Что нужно знать о принципе Даламбера — основные сведения

Метод кинетостатики в динамике. Формулировка принципа Даламбера

Так выглядел Д’Аламбер:

Методы кинетостатики

Для того, чтобы решить базовую задачу динамики несвободной физической точки при условии заданного движения и необходимости вычислить силу, применяют методы кинетостатики. Эффективнее всего применять данных метод в случаях, когда необходимо вычислить реакцию связи при условии активных сил, а также законе движения материальной точки.

Законы, которые установил в 17-18 веке Исаак Ньютон, относились к процессу движения свободной материальной точки. Если к данному закону прибавить аксиому об освобождении от связей, тогда нужно будет исследовать не вопросы движения несвободной материальной точки, а вопросы движения свободной материальной точки, на которую влияют активные силы и реакции связей.

Л. Эйлером был обобщенный данный принцип намного раньше, чем это сделал Даламбер. Однако Л. Эйлер обобщил данный принцип для установления колебаний гибких тел. Ж. Даламбером в теоретической работе «Трактат о динамике» был описан метод, при помощи которого можно было решать задачи на динамике по принципу статики. 

Принцип Даламбера может применяться в различных сферах науки, в том числе в рамках научных дисциплин (например, сопромат).

Формула для принципа

В форме математической записи принцип Д’Аламбера будет выглядеть так:

В данной формуле i является точкой, на которую влияют силы F. Эти силы были наложены реакциями связи N. В этой формуле также учитываем силу инерции J.

Применение принципа Даламбера

Принцип Даламбера в случае применения к материальной точке. Принцип невесомости. Принцип невозмущенности математического маятника

Представим, что на какую-то физическую точку влияет активная сила \(\overrightarrow{F}\), а также реакция связи \(\overrightarrow{R}\). В таком случае, по всем законам уравнений динамики для несвободной физической точки, получится следующее уравнение: \( m\overrightarrow{w}=\overrightarrow{F}+\overrightarrow{R}\). Из этого уравнения получаем: \(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{R}+(-m\overline{w})=0\).

Посмотрите на рисунок ниже:

Зная это, записываем уравнение с данным слагаемым: \(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{R}+\overline{Ф}=0\).

Данное выражение и является математическим выражением принципа Даламбера: в случае несвободной физической точки в каждый момент времени сумма действующих сил, которые приложены к точке, инерционных сил, реакции связей, равняется нулю.

Согласно третьему закону Ньютона, действующие силы находятся в природе переменно, они являются одинаковыми по значению, однако противоположными по направлению.

Метод кинетостатики можно считать формальным вариантом приведения выражений динамики к уравнениям статики, но для решения части физических задач применения данного метода является очень удобным.

Если движение будет замедленным прямолинейным, тогда инерционная сила будет совпадать с направлением движения. В случае свободности материальной точки реакция связи будет равна нулю \(\overrightarrow{R}=0.\) Тогда уравнение станет еще проще: \(\overrightarrow{F}+\overline{Ф}=0\).

В случае проекции на координатные оси выражение будет таким: \(F_{x}-m\ddot{x}=0; F_{y}-m\ddot{y}=0; F_{z}-m\ddot{z}=0\).

Принцип невесомости

Метод Даламбера лучше всего использовать при решении задач динамики, в которых необходимо вычислить реакцию связи. Так из базового выражения принципа Даламбера следует:

\(\overrightarrow{R}=-(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{Ф})=m\overline{w}-\overrightarrow{F}\).

Приведем пример, взяв за основу термин «перегрузка». Перегрузку обычно испытывает на себе пилот в процессе движения самолета по кругу в рамках вертикальной плоскости.

Рисунок:

Представим, что самолет совершает движение по кругу с радиусом r, а также со скоростью \(\overrightarrow{v}\). Вычислим соотношение между радиусом и скоростью такое, при котором пилот самолете будет ощущать в конкретный момент времени состояние невесомости. Если полет обладает характеристиками полета горизонтального и равномерного, тогда собственный вес пилота будет P. Пилот будет чувствовать реакцию сиденья в \(\overrightarrow{R}=-\overrightarrow{P}\).

