Как вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина
Личность Джорджа Грина
Джордж Грин был английским математиком, жившим в XIX веке. Он, в основном, известен своими работами по теории функций и математической механике. Грин был самоучкой, так как не посещал ни одного учебного заведения.
Джордж Грин родился 14 июля 1793 года в Снейнтоне, пригороде Ноттингема, Англия. Он был вторым сыном мельника по имени Томас Грин и его жены Энн. Хотя его семья принадлежала к рабочему классу, его отец ценил образование и следил за тем, чтобы его дети учились читать и писать. Джордж учился в местной школе в Снейнтоне до 8 лет, когда бросил школу, чтобы помогать своему отцу на мельнице. После выхода на пенсию отца Грин взял на себя управление мельницей до конца своей жизни.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В 1828 году он опубликовал эссе под названием «Опыт о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма». В этом эссе Грин представил теорему, которая устанавливает фундаментальную взаимосвязь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и поведением поля внутри поверхности. Эта теорема стала важным инструментом в современной физике и математике.
В своей более поздней работе Грин разработал то, что сейчас известно как функции Грина. Эти функции представляют собой математический инструмент, используемый для решения уравнений в частных производных, и находят применение во многих областях физики и техники.
Помимо своей работы по математике и физике, Грин также был политическим активистом. Он был решительным сторонником чартистов, политического движения, стремившегося расширить избирательные права и политическое представительство рабочего класса.
Грин внезапно умер от брюшного тифа 31 мая 1841 года в возрасте 47 лет. Несмотря на то, что Грин не получил признания при жизни, его работы оказали длительное влияние на современную науку и технологии. В его родном Ноттингеме в его честь была учреждена ежегодная премия Джорджа Грина в честь ученых, внесших выдающийся вклад в физику и математику.
Три формулы Грина связаны с различными типами интегралов и областей на плоскости, но у них есть общая суть: они позволяют нам связать один тип интеграла с другим, что может быть проще для оценки или интерпретации.
Формула Грина для криволинейных интегралов
Первая формула Грина связывает линейный интеграл вокруг замкнутой кривой с двойным интегралом по области, ограниченной кривой. Формула выглядит следующим образом:
∮C Pdx + Qdy = ∫∫D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA,
где C — замкнутая кривая, ориентированная против часовой стрелки, которая охватывает область D в плоскости, а P и Q — функции с непрерывными частными производными по D.
Интуитивно первая формула Грина говорит, что суммарная циркуляция векторного поля (P, Q) вокруг замкнутой кривой C равна интегралу от изгиба векторного поля по области D, заключенной в C.
Формула связывает циркуляцию векторного поля вокруг замкнутой кривой с завитком того же векторного поля над областью, ограниченной кривой.
Первая формула Грина связала линейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по области, ограниченной кривой. Эта формула выражает тот факт, что обращение векторного поля вокруг замкнутой кривой связано с закручиванием того же векторного поля над областью, заключенной в кривой.
Используя первую формулу Грина для связи циркуляции с закручиванием векторного поля скорости жидкости в области, ограниченной кривой, мы можем рассчитать вихревое движение жидкости и изучить ее поведение. Это важно во многих приложениях, например, в прогнозировании погоды, где изучение движения жидкости и вихреобразования имеет решающее значение.
Аналогично, в электромагнетизме первая формула Грина позволяет связать циркуляцию электрического поля вокруг замкнутого контура с закручиванием того же поля над областью, заключенной в контуре. Это важно при изучении магнитных полей и электромагнитных волн, где циркуляция электрического поля может дать нам информацию о направлении и силе магнитного поля.
Вторая формула Грина
Современная форма теоремы Грина применима к векторным полям, которые определены на более общем классе поверхностей. В частности, теорема утверждает, что если F — векторное поле с непрерывными частными производными в области пространства, содержащей замкнутую ориентированную поверхность S, то
∬S (curl F) · dS = ∭V div F dV,
где ∬S (завиток F) · dS обозначает поверхностный интеграл от завитка F по замкнутой поверхности S, а ∭V div F dV обозначает тройной интеграл от расхождения F по области V, ограниченной S.
Чтобы понять теорему, полезно знать определения скручивания и расходимости векторного поля. Изгиб векторного поля F сам по себе является векторным полем, которое описывает величину вращения или скручивания"F в каждой точке пространства. Математически завиток F определяется как:
завиток F = ( ∂Q/∂y - ∂P/∂z ) i + ( ∂R/∂z - ∂P/∂x ) j + ( ∂P/∂y - ∂Q/∂x ) k,
где F = P i + Q j + R k — векторное поле в трех измерениях.
