Что нужно знать о законе сохранения момента импульса — основные сведения
Формулировка закона сохранения момента импульса
Что такое импульс и момент импульса
В классической механике разделяют импульс и момент импульса.
Импульсом тела называется векторная физическая величина, которая равна произведению массы исследуемого тела на вектор скорости движения данного тела.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
\(\overrightarrow p=m\times\overrightarrow v,\;\overrightarrow p-вектор\;импульса,\;m\;-\;масса\;тела/матемариальной\;точки,\;\overrightarrow{v\;}-скорость\;движения\;тела/материальной\;точки\)
Момент импульса в отличие от импульса рассматривается и рассчитывается только для материальной точки и обязательно относительно чего-то (другой материальной точки, оси и т.д.)
Моментом импульса тела материальной точки относительно некоторой материальной точки называется величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного из точки вращения к данной материальной точке, на вектор импульса этой данной материальной точки.
\(\overrightarrow L=\overrightarrow r\times\overrightarrow p,\;где\;обозначение\;\overrightarrow L\;-\;момент\;импульса\;материальной\;точки\;(вектор),\;\overrightarrow r\;-\;радиус-вектор,\;который\;проведён\;из\;точки\;вращения\;в\;данной\;материальной\;точке,\;\overrightarrow p-вектор\;импульса\;этой\;материальной\;точки\).Также формулу для нахождения момента импульса можно представить в скалярном виде:
\(\overrightarrow L\;=\;p\times r\times\sin\left(\alpha\right)\;=\;p\times l \)
Формулировка закона сохранения момент импульса
Физике давно установили то, что в нашей жизни, в природе, в работе, в общем во всём — ничего не исчезает бесследно. Энергия переход из одного вида энергии в другой вид, преобразуется то в энергию, что в тепло и т.д. В классической механике для тем с импульсом происходит то же самое, импульс одного тела при столкновении с другим не исчезает бесследно, а передается другому телу. Таким образом, так как импульс, который передается другим телам и никуда не исчезает, входит в формулу для расчёта момент импульса, то для момента импульса материальной точки действует такой же закон, как и для остальных описанных примеров, а именно закон сохранения момент импульса.
Закон сохранения моментов импульса или закон сохранения углового момента: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
Очень наглядно видно применение закон сохранения момента импульса в опытах с уравновешенным гироскопом.
Гироскопом или волчком называют однородное тело вращения, которое быстро вращается вокруг оси симметрии. При это ось данного вращательного тела может изменять своё направление в пространстве.
Гироскоп, закрепленный так, что его центр тяжести совпадает с неподвижной точкой гироскопа называется уравновешенным гироскопом.
Если никакие внешние силы, кроме силы тяжести, не будут действовать на уравновешенный гироскоп, то ось будет сохранять свое начальное направление относительно инерциальной системы отсчета, а угловая скорость будет постоянной.
Формула для данного закона
Закон сохранения моментов импульса можно выразить не только словами, но и формулой, описывающей его:
\(\frac{dL}{dt}\;=\;I\frac{d\omega}{dt}=I\varepsilon=M\\I_1\times\omega_1=I_2\times\omega_2\)
Условия выполнения для закона сохранения момента импульса
Для того, чтобы выполнялся любой физический закон существуют какие-то условия-ограничения, так и для закона сохранения импульса существует важное условие: закон сохранения энергии/импульса/момент импульса рассматривается в замкнутой системе, определение которой гласит следующее:
Замкнутая система тел — это физическая модель, состоящая из двух или нескольких тел, которые взаимодействуют друг с другом, и они не подвергаются внешнему воздействию сил.
\(\frac{d\overrightarrow L}{dt}\;=\;0\;=\;\overrightarrow M\\Соответственно\;отсюда\;вывод,\;что\;\overrightarrow L\;=\;const\)
Но незамкнутая система тел также имеет момент импульса. Нам уже известно, что для замкнутых систем момент импульса постоянен, но и для незамкнутых он может быть постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.
Примеры решения задач с его использованием
Условие:
К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м массой m = 1,2 кг приложена постоянная сила 100 Н, при вращении на диск действует момент силы трения, равный 5 нм. Чему равно угловое ускорение диска?
Решение:
\(M\;=\;I\ast\varepsilon \) — момент силы.
