Основные элементарные функции: их свойства и графики

Элементарные функции: понятие, построение

Бывают следующие основные элементарные функции: 

• постоянная функция; 
• степенная функция; 
• корень n-степени; 
• показательная функция; 
• тригонометрические функции; 
• логарифмические функции; 
• обратные тригонометрические функции. 

Рассмотрим формулы функций в виде таблицы:

Классификация функций

Постоянная функция

Данный вид функции задают на некотором количестве действительных цифр посредством выражения y=C. В данной формуле C является каким-то действительным значением. В рамках постоянной функции всем показателям свободной переменной x задается одинаковая величина переменной y, которая находится в зависимости. Данная функция именуется константой. 

У этой функции есть свой график. Он представляет собой прямую, которая параллельна абсциссионной оси, проходит через точку, которая располагается на (0, C). 

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

В качестве образца используем график с разными показателями. Показателю y=-2 соответствует красная полоса; y=5 соответствует черная полоса; \(y=\sqrt{3}\) соответствует синяя полоса. 

Свойства константы

К основным свойствам данной функции можно отнести: 

• зона распространения — все действительные значения; 
• функция четная; 
• зона величин — множество, что состоит из одного значения C; 
• не возрастает и не убывает;
• не вогнута и не выпуклая; 
• не существует асимптот; 
• функцию проводят сквозь значение (0, C) плоскости координат. 

Корень n-степени

Данная функция обусловливается формулой \(y=\sqrt[n]{x}\). В этой формуле показатель n является натуральной цифрой, которая больше одного. Рассмотрим несколько вариантов случаев функции. Бывают варианты, при которых показатель n является: 

• четным значением; 
• нечетным значением. 

Четное значение n 

Разберем, как ведет себя функция при четном значении n. 

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

На графике можно видеть, что \(y=\sqrt{x}\) — черная полоса; \(y=\sqrt[4]{x}\) — красная полоса; \(y=\sqrt[8]{x}\) — синяя полоса. По тому же принципу строятся графики данной функции с иными величинами. 

Что свойственно данной функции при четных значениях n: 

• зона распространения — все действительные положительные цифры \(\left[0;+\infty\right)\); 
• в случае x=0 у данной функции будут значения в 0; 
• имеет универсальный вид; 
• зона величин — \(\left[0;+\infty\right)\);
• в случае четных значений растет в зоне распространения; 
• выпуклая, имеет направление вверх, не имеет значений перегиба; 
• не существует асимптот; 
• график проводят через значения (0, 0), а также (1, 1). 

Нечетное значение n

Нечетное значение распространяется на все разнообразие действительных цифр. Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

На графике можно видеть, что значение \(y=\sqrt[3]{x}\) — черная кривая; \(y=\sqrt[5]{x}\) — красная; \(y=\sqrt[9]{x}\) — синяя. В других случаях у графика будет примерно такой же внешний вид. 

Что свойственно данной функции при нечетных значениях: 

• зона распространения — все разнообразие действительных цифр; 
• нечетность; 
• зона величин — все разнообразие действительных цифр; 
• данная функция в случае нечетных значений растет в зоне распространения; 
• имеет вогнутость в области \(\left(-\infty;0\right]\) , а также выпуклость в области \(\left[0;+\infty\right)\); 
• точкой перегиба является значение (0, 0); 
• не существует асимптот; 
• в случае нечетных значений график задают через точки (1, 1); (0, 0), (-1, -1). 

Степенная функция

Данную функцию можно задать при помощи \(y=x^{a}\). В курсе алгебры есть различные задачи и задания на степенные функции, которые меняются по своей сути от величины степенного показателя. 

Самым классическим примером степенной функции является функция, у которой в показателе цельное значение a. Данный вариант графика строится, исходя из того, каков показатель — четный он или нечетный, отрицательный или положительный. Первостепенно исследовать степенные функции формата \(y=x^{a}\) в случае нечетных величин показателя со знаком +. Потому нужно разобрать, как ведут себя функции пр четных величинах со знаком +. А далее уже исследовать характер нечетных и четных величин со знаками + и -. 

Особенности степенных функций с показателями в виде дробей или иррациональных выражений (а также форма графика данных функций) находятся в зависимости от величины значения a. 

Степенная функция, у которой показатель нечетный, но со знаком плюс

Для начала нужно исследовать характер функции \(y=x^{a}\)  в случае нечетности и положительности степенной величины. Получается, что величины могут быть только вроде a=1, a=5 и т.д. 