Во период движения самолета по кругу в рамках вертикальной плоскости в произвольной точке M на пилота будет влиять сила притяжения планеты. Сила притяжения будет равна \(\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}\), а также реакция сиденья будет равна \(\overrightarrow{R}\). В таком случае инерционная сила \(\overrightarrow{Ф}=-m\overline{w}\). При учете \(\mid\overline{Ф}\mid=\frac{mv^{2}}{r}\), m=P, а также при проекции активных сил на ось \(O_{y},\) получится следующее выражение: \(R-P+\frac{Pv^{2}}{gr}=0\). Из данного уравнение получаем: \(R=P(1-\frac{v^{2}}{rg})\).

Состояние невесомости наступит тогда, когда R=0. То есть наступит тогда, когда будет \(1-\frac{v^{2}}{rg}=0\) или же \(v^{2}=rg\).

Стоит отметить, что угловая скорость \(\omega\) вращения самолета в таком случае не будет зависеть от скорости \(v=\omega{r}\). Она будет определяться по уравнению: \(1-\frac{v^{2}}{rg}=1-\frac{\omega^{2}r^{2}}{rg}=1-\frac{\omega^{2}r}{g}=0.\) Из данного выражения получается, что \(\omega=\sqrt{\frac{g}{r}}\). Тогда период вращения будет такой: \(T=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}\).

Условия, которые получились в примере, вполне приемлемы для объяснения состояния невесомости космонавта на круговой орбите. В данном случае последние два выражения можно представить в виде \(r=R_{3}+h\). В данной формуле \(R_{3}\) является радиусом Земли, h высотой полета спутника. Справедливо \(h\ll{R_{3}}\), из-за этого \(r\approx{R_{3}}.\) Нужно подставить в уравнение \(R_{3}\approx6371 км\). Тогда получится: \(T=2\pi\sqrt{\frac{R_{3}}{g}}=84,4 мин\).

Принцип невозмущенности математического маятника

Период T, который был вычислен ранее, равняется периоду колебаний математического маятника, изображенного на рисунке ниже в сегменте б:

Длина математического маятника равняется земному радиусу.

Выражение \(\omega=\sqrt{\frac{g}{r}}\) при \(r=R_{3}\) или \(T=2\pi\sqrt{\frac{R_{3}}{g}}=84,4\) можно считать условием для невозмутимости математического маятника.

Практическая реализация концепции невозмущенности маятника на подвижной базе предоставила возможность сформировать целый ряд невозмутимых гироскопических систем, а также сформировала целое направление в рамках технической кибернетики. Оно называется теория инвариантности (или же теория невозмутимости).

Принцип Даламбера для системы материальных точек

Представим, что в произвольной точке системы физических точек существуют действующая сила \(\overrightarrow{F_{i}}\), а также реакция связи \(\overrightarrow{R_{i}}\). Так для точки i базовое выражение динамики несвободной системы примет следующий вид: \(m_{i}\overline{w}_{i}=\overrightarrow{F}_{i}+\overrightarrow{R}_{i}, i=1,2,…,n\).

Переписываем выражение в виде: \(\overrightarrow{F}_{i}+\overrightarrow{R}_{i}+(-m_{i}\overline{w}_{i})=0\) или же \(\overrightarrow{F}_{i}+\overrightarrow{R}_{i}+\overline{Ф}_{i}=0, i=1,2,…,n\). В данном уравнении сила инерции \(\overline{Ф}_{i}=-m_{i}\overline{w}_{i}\). Согласно индексу i получится, что \(\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{F}_{i}+\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{R}_{i}+\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{Ф}_{i}=0\).

\(\overrightarrow{Ф}=\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{Ф}_{i}\) получится выражение: \(\overrightarrow{F}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{Ф}=0\).

