Перевод в неправильную дробь

Что такое неправильная дробь

Вопреки стереотипу о том, что математические науки исключительно изучают цифры, стоит отметить, что фундаментальные закономерности из этой области способствуют познанию окружающего мира и научному прогрессу. По этой причине крайне важно научиться обращаться с числами, которые составляют более сложные математические категории. Существуют множество разных числовых величин. В их числе дроби, в совокупности которых различают несколько разновидностей, в том числе, неправильные.

С точки зрения математической науки дробь представляет собой некое число, которое сформировано из какой-либо части единицы. Разобраться в смысле данного понятия целесообразно с помощью наглядного примера. Представим, что имеется два пирога круглой формы, которые необходимо поделить между гостями. Для этого выпечку разрезают на 8 кусочков, равных между собой. Таким образом, из пары пирогов получилось 16 фрагментов. Спустя некоторое время, гости разобрали 11 частей пирогов. В результате остаток выпечки сократился, а на столе уже расположено всего 5 кусков.

Рассмотрим описанный выше процесс с точки зрения математики. Каждый кусок пирога представляет собой восьмую часть от общего объекта. Таким образом, было съедено \(\frac{11}{8}\)частей выпечки. Данное количество допустимо представить в виде суммы \(\frac{8}{8} и \frac{3}{8}\). Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что один пирог был полностью разобран, а от второго гости забрали только три части. Заметим, что \(\frac{8}{8}\) обладает значением, равным единице. Сформулируем несколько выводов в виде математической записи:

\(\frac{8}{8} = 1\)

\(\frac{11}{8} = \frac{8}{8} + \frac{3}{8}\)

\(\frac{11}{8} = 1+ \frac{3}{8}\)

В процессе работы с теми или иными дробными числами важно иметь представление об определении компонентов, входящих в состав записи такого численного значения. Если значение записано вверху над чертой, то оно обозначает делимое, то есть числитель. Под знаком дроби расположен делитель, то есть знаменатель.  Предусмотрена классификация дробных чисел, которые обладают определенными значениями. Перечислим ключевые виды дробей, которые часто встречаются в решении задач на уроках в школе и экзаменах:

1. Правильные. Рациональные выражения, в которых числитель меньше или не равен делителю. Например, \(\frac{1}{16}, \frac{4}{45}, \frac{-78}{123}\).
2. Неправильные. Обыкновенные дроби, у которых знаменатель количественно меньше значения делимого или равен ему по численности. Например, \(\frac{7}{6}, \frac{19}{19}, \frac{453}{21}.\)
3. Смешанные. Отношения, включающие в свою запись, как натуральное число, так и правильную дробь. Фактически они представляют собой их сумму: \(4 (\frac{4}{5}) = 4 + \frac{4}{5}.\)
4. Выделяют еще одну группу выражений. Дроби, относящиеся к ней, называют десятичными. Это такие отношения, у которых знаменатель представляет собой десятичное число, которое возведено в какую-либо натуральную степень. С целью представления десятичных выражений используют не дробную черту, а запятую. Например, \(\frac{12}{10} = 1,2.\)

Исходя из вышесказанного, можно прийти к заключению о том, что дробные значения в распространенных случаях представляют собой числа, которые не являются целыми. В связи с этим с дробями в математике допустимо совершать разнообразные алгебраические операции, как и с другими категориями чисел, в том числе, деление, вычитание, умножение, сложение, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование и прочие действия.

С другой стороны, неправильные дроби несколько усложняют процесс вычислений, когда уравнение или неравенство записано в достаточно объемном виде и подразумевает сложный алгоритм действий при выполнении расчетов. Во многих случаях с целью упростить задачу на поиск ответа к алгебраическому примеру целесообразно преобразовать дробное число. Для этого лучше воспользоваться специальными методами.

Как перевести смешанную дробь в неправильную

При выполнении различных заданий по алгебре нередко встречаются примеры со смешанными дробными числами. Производить вычисления в этом случае довольно затруднительно. Тогда на помощь приходит полезный метод по трансформации смешанной дроби в неправильное дробное число. В результате расчеты значительно упрощаются, а вероятность допустить какую-либо ошибку в процессе вычислений существенно сокращается. Рассмотрим пошаговый алгоритм действий на примере следующего числа \(2 \frac{5}{6}\). Запишем стадии преобразования этого выражения:

1. Требуется выполнить умножение целой части на знаменатель, то есть \(2 \cdot 6\), с последующим сложением результата и числителя 5.
2. Полученное число \(17=2 \cdot 6+5\) нужно переписать в числитель неправильной дроби.
3. Подставить в знаменатель неправильной дроби число 6. Важно, что значение знаменателя по итогам перевода в неправильное дробное число остается без изменений. Итоговый результат имеет следующий вид: \(\frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6}.\) 