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

На графике можно увидеть разные степенные функции. Так, черная полоса указывает на y=x; синяя — \(y=x^{3}\); красная — \(y=x^{5}\); \(y=x^{7}\)— зеленая. В случае значения показателя a, равного единице, получится линейная функция y=x. 

Что свойственно данной функции при нечетных значениях со знаком плюс: 

• зона распространения — \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\);
• зона величин — \(y\in\left(-\infty;+\infty\right)\);
• нечетность функции возникает из-за: \(y\left(-x\right)=-y\left(x\right)\);
• возрастание функции происходит в случае \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\);
• выпуклость функции наблюдается в случае \(x\in\left(-\infty;0\right]\), а вогнутость наблюдается в случае \(x\in\left[0;+\infty\right)\)  (не в случае линейного вида функции); 
• точка перегиба — (0, 0); 
• не наблюдается асимптот;
• функцию проводят через точки (1,1), (0,0), (-1,-1). 

Степенная функция, у которой четное значение со знаком плюс

К степенным функциям такого типа относятся такие, которые задаются формулой \(y=x^{a}\), но при этом степенной показатель равен 2, 6 или другим четным цифрам. 

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

На графике располагаются значения \(y=x^{2}\) (черный цвет); \(y=x^{4}\) (синий цвет); \(y=x^{8}\)(красный цвет). В случае показателя a=2 получается квадратичная по виду функция. У данной функции будет график в виде квадратичной параболы. 

Что свойственно данной функции при четных значениях со знаком плюс: 

• зона распространения — \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\);
• зона величин — \(y\in\left[0;+\infty\right)\);
• четность функции, из-за того, что \(y\left(-x\right)=y\left(x\right)\);
• рост функции происходит на \(x\in\left[0;+\infty\right)\), убывание происходит на \(x\in\left(-\infty;0\right]\) ;
• вогнутость функции наблюдается в случае\(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\) ; 
• точки перегиба нет;
• не наблюдается асимптот;
• функцию проводят через точки (1,1), (0,0), (-1,-1). 

Степенная функция, у которой значение нечетное и знак минус

В данном случае степенные показатели равняются a=-1; a=-5 и т.д. 

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Черным цветом на графике показано значение \(y=x^{-9}\) ; синим цветом — \(y=x^{-}5\); красным цветом — \(y=x^{-3}\); зеленым цветом — \(y=x^{-1}\). В случае a=-1 будет наблюдаться обратная пропорциональность. В данном случае график — гипербола. 

Что свойственно данной функции при нечетных значениях со знаком минус: 

• зона распространения функции — \(x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(0;+\infty\right)\);
• в случае x=0 появляется разрыв, потому что \(\lim_{x \rightarrow 0-0}x^{a}=-\infty, \lim_{x \rightarrow 0+0}x^{a}=+\infty\), причем показатель a равен нечетному отрицательному значению — так прямая станет вертикальной асимптотой; 
• зона величин — \(y\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(0;+\infty\right)\);
• наблюдается нечетность функции, из-за того что \(y(-x)=-y(x)\) ; 
• происходит убывание функции в случае \(x\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(0;+\infty\right)\);
• выпуклость можно увидеть в случае \(x\in\left(-\infty;0\right)\), а вогнутость в случае \(x\in\left(0;+\infty\right)\) ;
• не наблюдаются точки перегиба; 
• горизонтальная асимптота — прямая при y=0, потому что \(k=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^{a}}{x}=0, b=\lim_{x \rightarrow \infty}(x^{a}-kx)=0\Rightarrow{y}=kx+b=0\) при значениях a=-1, например; 
• функцию проводят через точки (1,1), (-1,-1). 

Логарифмическая функция 

Другая элементарная функция — логарифмическая функция с формулой \(y=\lg_{a}{x}\). В данном выражении \(a>0, a\neq1\). Данную функцию задают исключительно для величин со знаком плюс. То есть, значение аргумента должно быть \(a>0, a\neq1\). У графика данной функции есть самые разные формы, которые зависят от величины основания a. 

Для начала рассмотрим вариант, при котором 0<a<1. 

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Посмотрите на график: синий цвет — \(a=\frac{1}{2}\); красный цвет — \(a=\frac{5}{6}\). В случае иных величин, которые не больше 1, у графика будет похожая форма. 

