Перевод градусов в радианы

Что такое градус

Во многих задачах по геометрии, физике и другим дисциплинам приходится решать примеры, где по условию даны, либо неизвестны углы. Данные элементы в распространенных случаях измеряют в градусах или радианах. Упростить решение порой достаточно просто, если уметь переводить эти величины, то есть выражать градусы в радианах или наоборот. Существует ряд полезных формул и закономерностей, которые помогут справиться с подобными задачами.

Если представить себе некую окружность, то есть полноценный оборот, то ее мера будет соответствовать 360°. Развернутый угол, характеризующийся, как половина полного оборота, равен 180°. Из курса геометрии известно, что каждый прямой угол составляет 90°.

При построении окружности, радиус которой составляет 57 см, можно заметить, что 1 градус приблизительно равен 1 см длины дуги рассматриваемой окружности.

Перечислим альтернативы единиц, в которых можно выразить градус:

• \(1^{\circ }={\frac {2\pi }{\displaystyle {360}}} радиан ={\frac {\pi }{\displaystyle {180}}}={\frac {1}{\displaystyle {p}}}\approx {\frac {1}{\displaystyle {57{,}295779513^{\circ }}}} \approx 0{,}0174532925 (радиан в 1°) \)
• \(1^{\circ }={\frac {1}{360}} оборота=0,002(7) оборота=0,002777777777…\)
• \(1^{\circ }={\frac {400}{360}}градов=1,(1) градов=1,11111111111… градов \)

Что такое радиан

Таким образом, радианная мера какого-либо угла представляет собой соотношение данного угла к радиану. Согласно формулировке термина, полный угол по величине соответствует  \(2\pi \)  радиан.

Вычисление радианной меры заключается в определении того, как относится длина дуги окружности, расположенная между сторонами угла, к радиусу рассматриваемой окружности. При этом центральная точка окружности должна совпадать с вершиной этого угла.

В процессе решения примеров по геометрии, чтобы рассчитать, чему равна радианная мера угла, принято изображать единичную окружность, центральная точка которой совпадает с вершиной угла. В результате радианная мера угла составит величину длины дуги единичной окружности, заключенной между сторонами угла.

Заметим наличие пропорциональной зависимости между такими величинами, как длина дуги окружности и ее угловая мера с радиусом. Существует соотношение, характерное для длины дуги окружности, радиус которой равен R, а угловая величина соответствует \(\alpha\) и выражена в радианах:

\(\alpha \cdot R \)

Исходя из того, что угловая мера в радианах вычисляется, как отношение длины дуги окружности и длины радиуса рассматриваемой окружности, допустимо принять угол в радианном исчислении за величину безразмерного типа.

Как перевести градусы в радианы

Представим, что имеется некоторая окружность с радиусом r. Пусть на диаметр рассматриваемой окружности опирается угол, являющийся центральным. Если потребуется вычислить, чему равен этот угол в радианах, то целесообразно найти частное от деления длины дуги на длину радиуса окружности. Угол, речь о котором идет в примере, можно сопоставить с длиной дуги, которая определяется, как ½ от длины окружности:

\(\pi \cdot r \)

С помощью деления длины дуги на радиус получится выяснить, чему равен угол в радианах:

\(\frac{\pi \cdot r}{r} = \pi рад\).

Таким образом, стало понятно, что в примере рассматривается угол, который является развернутым. Градусная мера данного типа угла составляет 180°. Запишем справедливое равенство:

\(180° = \pi рад\)

Как перевести радианы в градусы

Запишем точное соотношение, которое описывает связь между радианами и прочими единицами, в которых измеряют углы:

1 радиан = \(1/(2\pi)\) оборотов = \(180/\pi\) градусов = \(200/\pi\) градов.

Заметим, что градусная мера, которой соответствует развернутый угол, равна:

\(180^{\circ } = {\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi\) рад.

В таком случае, очевидными являются следующие выводы:

\(\alpha [°] = \alpha [рад] \times (360° / (2\pi))\) или \(\alpha [рад] \times (180° / \pi)\),

\(\alpha [рад] = \alpha [°]\div (180° / \pi) = \alpha [°]\times (\pi / 180°)\),

Здесь \(\alpha\) [рад] — угол в радианах, \(\alpha [°] \)— угол в градусах.

Запишем следующее мнемоническое правило, с помощью которого можно запомнить принцип перевода радиан в другие единицы:

\(1 рад (или p^{\circ }) = {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''\)

\(p' (или 1 рад в минутах) = {\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'\)

p'' (или 1 рад в секундах) = \({\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''\).

Примеры