Что нужно знать о средней линии трапеции — основные сведения
Средняя линия трапеции – что это
Трапеция — это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Особенностью данного четырехугольника является то, что никакие три из четырех точек, из которых он состоит, не лежат на одной прямой.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие — боковыми сторонами.
Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны друг другу (рис.1).
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Средняя линия трапеции — это отрезок, который соединяет середины боков фигуры, т.е. боковых сторон.
Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.
Периметр трапеции — это сумма всех сторон трапеции, то размера боковых сторон трапеции и двух оснований.
Признаки и свойства средней линии трапеции
Средняя линия трапеции равна половине сумм длины двух оснований
Доказательство
Для доказательства теоремы, которая показывает нам как найти среднюю линию трапеции, сначала посмотрим свойства трапеции.
Признак средней линии трапеции №1
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
\(MN\;=\;\frac{BC+AD}2\), где MN — средняя линяя, BC, AD — основания трапеции, при условии MN\parallel AD\parallel BC
Признак средней линии трапеции №2
Средняя линяя трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основаниях данной трапеции (рис.2)
Признак средней линии трапеции №3
Средняя линяя трапеции делит ее на две трапеции, площадь которых соотносятся следующим образом:
\(\frac{S_{ABCD}}{S_{LBCM}}=\frac{4(BC\;+\;AD)}{3BC\;+\;AD}\)
\(\frac{S_{ABCD}}{S_{ALMD}}=\frac{4(BC\;+\;AD)}{3AD\;+\;BC}\)
\(\frac{S_{LBCM}}{S_{ALMD}}=\frac{3BC\;+\;AD}{3AD\;+\;BC}\)
Таким образом, доказательство данной теоремы основано на свойствах средней линии трапеции. И для ее доказательства нужно продлить нижнее основание AD и провести отрезок BK до пересечения этого отрезка с продленным нижнbм основанием. Из свойств трапеции следует, что образованные треугольники BMC и MKD равны, откуда следует, что MC = DK.
LM — средняя линяя треугольника BKA, следовательно, по определению средней линии треугольника \(LM\parallel AD\) и LM = 0.5AK, при этом AK = AD+DK.
Подставляя, получаем, что LM = 0.5*(AD+DK). Из свойства помним, что DK = BC, отсюда получаем LM = 0.5*(AD+BC), то есть средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим существующие свойства трапеций, которые применимы для любого вида трапеций.
Сумма углов трапеции, прилежащих к одной и той же боковой стороне в сумме дают всегда 180°.
Средняя линяя трапеции параллельна ее основаниям и равна половине их суммы.
Отрезок, который соединяет середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции и равняется половине разности оснований (рис.3), где KL — отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и BD, KL лежит на средней линии трапеции MN.
Точки пересечения диагоналей трапеции, продолжений ее боковых сторон и середин оснований лежат на одной прямой (Рис.4), где DK — продолжение боковой стороны CD, AK — продолжение боковой стороны AB, E — середина основания BC, т.е. BE = EC, F — середина основания AD, т.е. AF = FD.
Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, два из которых (при основаниях) подобны, а два других (при боковых сторонах) равны по площади (рис.5).
Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, можно выразить через длины оснований (рис.6):
\(KL\;=\;\frac{2\ast AD\ast BC}{AD+BC}\)
Биссектрисы углов трапеции при одинаковой боковой стороне взаимно перпендикулярны (рис.7).
В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон (рис.8).
Т.е. AD + BC = AB + CD
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: R = h/2.
Формулы для нахождения длины средней линии для разных видов трапеции
Существует три вида трапеций, длину средней линии которых можно рассчитать по-разному, но можно и общими способами. До того, как рассмотреть конкретные формулы, рассмотрим какие виды трапеций бывают
Виды трапеций
Равнобедренная (или равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны друг другу.
Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которого оба угла при одной из боковых сторон прямые, то есть по 90 °.
Трапеция является разносторонней, если ее боковые стороны не равны, и ни один из углов при основании не является прямым.
Рассмотрим различные варианты нахождения длины средней линии. Большинство из представленных ниже формул можно использовать для любого вида трапеции, но в зависимости от того, что дано в задаче мы и можем выбирать какой формулой нам удобнее воспользоваться.
- Нахождение длины средней линии трапеции через длины оснований.
Средняя линия в данном случае равно полусумме оснований трапеции (рис.9).
\(m\;=\;\frac{a+b}2\)
- Длина средней линии через площадь и высоту трапеции (рис.10)
\(m\;=\;\frac Sh\), где S — площадь трапеции, а h — ее высота.