Что свойственно данной функции при основании, которое меньше одного:

• зона распространения функции — \(x\in\left(0;+\infty\right)\); 
• в случае, когда в правой стороне x стремится прийти в ноль, показатели функции стремятся к положительной бесконечности; 
• зона величин — \(y\in\left(-\infty;+\infty\right)\); 
• универсальный вид функции; 
• наблюдается убывание по всей зоне определения; 
• вогнутость наблюдается в случае \(x\in\left(0;+\infty\right)\); 
• не наблюдается точек перегиба; 
• не наблюдаются асимптоты; 
• функцию проводят через точку (1,0). 

Теперь рассмотрим вариант, при котором основание у такой функции больше одного, то есть a>1. 

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Синяя полоса — \(y=\log_{\frac{3}{2}}{x}\); красная полоса — \(y=\ln{x}\). Если у основания будут иные величины, которые превышают 1, график получит похожую форму. 

Что свойственно данной функции при основании, которое больше одного:

• зона распространения — \(x\in\left(0;+\infty\right)\); 
• если x будет стремиться в правой части к нулю, то величины функции будут стремиться к бесконечности с отрицательным знаком;
• зона величин — все действительные числа, получается: \(y\in\left(-\infty;+\infty\right)\);
• универсальный вид функции; 
• рост функции происходит в случае \(x\in\left(0;+\infty\right)\); 
• выпуклость функции наблюдается в случае \(x\in\left(0;+\infty\right)\) ;
• не наблюдаются точки перегиба; 
• не наблюдаются асимптоты; 
• функцию проводят по точке (1,0). 

Тригонометрические функции

Абсолютно все тригонометрические функции являются базовыми элементарными функциями. Всем тригонометрическим функциям свойственно быть периодическими, то есть повторяться по величине функций в разных величинах аргумента. Аргументы обычно должны различаться на значение периода в \(f(x+T)=f(x)\), в которой T будет выступать периодом. Из-за этого в характеристиках тригонометрических функций можно найти особенность в виде самого небольшого периода со знаком плюс. К тому же, всем тригонометрическим функциями нужно задать величину аргумента, в случае которых функция приходит в 0. 

Тригонометрическая функция синуса \(y=\sin{x}\)

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Что свойственно данной функции: 

• зона распространения синусоидальной функции — все разнообразие действительных цифр, получается, что функция \(y=\sin{x}\) задается в случае \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\); 
• самый небольшой период со знаком плюс синусоида — \(T=2\pi\);
• обращение функции в ноль произойдет в случае \(x=\pi\times{k}\), при этом \(k\in{z}\), а z — все разнообразие целых значений;
• в синусоиде величина интервала — от -1 до 1, получается, что зона величины — \(y\in\left[-1;1\right]\);
• данная функция нечетная, потому что \(y(-x)=-y(x)\); 
• убывание функции наблюдается в случае \(x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi\times{k};\frac{3\pi}{2}+2\pi\times{k}\right], k\in{z}\);
• возрастание происходит при \(x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi\times{k};\frac{3\pi}{2}+2\pi\times{k}\right], k\in{z}\);
• синусоид обладает локальными максимумами в \((\frac{\pi}{2}+2\pi\times{k};1)\) и локальными минимумами в \((-\frac{\pi}{2}+2\pi\times{k};-1)\);
• вогнутость функции наблюдается в случае \(x\in\left[-\pi+2\pi\times{k};2\pi\times{k}\right]\), выпуклость наблюдается при \(x\in\left[2\pi\times{k};2\pi\times{k}\right]\) ; 
• точки перегиба функции находятся в \(\pi\times{k;0}\);
• асимптот не наблюдается. 

Функция косинуса

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Что свойственно данной функции: 

• зона распространения — \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\); 
• самый небольшой период со знаком плюс косинусоида — \(T=2\pi\);
• обращение функции в ноль произойдет в случае \(x=\frac{\pi}{2}+\pi\times{k}\), при этом \(k\in{z}\), а z — все разнообразие целых значений;
• зона величин косинусоида — \(y\in\left[-1;1\right]\);
• функция является четной, потому что \(y(-x)=y(x)\); 
• убывание наблюдается в случае \(x\in\left[2\pi\times{k};\pi+2\pi\times{k}\right]\);
• косинусоид обладает локальными максимумами в \((2\pi\times{k};1)\) , а также локальные минимумы в \((\pi+2\pi\times{k};-1)\);
• вогнутость функции наблюдается в случае \(x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi\times{k};\frac{3\pi}{2}+2\pi\times{k}\right]\), выпуклость наблюдается при \(x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi\times{k};\frac{3\pi}{2}+2\pi\times{k}\right];\)
• точки перегиба находятся в \((\frac{\pi}{2}+\pi\times{k};0)\);
• асимптоты не проявляются. 

