Как вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина

Личность Джорджа Грина

Джордж Грин был английским математиком, жившим в XIX веке. Он, в основном, известен своими работами по теории функций и математической механике. Грин был самоучкой, так как не посещал ни одного учебного заведения.

Джордж Грин родился 14 июля 1793 года в Снейнтоне, пригороде Ноттингема, Англия. Он был вторым сыном мельника по имени Томас Грин и его жены Энн. Хотя его семья принадлежала к рабочему классу, его отец ценил образование и следил за тем, чтобы его дети учились читать и писать. Джордж учился в местной школе в Снейнтоне до 8 лет, когда бросил школу, чтобы помогать своему отцу на мельнице. После выхода на пенсию отца Грин взял на себя управление мельницей до конца своей жизни.

В 1828 году он опубликовал эссе под названием «Опыт о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма». В этом эссе Грин представил теорему, которая устанавливает фундаментальную взаимосвязь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и поведением поля внутри поверхности. Эта теорема стала важным инструментом в современной физике и математике.

В своей более поздней работе Грин разработал то, что сейчас известно как функции Грина. Эти функции представляют собой математический инструмент, используемый для решения уравнений в частных производных, и находят применение во многих областях физики и техники.

Помимо своей работы по математике и физике, Грин также был политическим активистом. Он был решительным сторонником чартистов, политического движения, стремившегося расширить избирательные права и политическое представительство рабочего класса.

Грин внезапно умер от брюшного тифа 31 мая 1841 года в возрасте 47 лет. Несмотря на то, что Грин не получил признания при жизни, его работы оказали длительное влияние на современную науку и технологии. В его родном Ноттингеме в его честь была учреждена ежегодная премия Джорджа Грина в честь ученых, внесших выдающийся вклад в физику и математику.

Формула Грина для криволинейных интегралов

Первая формула Грина связывает линейный интеграл вокруг замкнутой кривой с двойным интегралом по области, ограниченной кривой. Формула выглядит следующим образом:

∮C Pdx + Qdy = ∫∫D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA,

где C — замкнутая кривая, ориентированная против часовой стрелки, которая охватывает область D в плоскости, а P и Q — функции с непрерывными частными производными по D.

Интуитивно первая формула Грина говорит, что суммарная циркуляция векторного поля (P, Q) вокруг замкнутой кривой C равна интегралу от изгиба векторного поля по области D, заключенной в C.

Формула связывает циркуляцию векторного поля вокруг замкнутой кривой с завитком того же векторного поля над областью, ограниченной кривой.

Используя первую формулу Грина для связи циркуляции с закручиванием векторного поля скорости жидкости в области, ограниченной кривой, мы можем рассчитать вихревое движение жидкости и изучить ее поведение. Это важно во многих приложениях, например, в прогнозировании погоды, где изучение движения жидкости и вихреобразования имеет решающее значение.

Аналогично, в электромагнетизме первая формула Грина позволяет связать циркуляцию электрического поля вокруг замкнутого контура с закручиванием того же поля над областью, заключенной в контуре. Это важно при изучении магнитных полей и электромагнитных волн, где циркуляция электрического поля может дать нам информацию о направлении и силе магнитного поля.

Вторая формула Грина

Современная форма теоремы Грина применима к векторным полям, которые определены на более общем классе поверхностей. В частности, теорема утверждает, что если F — векторное поле с непрерывными частными производными в области пространства, содержащей замкнутую ориентированную поверхность S, то

∬S (curl F) · dS = ∭V div F dV,

где ∬S (завиток F) · dS обозначает поверхностный интеграл от завитка F по замкнутой поверхности S, а ∭V div F dV обозначает тройной интеграл от расхождения F по области V, ограниченной S.

Чтобы понять теорему, полезно знать определения скручивания и расходимости векторного поля. Изгиб векторного поля F сам по себе является векторным полем, которое описывает величину вращения или скручивания"F в каждой точке пространства. Математически завиток F определяется как:

завиток F = ( ∂Q/∂y - ∂P/∂z ) i + ( ∂R/∂z - ∂P/∂x ) j + ( ∂P/∂y - ∂Q/∂x ) k,

где F = P i + Q j + R k — векторное поле в трех измерениях.

