Формулы двойного угла в тригонометрии

Двойной угол — это

Теорема о двойном угле открывает широкий спектр приложений, связанных с тригонометрическими функциями и тождествами.

Подчеркивает связь между синусом, косинусом и тангенсом угла и удвоенным углом. Эта теорема становится важным инструментом в тригонометрии, особенно при оценке и упрощении тригонометрических выражений.

Формулы

Формула двойного угла дает тригонометрическое соотношение для угла, вдвое большего данного угла. Существуют для синуса и косинуса. Из них вытекают формулы для других тригонометрических функций. Поскольку формула двойного угла дает точные значения тригонометрических соотношений малых углов, она полезна для обеспечения точности в технике, астрономии и других физических науках.

Формулы двойного угла sin, cos, ctg и tan:

• sin 2A = 2 sin A cos A (или) (2 tan A) / (1 + tan2A);
• cos 2A = cos2A - sin2A (или) 2cos2A - 1 (или) 1 - 2sin2A (или) (1 - tan2A) / (1 + tan2A);
• ctg 2A = (ctg 2A - 1) / 2ctg A = (ctg A − tg A) / 2;
• tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan2A).

Синус

Формула суммы функции синуса имеет вид:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B.

Когда A = B, вышеприведенная формула приобретает вид:

sin (A + A) = sin A cos A + cos A sin A.

sin 2A = 2 sin A cos A.

Выведем альтернативную формулу для sin 2A в терминах tan, используя пифагорейское тождество sec2A = 1 + tan2A.

sin 2A = 2 sin A cos A = 2 sin A cos² A / cos A = (2 sin A / cos A) * cos² A = 2 tan A * (1 / sec² A) = 2 tan A / (1+tan² A).

Таким образом, формулы двойного угла для функции синуса:

sin 2A = 2 sin A cos A (или) (2 tan A) / (1 + tan2A).

Тангенс

Формула суммы функции тангенса такова:

tan (A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B).

Когда A = B, вышеприведенная формула становится:

tan (A + A) = (tan A + tan A) / (1 - tan A tan A) =(2 tan A) / (1 - tan2A).

Таким образом, формула двойного угла для функции tan имеет вид:

tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan2A).

Косинус

Формула суммы функции косинуса имеет вид:

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B.

Когда A = B, вышеприведенная формула становится такой:

cos (A + A) = cos A cos A - sin A sin A.

cos 2A = cos2A - sin2A.

Используя эту формулу в качестве базовой, выведем еще две формулы cos 2A, используя пифагорейское тождество sin2A + cos2A = 1.

(i) cos 2A = cos2A - (1 - cos2A) = 2cos2A - 1;

(ii) cos 2A = (1- sin2A) - sin2A = 1 - 2sin2A.

Теперь выведем формулу cos 2A в терминах tan, используя базовую формулу.

cos 2A = cos 2A − sin²A = cos²A(1 − (sin²A / cos²A) = 1 / sec²A (1 − tan²A) = 1 / (1 + tan²A) * (1 − tan²A) = 1 − tan²A / 1 + tan²A.

Таким образом, формулы двойного угла для функции косинуса имеют вид:

cos 2A = cos2A - sin2A (или) 2cos2A - 1 (или) 1 - 2sin2A (или) (1 - tan2A) / (1 + tan2A).

Котангенс

Котангенс угла θ определяется как отношение смежного катета к противолежащему катету прямоугольного треугольника. Если мы хотим найти котангенс двойного угла (2θ), то нам нужно знать соответствующие катеты. Для этого применяют тригонометрические тождества.

cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ).

Можно выразить sin²(θ) из тождества синуса: sin²(θ) = 1 - cos²(θ).

Подставить это выражение обратно в косинус двойного угла, получим:
cos(2θ) = cos²(θ) - (1 - cos²(θ)) = 2cos²(θ) - 1.

cot(2θ) = cos(2θ) / sin(2θ).

Для sin(2θ) мы можем использовать тождество синуса:
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ).

Подставив все эти выражения, получим:
cot(2θ) = (2cos²(θ) - 1) / (2sin(θ)cos(θ)).

Избавившись от 2 в знаменателе, получим окончательную формулу:
cot(2θ) = (cot²(θ) - 1) / (2cot(θ)).

Примеры решения задач

Решение:

Имеем

Cos2x=1-2sin²x
cos2x=1-2(3/5)²
cos2x=7/25

Ответ: Таким образом, cos2x=7/25.

Решение:

В данном случае мы воспользуемся формулой двойного угла: sin2x=2sinxcosx.
Это даст 2sinxcosx=sinx.

Переставим это и факторизуем следующим образом: 2sinxcosx-sinx=0
sinx(2cosx-1)=sinx=0
или (2cosx-1)=0
В первом случае возьмем sin x = 0. Это даст x = 0 в заданном интервале.

Также уравнение 2cosx-1=0 даст

cosx=12
т.е. x=π3

Ответ: Таким образом, решениями уравнения являются 0 и π3.

Решение:

sin (3x) = sin (2x + x) =

= sin 2x cos x + cos 2x sin x (используя sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B)

= (2 sin x cos x) cos x + (1 - 2 sin2x) sin x (с помощью формул двойного угла)

= 2 sin x cos2x + sin x - 2 sin3x

= 2 sin x (1 - sin2x) + sin x - 2 sin3x

= 2 sin x - 2 sin3x + sin x - 2 sin3x

= 3 sin x - 4 sin3x

Ответ: sin 3x = 3 sin x - 4 sin3x.

Решение:

Формула двойного угла cos имеет вид: cos 2A = 2cos2A - 1 (или) 1 - 2sin2A

Используя эти формулы, докажем данное тождество.

1-cos2x / 1+cos2x = (1-(1-2sin²x) / 1+(2cos²x-1) =
= (1-(1+2sin²x) / 1+2cos²x-1
= 2sin²x / 2cos²x = sin²x / cos²x = tan²x.
Ответ: Данное тождество доказано.

Решение:

Так как значение tan A задано, то для нахождения каждого из sin 2A, cos 2A и tan 2A используем формулы двойного угла.

sin2A = 2tanA / 1+tan²A = 2(3/4) / 1+(3/4)² = 24/25.

cos2A = 1−tan²A / 1+tan²A = 1−(3/4)² / 1+(3/4)² = 7/25.

tan2A = 2tanA / 1−tan²A = 2(3/4) / 1−(3/4)² = 24/7.

Решение:

Начнем с подстановки двух формул двойного угла для синуса и косинуса.

sin 2θ = 2sinθcosθ;

cos 2θ = cos²θ - sin²θ или cos 2θ = 2cos²θ или cos 2θ = 1 - 2sin²θ.

Мы выберем подстановку в уравнении cos 2θ = 1 - 2sin²θ, потому что вычитание 1 отменит 1 в знаменателе.

sin2θ / (1+cos2θ) становится 2sinθcosθ / (1-(1-2sin²θ)).

Это упрощается до 2sinθcosθ / 2sin²θ. Теперь мы можем разделить числитель и знаменатель на 2sinθ, чтобы получить cosθ / sinθ, что равно tanθ.