- Длина средней линии через нижнее основание, высоту трапеции и углы при нижнем основании (рис.11)
\(m\;=a\;-\;h\ast\frac{(ctg\;\alpha\;+\;ctg\;\beta)}2\)
- Способ нахождения длины средней линии через верхнее основание, высоту трапеции и углы при нижнем основании (рис.12)
\(m\;=b\;-\;h\ast\frac{(ctg\;\alpha\;+\;ctg\;\beta)}2\)
- Способ нахождения длины средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями трапеции.
\(m\;=\frac{D\ast d}{2h}\ast\sin\left(\alpha\right)\), где: D, d — диагонали, h — высота, sin α — угол между диагоналями
- Средняя линия трапеции через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании (рис.13).
\(m\;=\frac{2b\;+\;c\ast\cos\left(\alpha\right)\;+\;d\ast\cos\left(\beta\right)}2\)
- Средняя линия трапеции через боковые стороны, нижнее основание и углы при нижнем основании (рис.14).
\(m\;=\frac{2a\;-\;c\ast\cos\left(\alpha\right)\;-\;d\ast\cos\left(\beta\right)}2\)
- Средняя линия равнобедренной трапеции через боковую сторону, нижнее основание и угол между ними (рис.15).
\(m\;=\frac{2a\;-\;2c\ast\cos\left(\beta\right)}2\)
- Средняя линия равнобедренной трапеции через боковую сторону, верхнее основание и угол при нижнем основании (рис.16)
\(m\;=\frac{2b\;+\;2c\ast\cos\left(\beta\right)}2\)
- Средняя линия прямоугольной трапеции через нижнее основание, высоту и острый угол при нижнем основании.
\(m\;=a\;-h\ast\frac{ctg\;\beta}2\)
Примеры решения задач на данную тему
Условие:
Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.
Решение:
Опустим высоты на сторону AD из точек B и C. Тогда, так как BCFE — прямоугольник, то BC = EF = 6. Треугольники ABE и DCF равны по гипотенузе и катету. Значит, AE = DF = (12-6)/2 = 3.
Из треугольника ABE по теореме Пифагора:
\(BE\;=\;\sqrt{5^2-3^2}=\;4\)
Тогда из того же треугольника ABE:
\(\sin(A)\;=\;\frac{BE}{AB}=\;\frac45=\;0.8\)
Ответ: 0,8.
Условие:
Большее основание равнобедренной трапеции равно 18. Боковая сторона равна 3. Синус острого угла равен \(\frac{\sqrt5}3\). Найдите меньшее основание.
Решение:
Пусть \(BH\perp AD,\;CE\perp AD\). Имеем: BC = HE, AH = ED. В треугольнике ABH:
\(\sin\left(A\right)\;=\;\frac{BH}{AB}\\\frac{\sqrt5}3=\frac{BH}3\\BH\;=\;\sqrt5\)
Далее, \(AH\;=\;\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{3^2-\left(\sqrt5\right)^2}=2\)
Наконец, \(BC\;=\;AD\;-\;2AH\;=\;18\;-\;2\ast2=14\)
Ответ: 14.
Условие:
Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 24 и 9.
Решение:
Пусть E, F — середины AB, CD соответственно.
По свойству средней линии трапеции, нам известно, что
\(EF\;=\;\frac{BC+AD}2\\EF\;=\;\frac{24+9}2=16.5\)
Ответ: 16,5.
Условие:
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Решение:
Пусть EF — средняя линяя трапеции, S — точка пересечения диагонали BD и средней линии EF.
По свойству средней линии трапеции мы смогли узнать EF параллельна основанию AD.
И поскольку E — середина AB, то по теореме Фалеса S — середина BD. Значит, ES — средняя линяя треугольника ABD по определению. Тогда по свойству средней линии треугольника ES = AD/2 = 5. Откуда SF = 2.
Ответ: 5.
Условие:
Основания трапеции относятся как 4:5, а средняя линия равна 54. Найдите меньшее основание.
Решение:
По условию BC : AD = 4:5, тогда пусть BC = 4x, а AD = 5x, где x — это одна часть.
Пусть l — средняя линяя трапеции.
\(l = (BC+AD)/2\)
\(54 = (4x + 5x)/2\)
\(54 = 9x/2\)
x = 12
Тогда мы можем вычислить BC = 4x = 48
Ответ: 48.
Заметили ошибку?
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
