Какие числа называются целыми

Что такое целое число в математике

Сам термин является латинским словом, которое означает «целый» или «нетронутый». Это означает, что эти числа не содержат дробей или десятичных дробей. Их иногда называют натуральными, поскольку они могут использоваться для представления дискретных величин, таких как число яблок в корзине, машин на парковке или людей в комнате.

Их можно складывать, вычитать, умножать и делить (в определенных случаях) так же, как и действительные числа, и они обладают множеством важных свойств и применений в математике, науке и технике.

История изучения

Изучение целых чисел, также известное как теория чисел, уходит корнями в глубокую древность. До создания какой-либо системы счисления люди пользовались камнями, палками или считали на пальцах. Вавилоняне и египтяне использовали концепции целых чисел для подсчета, измерения и вычисления количеств в торговле и строительстве.

В Древней Греции Пифагор и его последователи изучали свойства целых чисел и открыли много важных результатов, таких как теорема Пифагора и концепция совершенных чисел. В «Элементах» Евклида также содержится множество результатов, связанных с ними — фундаментальная теорема арифметики.

Ноль был изобретен независимо друг от друга вавилонянами, майя и индейцами. (Хотя некоторые исследователи утверждают, что индийская система счисления возникла под влиянием вавилонян). Считается, что был индийский математик-индус, который первым одобрил число ноль. До его этого ни одна страна не использовала это число, пока оно не достигло Индийского субконтинента. До появления нуля математики использовали черные пространства, чтобы решить, как вычислить задачу, как будто там ничего нет.

В средние века исламские математики продолжали развивать теорию чисел, особенно алгебру и теорию чисел. Особенно примечательны работы Аль-Хорезми по алгебре, вклад Аль-Кинди в теорию чисел и работа Омара Хайяма по кубическим уравнениям.

В эпоху Возрождения европейские математики продолжали развивать теорию чисел, значительный вклад внесли Пьер де Ферма, Рене Декарт и Леонгард Эйлер. Знаменитая последняя теорема Ферма, которая гласит, что никакие три положительных целых числа a, b и c не могут удовлетворить уравнению \(a^n + b^n = c^n\) для любого целого значения n больше 2, оставалась нерешенной более трех веков, пока Эндрю Уайлс не доказал ее в 1994 году.

Отрицательные числа были окончательно приняты в систему счисления в 19 веке. Отрицательные числа оказались полезными при решении сложных уравнений — кубические и квартовые уравнения.

Сегодня теория чисел остается активной и важной областью исследований в математике, в которой по-прежнему много открытых проблем и новых открытий.

Как обозначаются

Они имеют обозначения в зависимости от их значения и знака. Обычно обозначаются с помощью ряда чисел. Такой ряд обозначают символом «W», он включает в себя все положительные числа (1, 2, ...) и ноль. Отрицательная часть множества имеет символ «-W» и включает все отрицательные числа (-1, -2, -3, ...).

Вместе множество целых чисел и их отрицания образуют множество, которое обозначается символом «Z». Таким образом, данное множество можно записать как {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.

Целые числа также можно обозначить с помощью числовой прямой, где справа от нуля располагаются положительные, а слева от нуля — отрицательные. Сам 0 помещают в центр числовой линии.

Свойства

Имеют несколько уникальных особенностей, отличающие их от других типов чисел:

1. Не имеют дробной или десятичной составляющей. Можно использовать для представления дискретных величин, например, количества предметов в коллекции.
2. Являются полезными для представления величин, которые могут увеличиваться или уменьшаться, а также могут отсутствовать.
3. Их можно складывать, вычитать, умножать и делить. Однако в некоторых случаях в результате деления может получиться не целое число, а дробное или десятичное.
4. Они обладают уникальными свойствами, связанными с их делимостью, например, тем, что каждое из них можно записать как произведение простых чисел, а также тем, что сумма цифр определяет, делится ли оно на 3 или на 9.
5. Ряд бесконечен и включает в себя все положительные и отрицательные целые числа, а также ноль. Это делает их нужными для представления величин, которые могут быть произвольно большими или маленькими.