Сила, которая действует на обруч: \(F^`=F-F_{тр}\)
Из момента силы трения \(F_{тр}=\frac MR\;=\;25\;H\)
\( Из\;закона\;сохранения:\;F^`-M=F^`R\)
\(I\;=\;F^`R\\I\;=\;mR^2\;-\;момент\;инерции\;обуча, тогда, подставляя в закон сохранения и делая математические преобразования получаем:\)
\(\;mR^2\varepsilon=(F-F_{тр})R\\\varepsilon=\frac{(F-F_{тр})R}{mR^2}=\frac{F-F_{тр}}{mR}=\frac{75}{1.2\ast0.2}=312.5\;\frac1{c^2}\\Пояснение:\;\left[\frac Н{кг\ast м}=\frac{кг\ast м}{с^2\ast кг\ast м}=\frac1{с^2}\right]\)
Ответ: \(312.5\;\frac1{c^2}\)
Условие:
Шарик, диаметр которого равен 6 см, катится по полу и останавливается через t = 2 с, пройдя расстояние S = 70 см. Определите коэффициент трения качения, считая его постоянным.
Решение:
\(M\;=\;\varepsilon I\;-основное\;уравнение\;вращательного\;движения\\I\;=\;0.4\ast m\ast r^2\;-\;момент\;инерции\;шара.\\\varepsilon=\frac ar\\M\;=\;\frac{0.4\ast m\ast r^2\ast a}r=\;0.4\ast m\ast r\ast a\\Момент\;силы\;трения\;равен\;M\;=\;F_{тр}r\\Нам\;известно\;из\;предыдущих\;тем,\;что\;сила\;трения\;определяется\;следующим\;образом:\;F_{тр}=\mu\ast N\;=\;\mu\ast m\ast g\\Тогда\;следует,\;что\;момент\;силы\;трения\;равен:\;M\;=\;\mu\ast m\ast g\ast r\\По\;закону\;сохранения\;момента\;сил\;следует,\;что\;\\\mu\ast m\ast g\ast r=0.4\ast m\ast r\ast a\\\mu\;=\;\frac{0.4\ast a}g\\Из\;условий\;для\;закона\;сохранения\;импульса\;следует,\;что\;S\;=\;\frac{at^2}2,\;откуда\;a\;=\;\frac{2S}{t^2}=\frac{1.4}4=0.35\;\frac м{с^2}\\находим\;необходимый\;нам\;коэффициент\;трения:\:\\\mu\;=\;\frac{0.4\ast0,35}{10}=0,014\\Ответ:\;0,014\\\\\)
Условие:
Найти момент импульса Земного шара \(М_З\;=\;6\ast10^{24}\;кг, R_З\;=\;6.4\ast10^3\;км\), если точки поверхности Земли вращаются со скоростью 36 км/ ч.
Решение:
\(Момент\;импульса\;L\;=\;I\ast\omega\\I\;=\;0.4\ast M_З\ast R_З^2\;-\;момент\;инерции\;шара\\\omega\;=\;\frac vR\\L\;=\;0.4\ast M_З\ast v\ast R_З\;=\;15,36\ast10^{30}\frac{кг\ast м^2}с\\ответ:\:15,36\ast10^{30}\frac{кг\ast м^2}с\)
Условие:
Комета Галлея движется вокруг солнца по вытянутому эллипсу. Наибольшее удаление от солнца равно 35,2 а. е., а наименьшее удаление - 0,6 а.е.. Найти отношение максимальной скорости кометы к минимальной.
Решение:
\(Момент\;импульса\;при\;наибольшем\;удалении\;L_1\;=\;I_1\ast\omega_{}\\I\;=\;m\ast R_1^2\;-\;момент\;инерции\;кометы\;при\;наибольшем\;удалении\\{\omega\;}_1=\;\frac{v_1}{R_1}\\L_1\;=\;m\ast R_1^2\ast\frac{v_1}{R_1}\;=m\ast R_1\ast v_1\\L_2\;=m\ast R_2\ast v_2\;-\;момент\;импульса\;кометы\;при\;минимальном\;удалении\\L_{1\;}=L_2\;-\;закон\;сохранения\;момента\;импульса\\m\ast R_1\ast v_1=m\ast R_2\ast v_2\\\frac{v_2}{v_1}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{35.2}{0.6}=58.6\;раз\\Ответ:\;58,6\approx59\;раз.\)
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