Перевод неправильной дроби в смешанное число

Стоит отметить, что навык перевода неправильной дроби в смешанное число также полезен в решении алгебраических задач. Подобные действия актуальны в процессе сравнения числовых величин и при формулировке ответа. Также в определенных случаях со смешанными числами оказывается гораздо проще производить различные манипуляции, например, когда необходимо из дробного числа отнять целое число. В такой ситуации работать со смешанным числом оказывается гораздо удобнее. Рассмотрим инструкцию к действиям по трансформации неправильных дробных чисел в смешанный формат записи. С этой целью выполним необходимые операции над числом \(\frac{14}{3}\):

1. Разделим числитель на знаменатель \(14 \div 3\), в результате получим 4 целых и 2 в остатке.
2. Число 4 будет целой частью смешанного числа.
3. Остаток от деления 2 будет числителем дроби, а знаменатель останется прежним, равным 3. В результате получаем \(\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}\).

Примеры решения задач

Решение

Распределим финансовые средства в зависимости от количества дней в месяце, которые являются учебными. Пусть таких дней будет 24. В дальнейшем общую сумму целесообразно разделить на определенное ранее количество дней с помощью метода «в столбик». Итоговое дробное число запишем в виде смешанного дробного числа. Последовательность вычислений примет следующий вид:

\(\frac{2550}{24} = 106 + \frac{6}{24} = 106 \frac{6}{24} = 106 \frac{1}{4}\)

Рассмотрим подробнее выполненные алгебраические операции. Заметим, что для корректной записи ответа сделано сокращение смешанного числового значения на число 6. В итоге получилась четверть. Если перевести эту часть в копейки, то получим 25 копеек.

Ответ: 106 рублей 25 копеек.

Решение

Представим численное значение из условия задания в формате смешанного числа. С этой целью 76 разделим на 7 в столбик. В таком случае количество целых обозначает число, которое расположено на месте частного. Числитель дробной части смешанного числа представляет собой остаток от деления столбиком.

\(\frac{76}{7}= 10\frac{6}{7}\)

Ответ: \(10\frac{6}{7}\)

Решение

Проанализируем исходные условия задания. Имеется некое смешанное число, которое нужно преобразовать в неправильную дробь. Воспользуемся стандартным алгоритмом действий, который уже знаком из теоретического раздела. С этой целью в числителе новой дроби целое умножаем на знаменатель и добавляем «старый» числитель. Знаменатель остается без изменений.

\(1\frac{1}{3}= \frac{1\cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}\)

Заметим, что отсутствуют условия, препятствующие записи одной целой в виде дробного числа, которое обладает знаменателем, равным трем. Затем целесообразно приступить к суммированию дробных чисел.

\(1\frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3}+\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)

По аналогии выполним остальные преобразования:

\(123\frac{1}{2}= 123 + \frac{1}{2} = \frac{123\cdot 2 + 1}{2} = \frac{247}{2}\)

\(3\frac{2}{21}= 3 + \frac{2}{21} = \frac{3\cdot 21 + 2}{21} = \frac{65}{21}\)

Ответ: \(\frac{4}{3}, \frac{247}{2}, \frac{65}{21}.\)

Решение

В данном случае задача не отличается от предыдущих примеров с точки зрения технологии выполнения арифметических действий. Необходимо проанализировать вид, в котором записаны исходные числовые значения. Здесь речь идет о смешанных числах. Далее нужно воспользоваться стандартным алгоритмом действий для трансформации их в неправильные дробные значения.

\(3\frac{4}{7} = \frac{3\cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}\)

\(4\frac{12}{32} = \frac{4\cdot 32 + 12}{32} = \frac{140}{32}\)

\(5\frac{3}{10} = \frac{5\cdot 10 + 3}{10} = \frac{53}{10}\)

\(2\frac{5}{6} = \frac{2\cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}\)

Ответ:\(\frac{25}{7}, \frac{140}{32}, \frac{53}{10}, \frac{17}{6}.\) 

Решение

Проанализируем условия задания. В данном случае необходимо не только применить навыки преобразования дробных чисел на практике, руководствуясь изученными правилами, но и выполнить несколько арифметических действий. Это наглядный пример использования дробей в решении разнообразных прикладных задач. Стоит начать с формулы суммирования смешанного числа и правильной дроби:

\(\frac{4}{15}+3\frac{2}{5}=3+\left(\frac{2}{5}+\frac{4}{15}\right)=3+\left(\frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}+\frac{4}{15}\right)=3+\frac{6+4}{15}=3+\frac{10}{15}\)

По признаку деления на число 5 можно определить, что дробь \(\frac{10}{15}\) допустимо записать в сокращенной форме. Выполним соответствующие действия и определим итог сложения:

\(3+\frac{10}{15}=3+\frac{10:5}{15:5}=3+\frac{2}{3}=3\frac{2}{3}\)

Таким образом, по результатам суммирования правильной дроби \(\frac{4}{15}\) и смешанного числа \(3\frac{2}{5}\) получилось \(3\frac{2}{3}\).

Ответ: \(3\frac{2}{3}\).