Формулы факториалов для решения задач

Факториал — это

Действия с факториалами, формулы

Факториал натурального числа n — это умножение всех положительных натуральных чисел, равных или меньших n, с получением числа, которое является факториалом n. Оно представляется как n!.

n! = n × (n-1) × (n-2) × (n-3) × ............× 3 × 2 × 1

Для целого числа n ≥ 1 общее представление в нотации произведения π имеет вид:

n! = i=1ni

Это означает, что факториал числа — это умножение всех чисел, меньших или равных 1.

Факториал числа n обозначается n! и вычисляется путем умножения чисел от 1 до n. Если задан факториал числа (n-1), то значение факториала числа n можно вычислить путем умножения числа n на факториал числа (n-1).

n! = n × (n-1)!

Например, значение 5! равно 120. Тогда значение 6! Вычисляется, как показано ниже:

5! = 120

6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720

Свойства

1. Функция факториала обладает свойством делимости. Факториал числа делится на все целые положительные числа до данного числа. Свойство делимости функции показывает, что результат факториала всех четных и нечетных чисел, которые равны или больше 2, всегда является четным числом.
2. Все научные калькуляторы и компьютерные устройства имеют одну общую особенность: символ факториала «!». Все необходимые вычисления происходят на научных калькуляторах и компьютерах и других электронных вычислительных устройствах с помощью этого символа.
3. Факториал — это функция умножения, которую можно преобразовать в функцию суммы, взяв натуральный логарифм факториала, который показывает экспоненциальный рост данного числа.

Субфакториал числа

Математический термин «субфакториал» !n, представляет собой количество перестановок n заданных объектов. Он означает количество перестановок n объектов так, чтобы ни один из них не стоял на прежнем месте.

Факториал числа 0 равен 1, что символически обозначается 0! = 1.

Если n = 0, то n! — это произведение, которое включает в себя произведение вообще никаких чисел. Существует ровно одна перестановка объектов 0.

Найти факториал числа 5 очень просто. Его можно найти с помощью формул и разложения чисел. Ниже мы рассмотрим этот процесс пошагово.

Мы уже знаем, что

n! = 1 × 2 × 3 ...... × n

Факториал числа 5 можно вычислить как:

5! = (1 × 2 × 3 × 4 × 5) = 120.

Следовательно, 5! равно 120.

Факториал 10 записывается как 10! = 10.9!

10! = 10(9 × 8 ×7 × 6× 5× 4× 3 × 2 × 1)

10! = 10(362880)= 3628800

Следовательно, 10! равно 3628800.

Факториал числа 100 получается при умножении чисел от 1 до 100.

Факториал числа 100 = 100! = 100 × 99 × 98 × 97 × 96 × ... × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 9.33262154 × 10¹⁵⁷.

Факториал чисел от 1 до 10 таблица:

Список значений факториала от 1 до 10:

Факториал отрицательных чисел:

Как получить факториал чисел типа -1, -2 и т.д. Начнем с 3! = 3*2*1 = 6

2! = 3! /3 = 6/3 = 2

1! = 2! /2 = 2/2 = 1

0! = 1! /1 = 1/1 = 1

(-1)! = 0! /0 = 1/0 = не определено

И далее все целые факториалы не определены. Таким образом, отрицательный факториал целого числа не определен.

Применение факториалов

В математике выглядят следующим образом:

1. Рекурсия:
Число может быть представлено в выражении в виде...

p! = p * (p-1) * (p - 2) * (p - 3)......... (p -(p-2)) * (p-(p-1)).

2. Перестановки:
Перестановка заданных r объектов из общего числа n объектов, где порядок строго важен.

3. Комбинации:
Упорядочивание заданных r объектов из общего числа n объектов, когда порядок не важен.

4. Распределения вероятностей:
Существуют различные распределения вероятностей, в том числе биномиальное распределение. Вероятность события можно рассчитать с помощью концепции перестановок и комбинаций.

5. Теория чисел:
Факториальные значения широко используются в теории чисел, а также для аппроксимации.

Факториалы также встречаются в алгебре через биномиальную теорему и в исчислении. Факториал встречается в теории вероятностей и чисел и даже может использоваться для манипулирования выражениями.

Другие последовательности, похожие на факториалы:

1. Двойной факториал: Которые используются для упрощения тригонометрических интегралов.
2. Мультифакториалы: Обозначаются несколькими восклицательными знаками.
3. Праймориалы: Произведение простых чисел, которые меньше или равны n.
4. Суперфакториалы: определяются как произведение первых n факториалов.
5. Гиперфакториалы: представляют собой результат умножения количества последовательных значений от 1 до n.

Примеры решения задач

Решение:

14! / (11! × 4!) = (14 × 13 × 12 × 11!) / (11! × 4!)

⇒ 14! / (11! × 4!) = (14 × 13 × 12) / 4!

⇒ 14! / (11! × 4!) = (14 × 13 × 12) / (4 × 3 × 2 × 1!)

⇒ 14! / (11! × 4!) = (14 × 13 × 12) / (12 × 2 )

⇒ 14! / (11! × 4!) = (7 × 13)

⇒ 14! / (11! × 4!) = 91

Решение:

Дано 3!

3! = 3 × 2 × 1 = 6

У 3! есть два простых делителя - 3 и 2.

Решение:

6! - 3! = (6 × 5 × 4 × 3!) - 3!

⇒ 6! - 3! = (6 × 5 × 4 × 3!) - 3!

⇒ 6! - 3! = (120 × 3!) - 3!

⇒ 6! - 3! = 3![120 - 1]

⇒ 6! - 3! = 6 × 119

Решение:

Учитывая, что (n+1)! = 5n!

Мы знаем, что по формуле факториала, n! = n! × (n-1)!

Поэтому (n+1)! = (n+1) × (n+1 -1)! (Потому что здесь n = n + 1)

Но (n+1)! = 5n!

Подставляем:

5n! = (n+1) × (n+1 -1)!

5n! = (n+1) × (n)!

5 = n+1

5-1 = n

n = 4.

Значит, n = 4 в задаче (n+1)! = 5n!

⇒ 6! - 3! = 714

Решение:

(1 / 6!) = (x / 8!) - (1 / 7!)

⇒ (1 / 6!) = (x / 8 × 7!) - (1 / 7!)

⇒ (1 / 6!) = (1 / 7!)[(x / 8) - 1]

⇒ (1 / 6!) = {1 / (7 ×6!)}[(x / 8) - 1]

⇒ (1 / 6!) = (1 / 6!)(1 / 7 )[(x / 8) - 1]

⇒ 1 = (1 / 7 )[(x / 8) - 1]

⇒ 7 = (x / 8) - 1

⇒ (x / 8) = 7 + 1

⇒ (x / 8) = 8

⇒ x = 64

Решение:

Это можно решить двумя способами: первый - разложить каждый факториал на множители и делители. Второй метод показан ниже

Дано (9! × 8!) /(7! × 6!)

Мы можем записать

(9! × 8!) = (9 × 8 × 7!) × (8 × 7 × 6!)

Подставляем

(9 × 8 × 7!) × (8 × 7 × 6!)

------------

7! × 6!

9 × 8 7! × 8 × 7 × 6!

------------

7! × 6!

Отмена 7! и 6! Из числителя и знаменателя

9 × 8 × 8 × 7

= 72 × 56

= 4032

Поэтому (9! × 8!) /(7! × 6!) = 4032