Расходимость векторного поля F, обозначаемая div F, представляет собой скалярное поле, которое описывает величину потока или сходимости F в каждой точке пространства. Математически расхождение F определяется как:
div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z.
Вторая формула Грина связывает двойной интеграл по области на плоскости с линейным интегралом по границе области. Эта формула выражает тот факт, что площадь области может быть вычислена путем интегрирования частных производных двух функций по области или путем интегрирования одной функции по границе области.
Эта формула полезна в геометрии, где позволяет вычислить площадь области с помощью линейного интеграла.
Третья формула Грина
Третья формула, связанная с теоремой Грина, является двумерной версией теоремы. В ней говорится, что если F и G являются двумя векторными полями с непрерывными частными производными, определенными на области R в плоскости, ограниченной простой замкнутой кривой C, ориентированной против часовой стрелки, то:
∮C (F · dr) = ∬R ( ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y ) dA,
где ∮с (F · dr) определяет криволинейный интеграл от F вдоль границы C, и ∬R ( ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y ) dA — обозначает двойной интеграл от скручивания F по области R.
Чтобы понять теорему, полезно знать определения линейного интеграла и изгиба векторного поля в двух измерениях. Линейный интеграл векторного поля F вдоль кривой C является интегралом от точечного произведения F и касательного вектора к C, обозначаемого dr. Математически линейный интеграл задается формулой:
∮C (F · dr) = ∫a^b F(x(t), y(t)) · (dx/dt, dy/dt) dt,
где a и b — конечные точки кривой C, а x(t) и y(t) — параметрические уравнения C.
Изгиб векторного поля F в двух измерениях — это скалярное поле, которое описывает величину поворота или скручивания F в каждой точке плоскости. Математически завиток F определяется как:
завиток F = ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y.
Третья формула Грина связывает линейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по области на плоскости. Эта формула выражает тот факт, что циркуляция векторного поля вокруг замкнутой кривой связана с потоком того же векторного поля по области, заключенной в кривой.
Она применяется в механике жидкости, где позволяет связать циркуляцию жидкости со скоростью потока или потоком жидкости через поверхность.
В целом, формулы Грина представляют собой мощные инструменты для решения интегралов на плоскости и широко используются во многих областях науки и техники. Они позволяют связать различные типы интегралов и областей друг с другом, что может упростить вычисления и дать новое понимание поведения векторных полей на плоскости.
Примеры решения задач
Вычислите площадь, заключенную в кривой C, заданной x^2 + y^2 = 1.
Для решения этой задачи с помощью теоремы Грина можно использовать вторую формулу, которая гласит, что:
∫∫D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C Pdx + Qdy,
где D — область, замкнутая кривой C, а P и Q — функции с непрерывными частными производными. В данном случае мы можем выбрать P = 0 и Q = x, так что правая часть уравнения примет вид:
∮C xdy
Мы можем параметризовать кривую C как x = cos(t) и y = sin(t), где t изменяется от 0 до 2π. Тогда имеем:
∮C xdy = ∫0^2π cos(t) sin'(t) dt = ∫0^2π cos(t) cos(t) dt = π
Используя вторую формулу теоремы Грина, мы также можем вычислить левую часть уравнения:
∫∫D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∫∫D dA = площадь, заключенная в C.
Следовательно, имеем:
площадь, заключенная в C = ∮C xdy/2 = π/2
Вычислите циркуляцию векторного поля F(x,y) = (-y, x) вокруг кривой C, заданной x^2 + y^2 = 4.
Для решения этой задачи с помощью теоремы Грина мы можем использовать третью формулу, которая гласит, что:
∮C F - dr = ∫∫D (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y) dA
где D — область, замкнутая кривой C, а F — векторное поле с непрерывными частными производными. В этом случае имеем:
F(x,y) = (-y, x)
∂Fy/∂x = 0
∂Fx/∂y = 0
Следовательно, завиток F равен нулю, и правая часть уравнения становится равной:
∫∫D (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y) dA = 0
Чтобы вычислить левую часть уравнения, мы можем параметризовать кривую C как x = 2cos(t) и y = 2sin(t), где t изменяется от 0 до 2π. Тогда имеем:
∮C F - dr = ∫0^2π F(2cos(t), 2sin(t)) - (-2sin(t), 2cos(t)) dt = ∫0^2π 4 dt = 8π.
Следовательно, циркуляция векторного поля F вокруг кривой C равна 8π.
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так