Функция тангенса

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Что свойственно данной функции: 

• зона распространения \(y=\tan{x}\), то есть \(\left(-\frac{\pi}{2}+\pi\times{k};\frac{\pi}{2}+\pi\times{k}\right)\), а z — все разнообразие целых значений;
• характер данной функции в зоне распространения \(\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}+\pi\times{k}+0}\tan(x)=-\infty, \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}+\pi\times{k}-0}\tan(x)=+\infty\);
• из-за этого прямые \(x=\frac{\pi}{2}+\pi\times{k}\) будут вертикальными асимптотами; 
• самым малым периодом со знаком плюс будет период \(T=\pi\);
• функция становится нулем в случае \(x=\pi\times{k}\);
• зона величин — \(y\in\left(-\infty;+\infty\right)\);
• проявляется нечетность функции, потому что \(y(-x)=-y(x)\); 
• рост функции наблюдается в случае \(x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi\times{k};\frac{\pi}{2}+\pi\times{k}\right)\);
• вогнутость наблюдается в случае \(x\in\left[\pi\times{k};\frac{\pi}{2}+\pi\times{k}\right)\), а выпуклость наблюдается при \(x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi\times{k};\pi\times{k}\right]\);
• точки перегиба находятся в \((\pi\times{k};0)\);
• асимптот не наблюдается. 

Функция котангенса

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Обратные тригонометрические функции

Все обратные тригонометрические функции считаются частью элементарных функций. Нередко подобные функции из-за своей сути называют аркфункциями. 

Функция арксинуса

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Что свойственно данной функции: 

• зона распространения арксинуса определяется \(x\in\left[-1;1\right]\);
• зона величин арксинуса — \(y\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\);
• функция нечетна, потому что \(y(-x)=-y(x)\);
• рост функции наблюдается в случае, когда \(x\in\left[-1;1\right]\);
• вогнутость функции наблюдается в случае \(x\in\left[0;1\right]\), выпуклость наблюдается в случае \(x\in\left[-1;0\right]\);
• точкой перегиба считается (0,0), то есть полный функциональный ноль; 
• асимптоты не наблюдаются. 

Функция арккосинуса 

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Что свойственно данной функции: 

• зона распространения арккосинуса определяется \(x\in\left[-1;1\right]\);
• зона величин \(y=\arccos{x}\) — \(y\in\left[0;\pi\right]\);
• универсальный вид функции; 
• наблюдается убывание функции на всей зоне распространения арккосинуса, получается: \(x\in\left[-1;1\right]\);
• вогнутость функции наблюдается в случае \(x\in\left[-1;0\right]\), а выпуклость функции наблюдается в случае \(x\in\left[0;1\right]\);
• точкой перегиба является \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\);
• асимптот не наблюдается.

Функция арктангенса 

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Что свойственно данной функции: 

• зона распространения данной функции \(\arctan{x}\) — \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\);
• зона величин функции \(\arctan{x}\) — \(y\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\);
• проявляется нечеткость арктангенса, потому что \(y(-x)=-y(x)\);
• рост функции наблюдается во всей зоне распространения — \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\);
• вогнутость наблюдается в случае \[x\in\left(-\infty;0\right]\], а выпуклость в случае \(x\in\left[0;-\infty\right)\);
• точкой перегиба считается (0,0), то есть полный функциональный ноль; 
• горизонтальная асимптота — прямая \(y=-\frac{\pi}{2}\) при этом \(x\rightarrow{-\infty}\) и \(y=\frac{\pi}{2}\)при \(x\rightarrow{+\infty}\)(в рамках чертежа они изображаются при помощи зеленого цвета). 

Функция арккотангенса

Так выглядит график: 

Источник: cleverstudents.ru

Показательная функция

Создается по формуле \(y=a^{x}\). 

Так выглядит график в случае значений 0<a<1: 

Источник: cleverstudents.ru

Так выглядит график в случае значения a>1: 

Источник: cleverstudents.ru