Выберем произвольный центр O. Далее необходимо провести в i точку системы радиус-вектор \(\overrightarrow{r_{i}}\), умножить векторно на силы, входящие в \(\overrightarrow{F}_{i}+\overrightarrow{R}_{i}+\overline{Ф}_{i}=0\). Далее нужно определить моменты сил по отношению к центру O. Далее, прибавляя по i, нужно определить базовые моменты действующих сил реакции связей и инерционных сил:\( \overline{M^{акт}_{O}}+\overline{M^{p}_{O}}+\overline{M^{in}_{O}}=0\)

Посмотрите на рисунок:

Здесь

Выражения \(\overrightarrow{F}_{i}+\overrightarrow{R}_{i}+\overline{Ф}_{i}=0\)  и \(\overline{M^{акт}_{O}}+\overline{M^{p}_{O}}+\overline{M^{in}_{O}}=0\) показывают принцип Даламбера для системы.

Выражениям \(\overrightarrow{F}_{i}+\overrightarrow{R}_{i}+\overline{Ф}_{i}=0\) и \(\overline{M^{акт}_{O}}+\overline{M^{p}_{O}}+\overline{M^{in}_{O}}=0\) в вектором варианте могут соответствовать шесть уравнений в координатном виде:

Делать проекцию данных выражений возможно и на неподвижные, и на подвижные координатные оси. Выражения, показанные на рисунке выше, носят название уравнений кинетостатики. Для того, чтобы пользоваться ими, необходимо уметь рассчитывать инерционные силы системы материальных точек, а также твердого тела.

Расчет инерционных сил материальной точки

Данные силы будут вычисляться по таким формулам:

\(\overrightarrow{Ф}_{\tau}=mw_{\tau}=m\frac{dv_{\tau}}{dt}=m\frac{d^{2}s}{dt^{2}}\)

\(\overrightarrow{Ф}_{n}=mw_{n}=m\frac{v^{2}}{\rho}\).

В случае, если физическая точка является одной из точек твердого объекта, который вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью в \(\overline{\omega}\) и с угловым ускорением \(\overline{e}\), тогда ускорение оси совпадет с нормальным, вращательное ускорение совпадет с тангенциальным.

Выделяем данным видам ускорения инерционные силы, исходя из выражений ниже: \(Ф_{об}=Ф_{\tau}=mw_{\tau}, w_{\tau}=w_{об}=er; Ф_{ос}=Ф_{n}=mw_{n}, w_{n}=w_{оc}=\omega^{2}r.\)

Инерционные силы имеют направление в противоположную для ускорения сторону.

Расчет основного вектора, а также основного момента сил инерции для твердого объекта

По формулам \(\overrightarrow{F}_{i}+\overrightarrow{R}_{i}+\overline{Ф}_{i}=0\) и \(\overline{M^{акт}_{O}}+\overline{M^{p}_{O}}+\overline{M^{in}_{O}}=0\) основной вектор, а также основной момент действующих сил инерции после некоторых преобразований можно записать так:

Становится понятно, что для расчета основного вектора и основного момента инерционных сил твердого тела возможно пользоваться теоремами об изменении количества движения, а также основного момента количества движения объекта, а, значит, использовать любой вид записи в разных системах координат в зависимости от задачи, которая поставлена.

Основной момент инерционных сил, по базовым формулам, в зависимости от того, какая выбрана система координат, примет такой вид:

Если полюс O переместить в центр масс C объекта, тогда два последних уравнения возможно записать проще:

Инерционная сила Даламбера

Сила Даламбера является несуществующей в реальной жизни величиной. Ее нереально измерить, ее используют в инерциональных системах отсчета для того, чтобы применить искусственный метод — упростить выражение динамики до выражения статики.

Где используют принцип Даламбера

Принцип кинетостатики позволяет записывать движение произвольной системы в форме выражений, а также решать задачи динамики при помощи методов статики. Из-за этого принцип Даламбера используется инженерами крайне широко. Также принцип Даламбера используется для того, чтобы найти неизвестные части выражения.

Пример решения задачи с использованием принципа Даламбера

Порядок решения задач с использованием принципа Даламбера

Желательно решать задачи с использованием принципа Даламбера (как метода кинетостатики) с использованием следующего плана:

1. Показать на чертеже все действующие силы, которые прилагаются к каждой физической точке.
2. Показать реакции связей на рисунке.
3. К действующим силам на рисунке добавить реакции связей инерционных сил материальных точек системы.
4. Избрать систему координат для расчетов.
5. Составить уравнение статики для всех действующих сил.
6. Решить получившуюся систему уравнений, определить искомые значения.