теореме о двух касательных, эти треугольники имеют одинаковые длины. Сказано, что AD не хватает, поэтому ищем именно его.

Найдем недостающую длину. Чтобы найти AD, применим теорему Пифагора к треугольнику ACD. В этом треугольнике AC и CD — ноги, поэтому AD — гипотенуза. Таким образом, мы оцениваем c в теореме Пифагора: 8² + 15² = c².

64 + 225 = c²

289 = c²

c = 17

Таким образом, длина AD составляет 17 см.

Дано:

PQ и PR - касательные к окружности с центром O.

Мы знаем, что радиус перпендикулярен касательной к окружности.

Таким образом, OQ перпендикулярен PQ, а OR перпендикулярен PR.

∠OQP = 90°

⇒ ∠ORP = 90°

Используя свойство суммы углов четырехугольников.

∠RPQ + ∠QOR + ∠OQP + ∠ORP = 360°

⇒ ∠RPQ = 360° - (110° + 90° + 90°)

⇒ ∠RPQ = 70°

Таким образом, значение ∠RPQ равно 70°.

Источник: study.com

Не хватает двух отрезков — AB и CD. Теорема о двух касательных подтверждает, что AB = AC и CD = BD и что треугольники ABD и ACD конгруэнтны. Итак, нам нужно найти длины ножек.

Найдем недостающие длины. Радиус равен 7 см, это расстояние от центра окружности до самой окружности. Поэтому длина AB = 7 см. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину CD, которую мы назовем b:

7² + b² = 25²
Возведите в квадрат 7 и 25.

49 + b² = 625
Вычтите 49 с обеих сторон.

b² = 576
Возьмите квадратный корень из обеих сторон.

b= 24
Итак, длина AB = 7 см, а длина CD = 24 см.

Источник: geeksforgeeks.org

Дано:

AB — касательная к окружности в точке O.

Известно, что касательная AB перпендикулярна радиусу OP,

В прямоугольном треугольнике ΔOPB с помощью теоремы Пифагора,

OP2 + PB2 = OB2

⇒ PB2 + 52 = 132

⇒ PB2 = 169 - 25 = 144

⇒ PB = √(144) = 12 см

Длина касательной AB = 2×PB = 2×12 = 24 см.