Основные свойства следующие:

1. Свойство замкнутости утверждает, что множество замкнуто для любой конкретной математической операции. Z замкнуто при сложении, вычитании, умножении и делении целых чисел.

a + b ∈ Z
a - b ∈ Z
a × b ∈ Z
a / b ∈ Z

2. Согласно свойству ассоциативности, изменение группировки двух чисел не изменяет результат операции. Следует отметить, что данное свойство применимо только к сложению и умножению двух чисел.

a + (b + c) = (a + b) + c
a × (b × c) = (a × b) × c

3. Для операций сложения и умножения целые числа подчиняются свойству тождества. Свойство тождества аддитивности гласит, что при добавлении нуля к целому числу получается само целое число. Это означает, что a + 0 = a

Аналогично, мультипликативное тождество гласит, что при умножении 1 на любое целое число получается само целое число. Это означает, что a × 1 = a

4. Согласно свойству коммутативности, изменение положения операндов в операции не влияет на результат. Следует отметить, что оно применимо только к сложению и умножению целых чисел.

a + b = b + a
a × b = b × a

5. Распределительное свойство гласит, что для любого выражения вида a (b + c), что означает a × (b + c), операнд a может быть распределен между операндами b и c как: (a × b) + (a × c), то есть,

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

6. Аддитивное обратное свойство утверждает, что операция сложения между любым целым положительным числом и его отрицательным значением даст в результате ноль (0).

a + (-a) = 0

7. Свойство мультипликативной инверсии гласит, что операция умножения между любым целым числом и его обратным числом дает результат в виде единицы (1).

a × 1/a = 1

Положительные и отрицательные

1. Положительные числа больше нуля. Они используются для представления величин, которые увеличиваются или прибавляются к общему числу, например, количество цветов на грядке, количество заработанных денег или температура на термометре, когда она повышается. Обозначаются символом «+», но на практике знак плюс обычно опускается, поскольку подразумевается, что число положительное, если не указано иное.
2. Отрицательные числа меньше нуля. Они используются для представления величин, которые уменьшаются или вычитаются из общего числа, например, количество съеденных пирожков, снижение температуры или потеря высоты. Обозначаются символом «-», который ставится перед числом.
3. 0 не является ни положительным, ни отрицательным и часто рассматривается как нейтральное число. Он представляет собой отсутствие количества и используется как точка отсчета для положительных и отрицательных чисел на числовой прямой.

Все эти числа можно складывать, вычитать, умножать и делить так же, как и любые другие числа. При сложении или вычитании двух целых чисел с одинаковым знаком ответ всегда будет иметь тот же знак, что и операнды. Например, 3 + 5 = 8, а -3 + (-5) = -8. При сложении или вычитании с разными знаками ответ будет иметь знак операнда с большим абсолютным значением. Например, 3 + (-5) = -2, так как абсолютное значение -5 больше абсолютного значения 3.

При умножении чисел результат будет положительным, если оба операнда имеют одинаковый знак, и отрицательным, если операнды имеют разные знаки. Например, 3 x 5 = 15, и -3 x (-5) = 15, а 3 x (-5) = -15.

При делении результат не всегда может быть целым числом, вместо этого он может быть дробным или десятичным числом. Однако если в результате деления получается целое число, то результат всегда будет целым числом. Например, 10 ÷ 5 = 2, а 11 ÷ 5 = 2,2.

1. Множество четных чисел состоит из всех целых чисел, кратных 2, включая ноль. Оно обозначается символом 2Z.
2. Множество нечетных чисел состоит из всех целых чисел, которые не делятся на 2. Оно обозначается символом 2Z+1.

Эти наборы целых чисел имеют различные применения в математике и смежных областях. Например, множество четных целых чисел часто используется при изучении геометрии, а множество нечетных — в теории чисел.