Расходимость векторного поля F, обозначаемая div F, представляет собой скалярное поле, которое описывает величину потока или сходимости F в каждой точке пространства. Математически расхождение F определяется как:

div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z.

Эта формула полезна в геометрии, где позволяет вычислить площадь области с помощью линейного интеграла.

Третья формула Грина

Третья формула, связанная с теоремой Грина, является двумерной версией теоремы. В ней говорится, что если F и G являются двумя векторными полями с непрерывными частными производными, определенными на области R в плоскости, ограниченной простой замкнутой кривой C, ориентированной против часовой стрелки, то:

∮C (F · dr) = ∬R ( ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y ) dA,

где ∮с (F · dr) определяет криволинейный интеграл от F вдоль границы C, и ∬R ( ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y ) dA — обозначает двойной интеграл от скручивания F по области R.

Чтобы понять теорему, полезно знать определения линейного интеграла и изгиба векторного поля в двух измерениях. Линейный интеграл векторного поля F вдоль кривой C является интегралом от точечного произведения F и касательного вектора к C, обозначаемого dr. Математически линейный интеграл задается формулой:

∮C (F · dr) = ∫a^b F(x(t), y(t)) · (dx/dt, dy/dt) dt,

где a и b — конечные точки кривой C, а x(t) и y(t) — параметрические уравнения C.

Изгиб векторного поля F в двух измерениях — это скалярное поле, которое описывает величину поворота или скручивания F в каждой точке плоскости. Математически завиток F определяется как:

завиток F = ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y.

Она применяется в механике жидкости, где позволяет связать циркуляцию жидкости со скоростью потока или потоком жидкости через поверхность.

В целом, формулы Грина представляют собой мощные инструменты для решения интегралов на плоскости и широко используются во многих областях науки и техники. Они позволяют связать различные типы интегралов и областей друг с другом, что может упростить вычисления и дать новое понимание поведения векторных полей на плоскости.

Примеры решения задач

Для решения этой задачи с помощью теоремы Грина можно использовать вторую формулу, которая гласит, что:

∫∫D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C Pdx + Qdy,

где D — область, замкнутая кривой C, а P и Q — функции с непрерывными частными производными. В данном случае мы можем выбрать P = 0 и Q = x, так что правая часть уравнения примет вид:

∮C xdy

Мы можем параметризовать кривую C как x = cos(t) и y = sin(t), где t изменяется от 0 до 2π. Тогда имеем:

∮C xdy = ∫0^2π cos(t) sin'(t) dt = ∫0^2π cos(t) cos(t) dt = π

Используя вторую формулу теоремы Грина, мы также можем вычислить левую часть уравнения:

∫∫D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∫∫D dA = площадь, заключенная в C.

Следовательно, имеем:

площадь, заключенная в C = ∮C xdy/2 = π/2

Для решения этой задачи с помощью теоремы Грина мы можем использовать третью формулу, которая гласит, что:

∮C F - dr = ∫∫D (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y) dA

где D — область, замкнутая кривой C, а F — векторное поле с непрерывными частными производными. В этом случае имеем:

F(x,y) = (-y, x)

∂Fy/∂x = 0

∂Fx/∂y = 0

Следовательно, завиток F равен нулю, и правая часть уравнения становится равной:

∫∫D (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y) dA = 0

Чтобы вычислить левую часть уравнения, мы можем параметризовать кривую C как x = 2cos(t) и y = 2sin(t), где t изменяется от 0 до 2π. Тогда имеем:

∮C F - dr = ∫0^2π F(2cos(t), 2sin(t)) - (-2sin(t), 2cos(t)) dt = ∫0^2π 4 dt = 8π.

Следовательно, циркуляция векторного поля F вокруг кривой C равна 8π.